Die relativistische Zahnradbahn

[Tachyon]

Hi,

für diejenigen, die im MAHAG mitgelesen haben und sich fragen, was es denn nun mit der Zahnradbahn auf sich hat und wie Gluon darauf kommt, Zahnradbahnen könnten bei hohen Geschwindigkeiten nach SRT nicht funktionieren, möchte ich hier kurz erläutern, wie das kommt und eine Plattform zur Diskussion bieten.

Betrachten wir eine Zahnradbahn und die Schiene aus Sicht der Zahnradbahn, als in einem Koordinatensystem, in dem die Zahnradbahn stets ruht und die Schiene unter ihr hinwegläuft. In diesem Fall muss der Abstand der Zähne auf dem Zahnrad genau dem Abstand der Zähne auf der Schiebe entsprechen. Sind die Abstände um einen kleinen Betrag verschieden, so gibt es etwas schlupf: Jedes Zahn wird etwas versetzt auf die Schiene aufgesetzt und rutscht dann an der Schiene herunter. Das erzeugt unerwünschte Reibung und wenn der Schlupf zu groß wird, so dass Spitze auf Spitze aufgesetzt wird, oder die Reibung zu groß wird, dann funktioniert die Zahnradbahn nicht mehr.

Wenn wir uns jetzt ein Rad vorstellen, das genau den selben Zahnabstand hat, wie die Schiene und wir beschleunigen die Zahnradbahn langsam, so dass die Bindungskräfte in der Bahn Gelegenheit haben, der Längenkontraktion zu folgen, dann kommen wir in eine Situation, in der die Schiene relativ zur Zahnradbahn gestaucht erscheint. Der Zahnabstand auf der Schiene wirkt nun verkürzt. Aber was passiert mit dem Rad?

Jede einzelne Zacke auf dem Rad bewegt sich ja auch relativ zur Zahnradbahn mit der selben Geschwindigkeit wie die Schiene. Sie haben also das Bestreben, sich um den selben Faktor zusammenzuziehen, wie die Schiene. Aber die Anzahl der Zähne kann sich nicht ändern und auch der Radius des Rahnrades kann nur begrenzt gestaucht werden, weil ja radial keine Bewegung stattfindet und die Fliehkraft dem eher entgegenwirkt. Deshalb können sich die einzelnen Zähne ein wenig (je nach Materialeigenschaften) zusammenziehen, aber ihr Abstand auf dem rad kann sich nicht im gleichen Maße ändern, wie der Abstand der Zähne auf der Schiene.

Deshalb wird sich bei der relativistischen Zahnradbahn bei zunehmender Geschwindigkeit eine steigende Diskrepanz zwischen Zahnabstand auf dem Zahnrad und auf der Schiene ausbilden und bei zu großen Geschwindigkeiten wird die Bahn nicht mehr funktionieren. Selbst wenn man annimmt, dass das Material stabil genug ist, so große Fliehkräfte auszuhalten.

Viele Grüße,
Tachyon

[nocheinPoet]

Für diejenigen, die im MAHAG mitgelesen haben und sich fragen, was es denn nun mit der Zahnradbahn auf sich hat und wie Gluon darauf kommt, Zahnradbahnen könnten bei hohen Geschwindigkeiten nach SRT nicht funktionieren, möchte ich hier kurz erläutern, wie das kommt und eine Plattform zur Diskussion bieten.

Einen schönen Sonntag, ich vermute aber mal, dass hier den meisten mit Physikverstand das schon klar ist, und „Gluon“ hat es auch dort recht klar erklärt. Man muss nicht begreifen wollen, wenn man so falsch versteht wie Jocelyne Lopez.

Betrachten wir eine Zahnradbahn und die Schiene aus Sicht der Zahnradbahn, als in einem Koordinatensystem, in dem die Zahnradbahn stets ruht und die Schiene unter ihr hinweg läuft. In diesem Fall muss der Abstand der Zähne auf dem Zahnrad genau dem Abstand der Zähne auf der Schiebe entsprechen. Sind die Abstände um einen kleinen Betrag verschieden, so gibt es etwas Schlupf: Jedes Zahn wird etwas versetzt auf die Schiene aufgesetzt und rutscht dann an der Schiene herunter. Das erzeugt unerwünschte Reibung und wenn der Schlupf zu groß wird, so dass Spitze auf Spitze aufgesetzt wird, oder die Reibung zu groß wird, dann funktioniert die Zahnradbahn nicht mehr.

Wenn wir uns jetzt ein Rad vorstellen, das genau den selben Zahnabstand hat, wie die Schiene und wir beschleunigen die Zahnradbahn langsam, so dass die Bindungskräfte in der Bahn Gelegenheit haben, der Längenkontraktion zu folgen, dann kommen wir in eine Situation, in der die Schiene relativ zur Zahnradbahn gestaucht erscheint. Der Zahnabstand auf der Schiene wirkt nun verkürzt. Aber was passiert mit dem Rad?

Jede einzelne Zacke auf dem Rad bewegt sich ja auch relativ zur Zahnradbahn mit derselben Geschwindigkeit wie die Schiene. Sie haben also das Bestreben, sich um denselben Faktor zusammenzuziehen, wie die Schiene. Aber die Anzahl der Zähne kann sich nicht ändern und auch der Radius des Rahnrades kann nur begrenzt gestaucht werden, weil ja radial keine Bewegung stattfindet und die Fliehkraft dem eher entgegenwirkt. Deshalb können sich die einzelnen Zähne ein wenig (je nach Materialeigenschaften) zusammenziehen, aber ihr Abstand auf dem rad kann sich nicht im gleichen Maße ändern, wie der Abstand der Zähne auf der Schiene.

Deshalb wird sich bei der relativistischen Zahnradbahn bei zunehmender Geschwindigkeit eine steigende Diskrepanz zwischen Zahnabstand auf dem Zahnrad und auf der Schiene ausbilden und bei zu großen Geschwindigkeiten wird die Bahn nicht mehr funktionieren. Selbst wenn man annimmt, dass das Material stabil genug ist, so große Fliehkräfte auszuhalten.

Nun gut, man könnte das so verstehen, dass hier Fliehkräfte am Rad verhindern, das dieses gemäß der LT kontrahiert. Ich bin mir nicht wirklich sicher, ob Du das so sagen wolltest. Ich habe vor einiger Zeit mal was zum Ehrenfest Paradox gefunden: http://www.wbabin.net/physics/hynecek7.pdf eventuell kannst Du das Mal einwenig übersetzen. Man findet im Web ansonsten nichts, und schon gar nicht in Deutsch.


Aber man eine Frage, die auch die LK betrifft, ich habe diese in der Form schon mehrfach gestellt, konkret hat aber keiner geantwortet.

Zwei Systeme (Erde, Myon) von der Erde aus gesehen entsteht in10km Entfernung ein Myon in der Atmosphäre. Von der Erde aus sage ich, die Zeit im System Myon ist verkürzt und [u]bewegte[u] Maßstäbe auch. Hätte das Myon also einen Zollstock in Händen, der in meine Richtung zeigt, würde ich den verkürzt sehen. Soweit alles grün.

Nun habe ich einen Maßstab auf der Erde stehen, die Ruhelänge ist 10km und am anderen Ende oben in der Atmosphäre entsteht nun das Myon.

Nun hat auch das Myon einen solchen Maßstab, der reicht eben mit 10km, bis zur Erde und ruht im System des Myons.

Es heißt doch nun für die Lorentz-Kontraktion: Bewegte Maßstäbe sind in Bewegungsrichtung verkürzt. Das Wort „bewegte“ hat sicher so schon seinen Sinn da im Satz. Bedeutet doch nun aber, ich auf der Erde sehe den Maßstab des Myons, da er sich ja für mich bewegt verkürzt und meinen weiter mit 10km Länge, da diese ja zu mir ruht. Das gleiche gilt nun auch aus der Sicht des Myons. Für dieses ist mein Maßstab von der Erde verkürzt, da zu ihm bewegt, und sein Maßstab reicht mit 10km bis zur Erde, da unbewegt.

Erstmal frage ich mich, wie die Maßstäbe so nebeneinander aussehen. Denn eigentlich sollte doch für das Myon das Ende seines Stabes in 10km Entfernung am Nullpunkt des Maßstabes auf der Erde liegen. Und ebenso andersrum. Passt nicht so richtig, wenn da einer verkürzt ist.

Die Frage ist, warum sollte das Myon nun die Entfernung zur Erde selber verkürzt sehen/messen, in seinem Ruhesystem kommt die Erde auf es zu. Das Myon hat doch dasselbe Recht zu sagen, es ruhe, und in seinem System ein Maßstab aufzustellen, an dessen Ende dann in 10km Entfernung die Erde ist.

Werden nun auch beliebig Entfernungen kontrahiert?

Ich stehe vor der Schlucht im Panzerparadox, die Schlucht ist 8m lang. Dann ist das andere Ende von mir auch 8m entfernt. Das Ende ruht auch zu mir. Kommt nun der Panzer angefahren, und ist genau am gegenüberliegenden Ende, dann ist er für mich 8m entfernt, ich verkürze also die Entfernung nicht, nur weil da ein schneller Panzer kommt. Für den Panzer sind nun beide Punkte der Schlucht bewegt, in dem Sinne ist die Schlucht ein bewegter Maßstab und somit kontrahiert. Soweit passt das wieder.

Wenn der Panzer aber nun einen Maßstab vorne am Panzer hat, und den mit sich bewegt, dann ist der nicht verkürzt, da dieser ja in seinem System ruht. Wenn er dann vor der Schlucht steht, sieht er auf seinem Maßstab die Schlucht verkürzt auf der Hälfte enden?

Wenn man Bilder einer solchen Situation macht, dann sieht man auf den Bildern nun eben nicht, welche Punkte sich bewegen, und welche nicht.

Ich fliege mit einer Rakete ganz schnell Richtung Pluto, das ist schon ein Stück. Wenn ich nun 0,9c erreicht habe, ist dann die Entfernung zum Pluto für mich kontrahiert? Bisher hatte ich das so vor Augen. Zuviel Mahag macht echt gaga.

Noch ein Frage dazu, ich sehe eine „Entfernung“ verkürzt, das Objekt kann für mich dadurch doch aber nicht größer zu sehen sein. Wenn ich nun mit fast c fliege, kann ich doch nicht einen Stern der wenn ich ruhe 10LJ weit entfernt ist und für mich nur ein kleiner Punkt am Himmel, so groß wie die Sonne zu sehen sein. Nur weil ich die „Entfernung“ auf 150 Millionen Km verkürzt sehe.

Die Dinge müssen doch in beiden Systemen eh immer gleich sein.


Diese Fragen wurden zum Teil in der Form an mich getragen, und ich würde gerne mal wissen, wie Du das so beantworten würdest.

[Tachyon]

Nun gut, man könnte das so verstehen, dass hier Fliehkräfte am Rad verhindern, das dieses gemäß der LT kontrahiert. Ich bin mir nicht wirklich sicher, ob Du das so sagen wolltest.

Nein, wollte ich nicht. Ich wollte nur klar machen, dass es noch einen Effekt gibt, der ein rotierendes Rad von einem nicht rotierenden unterscheidet und der schon in der klassischen Physik auftaucht. Die Zentrifugalkraft würde das Rad auseinanderziehen, wenn die Atomaren bindungen es nicht zusammenhalten würden. Der Ehrenfest-Effekt zieht die Atome tangential aus ihrer Ruhelage, während er sie radial unverändert lässt. Beide Effekte sorgen für Zugspannung in dem Material, die durch innere Kräfte ausgehalten werden müssen. Für kleine Rotationsgeschwindigkeiten überwiegt die Zentrifugalkraft, kommt man in der Radialgeschwindigkeit der Lichtgeschwindigkeit nahe, so wird die Ehrenfest-Komponente stärker.

Ich habe vor einiger Zeit mal was zum Ehrenfest Paradox gefunden: http://www.wbabin.net/physics/hynecek7.pdf eventuell kannst Du das Mal einwenig übersetzen. Man findet im Web ansonsten nichts, und schon gar nicht in Deutsch.

Ich halte diesen Artikel für falsch. Er macht sehr merkwürdige Annahmen, nach denen die Zentrifugalkraft durch eine Art Gravitation ausgeglichen wird. Das ist offenbar nicht der Fall, wie man in einer Achterbahn leicht nachprüfen kann.

Erstmal frage ich mich, wie die Maßstäbe so nebeneinander aussehen. Denn eigentlich sollte doch für das Myon das Ende seines Stabes in 10km Entfernung am Nullpunkt des Maßstabes auf der Erde liegen. Und ebenso andersrum. Passt nicht so richtig, wenn da einer verkürzt ist.

Die Antwort auf solche Fragen ist immer die Relativität der Gleichzeitigkeit. Du musst bedenken, dass die Maßstäbe gegeneinander bewegt sind. Es gibt das Ereignis, an dem die Spitzen von Myonen-Maßstab und Erdmaßstabes auf gleicher Höhe sind (Spizten immer oben) und es gibt ein Ereignis, in dem die beiden unteren Maßstabsenden auf gleicher Höhe sind. Diese Ereignisse finden aber an unterschiedlichen Orten statt und unterliegen deshalb der Relativität der Gleichzeitigkeit (anderes Linkziel als oben).
Gleichzeitig Berühren sich Spitzen und Enden der Maßstäbe nur für Beobachter, für die Myon und Erde gleich schnell sind. Hier ist der Fall symmetrisch und beide Maßstäbe sind gleichermaßen verkürzt. Für den Erdbeobachter berühren sich die Spitzen zuerst und dann die Enden. Der bewegte Myonen-Maßstab ist also kleiner als der unbewegte Erdmaßstab. Für den mit dem Myon mitbewegten Beobachter berühren sich die Enden zuerst und dann die Spitzen, der bewegte Erdmaßstab ist kürzer. Ist doch alles ganz symmetrisch.

Und noch eines: Wenn wir von "für den Beobachter X ist" reden, ist es nur eine Kurzform von "in den Koordinaten eines Inertialsystems, des relativ zu einem gedachten oder real existierenden Beobachter X ruht ist". Es geht nicht darum, was irgendjemand tatsächlich sieht, denn dann müsste man noch die Lichtlaufzeiten einrechnen.

Das bringt mich dann zur zweiten Fragenklasse:

Noch ein Frage dazu, ich sehe eine „Entfernung“ verkürzt, das Objekt kann für mich dadurch doch aber nicht größer zu sehen sein. Wenn ich nun mit fast c fliege, kann ich doch nicht einen Stern der wenn ich ruhe 10LJ weit entfernt ist und für mich nur ein kleiner Punkt am Himmel, so groß wie die Sonne zu sehen sein. Nur weil ich die „Entfernung“ auf 150 Millionen Km verkürzt sehe.

Wenn ich auf ein Objekt blicke, dass mit beinahe Lichtgeschwindigkeit auf mich zufliegt, dann sehe ich es nicht wo es gerade ist. Ich sehe also einen kleinen Punkt, weil das Objekt noch so weit weg war, als es das Licht ausgesandt hat. Wenn ich aber die Lichtlaufzeit abziehe, kann ich errechnen, dass das Objekt tatsächlich nach meinen Koordinaten schon viel näher dran ist. HIer ist also die Formulierung "aus der Sicht von Beobachter X" besonders irreführend. Die "Sicht" ist hier also übertragend gemeint im sinne von "in der Anschauung von Beobachter X", nach "Ansicht/Meinung von Beobachter X" oder "im Koordinatensystem von Beobachter X"

Gruß,
Tachyon

[nocheinPoet]

Nein, wollte ich nicht. Ich wollte nur klar machen, dass es noch einen Effekt gibt, der ein rotierendes Rad von einem nicht rotierenden unterscheidet und der schon in der klassischen Physik auftaucht. Die Zentrifugalkraft würde das Rad auseinanderziehen, wenn die Atomaren Bindungen es nicht zusammenhalten würden. Der Ehrenfest-Effekt zieht die Atome tangential aus ihrer Ruhelage, während er sie radial unverändert lässt. Beide Effekte sorgen für Zugspannung in dem Material, die durch innere Kräfte ausgehalten werden müssen. Für kleine Rotationsgeschwindigkeiten überwiegt die Zentrifugalkraft, kommt man in der Radialgeschwindigkeit der Lichtgeschwindigkeit nahe, so wird die Ehrenfest-Komponente stärker.

Gut, ich dachte mir das auch schon, das dass nicht Dein Ziel war. Machen wir es mal einfacher, statt einem Zahnrad, nehmen wir eine Zahnradkette, aber so wie die eines Panzers. Die liegt also unten nun ganz sauber in den Schienen, ist dort treten keine Fliehkräfte auf. Da wo die Kette nun gerade ist, passt sie da bei jeder Geschwindigkeit in die Schiene?

Danke für die anderen Antworten.

[Trigemina]

Einspruch Euer Gnaden!

Die Berührungspunkte der ineinander übergreifenden Zahnkränze weisen dort (und nur dort) eine Relativgeschwindigkeit von Null auf. So gesehen gibt es keinerlei Probleme wenn die für dieses Gendankenexperiment unendlich hohe Materialfestigkeit idealisierend vorausgesetzt wird.

Gruss

[Tachyon]

Hi Trigemina,

Die Berührungspunkte der ineinander übergreifenden Zahnkränze weisen dort (und nur dort) eine Relativgeschwindigkeit von Null auf. So gesehen gibt es keinerlei Probleme wenn die für dieses Gendankenexperiment unendlich hohe Materialfestigkeit idealisierend vorausgesetzt wird.

Ich verstehe das Argument nicht. Wie soll diese Tatsache helfen, den Umfang des Rades als ganzes zu kontrahieren ohne den Radius zu verändern?

Beachte: Im Ruhesystem der Zahnradbahn haben alle Zähne die selbe Geschwindigkeit und damit den gleichen Anlass, sich zu verkürzen. Sie können es aber nicht, weil von unten die Atome gegendrücken und, gerade bei unendlicher Materialfestigkeit, die Kontraktion vereiteln.

Gruß,
Tachyon

[Tachyon]

Da wo die Kette nun gerade ist, passt sie da bei jeder Geschwindigkeit in die Schiene?

Nein, die Kette ist entweder flexibel genug um von den Kettenrädern auf Panzerlänge gehalten zu werden (Gummikette) oder sie reißt einfach.

Gruß,
Tachyon

[nocheinPoet]

Guten Morgen Joachim,

Michael Hammer-Kruse schreibt nun mehrfach, dass es in keinem IS ein Problem gibt, und die Zahnräder immer sauber abrollen, offenbar widersprecht Ihr Euch da.

[Uli]

Guten Morgen Joachim,

Michael Hammer-Kruse schreibt nun mehrfach, dass es in keinem IS ein Problem gibt, und die Zahnräder immer sauber abrollen, offenbar widersprecht Ihr Euch da.

Das ist ein bisschen "tricky".
Wenn ich mal meinen Senf dazu geben darf, obwohl ich nichts davon verstehe und die ganze Diskussion dazu bei Mahag nicht mitverfolgt habe.


Das ganze aus der Sicht eines Beobachters, der sich auf dem Umfang des Rades mitbewegt:

Allein aus der Lorentztransformation folgt, dass ein auf dem Rande mitbewegter Beobachter aufgrund der Verkürzung seiner Maßstäbe eine Vergrößerung des Radumfanges messen wird
U’ = 2*Pi*r/sqrt(1-ω^2*r^2/c^2)
gegenüber einem Beobachter, der vor der Beschleunigung des Rades im inertialen Schwerpunktsystem des Rades seinen Umfang gemessen hatte.

Da die Anzahl von Zähnen auf dem Rad sich während seiner Beschleunigung nicht ändert (hinreichende Elastizität des Rades vorausgesetzt, ansonsten zerreisst es), wird dieser Beobachter auch eine entsprechend vergößerte Breite der Zähne des Rades messen (gegenüber einem Beobachter, der vor der Beschleunigung des Rades im inertialen Schwerpunktsystem des Rades die Breite der Zähne gemessen hatte).

Im Moment des Kontaktes - korrekte Funktion des Zahnradantriebs vorausgesetzt - würde er sich aber genauso schnell wie ein auf der Schiene ruhender Beobachter bewegen und deshalb keine Lorentz-Kontraktion der Zähne der Schiene messen. Fazit: die Zähne des Rades greifen bei relativistischen Geschwindigkeiten nicht mehr: wenn das Rad immer schneller wird, werden die Zahnräder irgendwann - abhängig von den genauen Materialeigenschaften - nicht mehr greifen sondern vorbeischleifen. Das ist natürlich in allen Inertialsystemen so und alles andere als ein Paradoxon.

Mir scheint, dass Joachim recht hat (wenn ich mich da nicht "verhauen" habe).

Gruß,
Uli

[Trigemina]

Das ist ein bisschen "tricky".
Wenn ich mal meinen Senf dazu geben darf, obwohl ich nichts davon verstehe...

Dynamische Betrachtungen über Elastizitätsmodule sind beim Ehrenfest-Paradoxon sowieso irrelevant, da kein Material den Zugspannungen widerstehen könnte. Das Paradoxon ist ein reines und auf ausschliesslich kinematische Physik beruhendes Gedankenexperiment, das idealisierend einen der SRT widersprechenden unendlich starren Körper voraussetzt (unendliche Schallgeschwindigkeit).

Ähnliches habe ich vor ein paar Minuten auf MAHAG veröffentlicht.

Gruss