Struktron hat geschrieben:Hat derjenige, der den Begriff von Stellschrauben einbrachte vielleicht gescherzt? Wie ist das bei mathematischen Ausdrücken? Kann nicht jeder, der nicht schon einen Nenner enthält, durch einen Nenner mit dem Wert 1 ergänzt werden? Haben wir dann in mathematischen Ausdrücken die Möglichkeit, diese als Stellschrauben zu bezeichnen? Dann können diese auch zu Null gemacht werden? Gibt es also eigentlich gar keine Linearität?
Hallo Lothar,
wenn Du das ernst meinst, können wir hierzu gerne einen neuen Thread eröffnen, mit dem Thema "eindeutige Konstruktion eines Quotientenkörpers aus einem Integritätsbereich". So Sachen lernt man in der zweiten Hälfte des 3.Semesters und sind nicht wirklich schwer; als Einstieg empfiehlt es sich, sich über den Begriff von "Äquivalenzklassen" kundig zu machen. Man definiert diese über die Bruchrechenregeln und zeigt, dass das alles wohldefiniert und widerspruchsfrei ist. Hier dürfte dann auch noch die Nullteiler-Freiheit von Integritätsbereichen ins Spiel kommen, das müsste ich mir aber nochmals ganz konkret anschauen. Dann ganze läuft dann also letztlich darauf hinaus, dass zwei Brüche in der selben Äquivalenzklasse liegen, wenn sie durch Erweiterung oder Kürzung ineinander übergeführt werden können.
Der Initegritätsbereich ist dann isomorph zu der Äquivalenzklasse, deren Nenner sich durch eine Einheit darstellen lässt.
Natürlich muss man dann verifizieren, dass die soeben genannte Isomorphie auch wirklich eine Isomorpie ist, dann muss man zeigen, dass die Äquivalenzklassen einen Körper bilden - wir nennen ihn "Quotientenkörper über dem Integritätsbereich", und schliesslich muss man auch zeigen, dass jeder andere Körper, der auch den Integritätsbereich enthält, den Quotientenkörper als Unterkörper enthält, dass also der Quotientenkörper "minimal" und damit bis auf Isomorphie eindeutig ist.
Es gibt da also schon noch "ein paar" formale Kriterien zu überprüfen, aber kein Problem - wenn Du Dich dafür interessierst, können wir das mal konkret durchrechnen.
Beispiel: der Ring der ganzen Zahlen IZ ist ein Integritätsbereich und man kann daraus also den Quotientenkörper der rationalen Zahlen IQ auf diese Weise konstruieren, und da die ganzen Zahlen nur zwei Einheiten haben, nämlich {1, -1}, sind die ganzen Zahlen gerade die Brüche mit Nenner 1 oder -1. Sein Oberkörper IQ(sqrt(2)) enthält ebenfalls IZ und tatsächlich ist IQ nicht nur eine Teilmenge, sondern eben auch ein Unterkörper von IQ(sqrt(2)). Oder auch der Körper der reellen Zahlen IR: dieser enthält auch die ganzen Zahlen IZ und die rationalen Zahlen IQ bilden auch einen Unterkörper der reellen Zahlen IR.
Beantwortet das Deine Frage ? Die von Dir vorgenannten "Stellschrauben" betreffend der Erweiterung eines Bruches mit der Zahl 1 folgen also direkt aus der oben erklärten Äquivalenzklassenbildung.
Freundliche Grüsse, Ralf