ralfkannenberg hat geschrieben:Aus Δx -> 0 folgt nämlich keineswegs direkt, dass auch Δv(x) -> 0 strebt; hier muss man noch einen Zwischenschritt einfügen, nämlich das Δv(x) im dritten Summanden auf der rechten Seite mit Δx erweitern.
Hallo zusammen,
das ist ohnehin Unsinn, denn das folgt trivialerweise; die Frage ist eine andere:
ralfkannenberg hat geschrieben:Dann steht da (Δu(x)/Δx) * (Δv(x)/Δx) * Δx, und für Δx -> 0 gilt nun, dass Δu(x)/Δx -> u'(x) und Δv(x)/Δx -> v'(x) konvergieren, weil ja beide Funktionen nach Voraussetzung an der Stelle x differenzierbar sind.
Somit strebt der 3.Summand auf der rechten Seite gegen u'(x) * v'(x) * lim{Δx->0} = u'(x) * v'(x) * 0 = 0.
So ist der Beweis korrekt geführt.
Die Frage ist, ob die Beweisführung auch ohne diese Erweiterung von Δx/Δx korrekt ist.
Im Orignalbeitrag lautet der 3.Summand also wie folgt:
(Δu(x)/Δx) * Δv(x)
Und wenn Δx gegen 0 geht, so haben wir wegen der von Stetigkeiten von u und v im Punkte x eine (0*0)/0 Situation. Und genau
die ist das Problem, weil sie im Allgemeinen nicht definiert ist. Im viegenden Fall argumentiert man meistens, dass der Zähler in "2.Ordnung" gegen 0 geht und der Nenner in "erster Ordnung" und dann "darf" man eine der Nullen "wegkürzen".
Solange die betroffenen Funktionen, also u(x) und v(x), in genügend grossen Intervallen stetig sind, folgt das alles aus der Differenzialrechnung, indem man den Differenzenquotienten zum Differentialquotienten übergehen lässt.
Doch das haben wir momentan alles nicht. - Wie von mir ausgeführt und auch auf der englischen Wikipedia argumentiert klappt das, wenn man mit Δx/Δx erweitert, weil Δx ja von 0
verschieden ist, und danach den Grenzübergang durchführt und dann verwendet, dass u und v gemäss Voraussetzung an der Stelle x differenzierbar sind.
Frage: geht es auch ohne diese Erweiterung ?
Momentan tendiere ich dazu, diese Frage tatsächlich zu bejahen:
Wir haben (Δu(x)/Δx) * Δv(x). Beim Grenzübergang Δx->0 konvergiert der erste Faktor, also (Δu(x)/Δx), gegen u'(x), welches gemäss Voraussetzung existiert, und der zweite Faktor Δv(x) wegen der Stetigkeit von v(x) in x gegen 0. Somit hätte man ein Produkt einer existierenden Zahl mit der Zahl 0 und das ergibt 0.
Zwar sollte der Beweis in dieser Form korrekt sein, aber ich möchte nicht vorgreifen, denn da könnte es Fallen geben, wie z.B. f(x) = x
2 für x in IQ und f(x) = 0 für x in IR\IQ oder z.B. sin(1/x) - bei so etwas kann man immer wieder Überraschungen erleben, die man um diese Uhrzeit übersehen haben könnte.
Sollte der Beweis tatsächlich korrekt sein, ist dieser natürlich aufgrund seiner kürzeren Argumentation zu bevorzugen.
Freundliche Grüsse, Ralf