endlich viele natürliche Zahlen

[ralfkannenberg]

Ich hör immer Manuel? Hab etwas nicht mitgekriegt?

Das ist der Webmaster, also nocheinPoet.


Freundliche Grüsse, Ralf

[Dgoe]

Achso,

Entschuldigung an nocheinPoet (Webmaster), ich bin noch neu hier, das wusste ich nicht.

Gruß,
Dgoe

[Dgoe]

Hallo Ralf, (übrigens, wenn ich die Ansprache schon mal weglasse, dann nur, weil wir meist alleine sind und im schnellen Rhythmus antworten, soll nicht unhöflich sein)

Also, ich wollte mal kund geben, dass ich folgenden Artikel gestern mal gelesen habe:
http://de.wikipedia.org/wiki/Kongruenz_(Zahlentheorie)

aus dieser Empfehlung heraus:

...Dieser Artikel beschäftigt sich mit der algebraischen Definition und abstrakteren Eigenschaften von Restklassenringen. Für eine einfachere und verständlichere Einführung in die Rechenregeln siehe den Artikel Kongruenz (Zahlentheorie)...

Quelle

Das war gar nicht mal so ganz unverständlich, da hatte ich mit einiger Mühe des Entschlüsselns sogar einige Aha-Erlebnisse. Was nicht heißen soll, nun ist alles klar, bitte mach mit deinem Programm weiter. Aber ich konnte beispielsweise in dem Hauptartikel Restklassenringe rückwirkend verstehen, warum im Restklassenring modulo 4 die Multiplikation nicht abgeschlossen ist, weil 2*2=0 ergibt (Nullteiler). Das habe ich als Verständnis-Fortschritt verbucht, auch wenn vielleicht mit viel Einbildung.

Gruß,
Dgoe

[ralfkannenberg]

Das war gar nicht mal so ganz unverständlich, da hatte ich mit einiger Mühe des Entschlüsselns sogar einige Aha-Erlebnisse. Was nicht heißen soll, nun ist alles klar, bitte mach mit deinem Programm weiter. Aber ich konnte beispielsweise in dem Hauptartikel Restklassenringe rückwirkend verstehen, warum im Restklassenring modulo 4 die Multiplikation nicht abgeschlossen ist, weil 2*2=0 ergibt (Nullteiler). Das habe ich als Verständnis-Fortschritt verbucht, auch wenn vielleicht mit viel Einbildung.

Hallo Dgoe,

das ist ja gut und schön, aber es ist falsch: selbstverständlich ist im Restklassenring modulo 4 die Multiplikation abgeschlossen, denn 2*2 liefert ja ein Ergebnis, welches ebenfalls in diesem Restklassenring liegt.

Das ist eben das Problem der Lektüre von solchen Wikipedia-Artikeln, weil man das ohne Basisausbildung eben leider nur bestenfalls halbrichtig versteht.

Also:

Abgeschlossen ja, denn 0 ist Element vom Restklassenring modulo 4
Nullteiler auch ja, denn 2*2=0, obgleich keiner der Faktoren gleich 0 ist.

In einem Körper kann sowas nicht passieren, in einem Ring aber schon. Das ist übrigens der Grund, warum man nur Integritätsbereiche zu einem Körper (Quotientenkörper) erweitern kann, denn Integritätsbereiche sind per definitionem nullteilerfrei.

Ich weiss, ich wiederhole mich: Restklassenringe sind nicht wirklich schwer, aber eben: sie sind auch nicht ohne !


Freundliche Grüsse, Ralf

[Dgoe]

Hallo Ralf,

man beachte den dritten Prosa-Satz http://de.wikipedia.org/wiki/Restklassenring#Der_Restklassenring_modulo_4

... Die Multiplikation ist also in "/Z\4/Z \{0}" nicht abgeschlossen. Die so entstandene Struktur "(/Z\4/Z,+,*)" ist damit kein Körper ...

(Die Notatation ergänzt von mir in Anführungszeichen, nach bestem Wissen und Gewissen) Hm. Was soll ich sagen, k.A.

Gruß,
Dgoe

[Dgoe]

eigentlich widerspricht sich das ja nicht, denn in der wiki ist von körper die rede, das sagst du ja auch...

[ralfkannenberg]

aaaarrrggghhh

aber dieses Mal kannst Du nichts dafür ...

... und die Wikipedia ist auch richtig


Das Problem ist, dass ich hier etwas laiengerecht herzuleiten versuche und entsprechend bei weitem nicht alles, was es in diesem Umfeld an Resultaten gibt, erwähne, weil das viel zu viel wäre. Die Wikipedia aber verwendet diese Resultate.

Ein solches zusätzliches Resultat ist also, dass ein Ring dann und nur dann ein Körper ist, wenn die Menge ohne das Nullelement bezüglich der Multiplikation eine kommutative Gruppe bildet. Ohne das Nullelement, weil man ja durch 0 nicht dividieren kann, d.h. die 0 kein "multiplikativ Inverses" hat.

Im Falle der Restklasse modulo 4 haben wir dann aber die Situation, dass das Produkt zweier Elemente durchaus 0 ergeben kann, aber die 0 ist ja nicht in der Menge, aus der wir die 0 herausgenommen haben.

Also:
IZ mod 4 ist bezüglich der Multiplikation abgeschlossen
IZ mod 4 ohne die 0 ist bezüglich der Multiplikation nicht abgeschlossen

Und so ganz en passent nehmen wir noch mit, dass Körper stets nullteilerfrei sind.

Aber eben, sowas verkompliziert das ganze doch etwas und an sich benötigen wir das für unsere laiengerechte Einführung in die Restklassen nicht.

Dieser Beitrag ist auch nicht im Rahmen dieser Smalltalk-Einführung zu sehen, sondern lediglich als Erklärung, was mit dem Wikipedia-Eintrag gemeint ist.

Noch ein Ausblick: dass 2*2 = 0 in IZ modulo 4 ist der Grund, warum der Beweis, dass die Quadratwurzel von 2 keine rationale Zahl ist, der auch bei der Quadratwurzel von 3 problemlos klappt, bei der Quadratwurzel aus 4 nicht funktioniert.


Freundliche Grüsse, Ralf

[Dgoe]

Na gut,

gehen wir lieber zurück zum small talk.
Danke für die Aufklärung. Aber kommt die Null nicht in anderen Körpern auch vor? Wenn man mit Null multipliziert (=0), muss man ja nicht unbedingt auch durch Null wieder teilen, ich dachte dies wird per Definition ausgeschlossen, sozusagen als Ausnahme. Aber ich sehe schon, dass dies den Rahmen sprengt sowie auch mein Verständnis.

Gruß,
Dgoe

[ralfkannenberg]

Na gut,

gehen wir lieber zurück zum small talk.

Hallo Dgoe,

nein nein, das gehört hierher und passt auch sehr gut.

Danke für die Aufklärung. Aber kommt die Null nicht in anderen Körpern auch vor?

Siehst Du nun, warum ich so oft um Vorsicht anmahne ?

Also: gegeben ist eine Menge M mit einer "Addition" und einer "Multiplikation".

Ich schreibe diese in Apostrophe, weil diese "Addition" und "Multiplikation" nicht notwenig dasselbe sein müssen, was wir bei den Zahlen darunter verstehen.

Nun gibt es zwei äquivalente Arten (diese Äquivalenz muss man natürlich beweisen !), einen Körper zu definieren:

(M, "Addition","Multiplikation") erfüllt die Körperbedingungen

oder

(M, "Addition") ist eine kommutative Gruppe und (M ohne 0, "Multiplikation") ist eine kommutative Gruppe und das Distributivgesetz ist erfüllt


Hierbei soll 0 das Neutralelement der "Addition" kennzeichnen, welches vorhanden sein muss, da es zu den Gruppenbedingungen von (M, "Addition") gehört.

Wenn man mit Null multipliziert (=0), muss man ja nicht unbedingt auch durch Null wieder teilen, ich dachte dies wird per Definition ausgeschlossen, sozusagen als Ausnahme. Aber ich sehe schon, dass dies den Rahmen sprengt sowie auch mein Verständnis.

Das ist alles richtig, aber wenn man die äquivalente Definition verwendet, dann muss man darauf achten, denn dann muss man ja zwei Gruppenbedingungen nachweisen, nämlich eine für die Addition und eine zweite für die Multiplikation. Letzteres klappt aber nur, wenn man die 0 aus der Menge herausnimmt.

Was x*0 ergibt ist übrigens klar, sobald (M, "Addition") eine Gruppe bildet und das Distributivgesetz erfüllt ist:

x*0 = x*(x-x) = x*x - x*x = 0, und zwar für alle x in M.


Freundliche Grüsse, Ralf

[Dgoe]

Ha,

wie raffiniert! Also die Null kommt nur in der Addition vor, aber nicht in der Multiplikation, im letzteren nur indirekt bestenfalls über den Umweg der Addition durch diesen "Trick": x*0 = x*(x-x) = x*x - x*x = 0, und zwar für alle x in M. Denn x*x und Subtraktion (in der Addition inbegriffen) ist ja erlaubt und darf dort auch Null werden. Die Division (in der Multiplikation inbegriffen) kann nicht durch Null teilen, da die 0 nicht zur Multiplikation dazugehört, bzw. zu der Menge, dessen Elemente dann alle ganz sauber ein multiplikativ inverses Element haben. Richtig?

Was du übrigens schon mal irgendwo hingeschrieben hattest, meine ich, ohne dass ich den tieferen Sinn verstanden hätte. Sieht ja auch ganz gewöhnlich aus ansonsten, diese Gleichung.

Wenn ich das so richtig begriffen habe, dann stellen sich mir allerdings noch ein paar Fragen...

Gruß,
Dgoe