endlich viele natürliche Zahlen

[ralfkannenberg]

Ha,

wie raffiniert! Also die Null kommt nur in der Addition vor, aber nicht in der Multiplikation

aaarggghhhhh

[ralfkannenberg]

Ha,

wie raffiniert! Also die Null kommt nur in der Addition vor, aber nicht in der Multiplikation

Moment, moment: selbstverständlich kommt die 0 bei der Multiplikation vor, das wäre ja total blöd wenn das nicht so wäre.

Aber während die Menge M mit der Additon eine kommutative Gruppe bildet, bildet die Menge M mit der Multiplikation keine kommutative Gruppe.

Und zwar nie - es ist in einem Ring niemals möglich, ein multiplikativ Inverses zur 0, also zum Neutralelement der Addition, zu finden.

Für einen Körper braucht es das aber nicht - es wäre ja auch idiotisch, etwas zu definieren, was es gar nicht geben kann; hier genügt es, dass die Menge M ohne die 0 eine kommutative Gruppe bildet. Aber selbstverständlich ist die volle Menge, also mit der 0, nach wie vor existent und erfüllt auch alle Ringeigenschaften.


Freundliche Grüsse, Ralf

[Dgoe]

Hallo Ralf,

zu:

Ha,

wie raffiniert! Also die Null kommt nur in der Addition vor, aber nicht in der Multiplikation

Moment, moment: selbstverständlich kommt die 0 bei der Multiplikation vor, das wäre ja total blöd wenn das nicht so wäre.

hattest du in einem Fall

(M ohne 0, "Multiplikation")

Aber ich muss mir den Rest deines letzten Posts noch näher vergegenwärtigen. Und überhaupt.

Gruß,
Dgoe

[ralfkannenberg]

zu:

Ha,

wie raffiniert! Also die Null kommt nur in der Addition vor, aber nicht in der Multiplikation

Moment, moment: selbstverständlich kommt die 0 bei der Multiplikation vor, das wäre ja total blöd wenn das nicht so wäre.

hattest du in einem Fall

(M ohne 0, "Multiplikation")

Nein, diese Wikipedia-Schei**e hattest Du eingebracht; ich hatte schon sehr gute Gründe, das wegzulassen.

Sie ist zwar richtig, aber eben extrem verwirrend.


Freundliche Grüsse, Ralf

[Dgoe]

Ach was, nur ein ganz ganz kleines klitzeklein wenig...
Wikipedia rocks! Yeah.
Ok, Scherz beiseite,
vergessen wir das mit Wikipedia, das reinste Minenfeld... War keine Absicht.
Mir war nur so, als hätte ich etwas verstanden, das könnte man später ja mal aufgreifen, wenn wir weiter sind...

Gruß,
Dgoe

[ralfkannenberg]

Hallo Dgoe,

Wikipedia rocks! Yeah.

nicht wirklich ...

vergessen wir das mit Wikipedia, das reinste Minenfeld... War keine Absicht.
Mir war nur so, als hätte ich etwas verstanden, das könnte man später ja mal aufgreifen, wenn wir weiter sind...

Das geht auch jetzt schon:

Körper = Menge mit "Addition" und "Multiplikation", die Körpereigenschaften erfüllt


... oder ...


Körper =
Menge mit "Addition", die kommutative Gruppeneigenschaften erfüllt und
Menge ohne Null mit "Multiplikation", die kommutative Gruppeneigenschaften erfüllt und
Distributivgesetz


Freundliche Grüsse, Ralf

[Dgoe]

Wikipedia rocks! Yeah.

nicht wirklich ...

Mathepedia (an Wikipedia angelehnt) soll in Bezug zu Mathe (was sonst) etwas (ver)besser(t) sein.

Siehst du, hier schon wieder Multiplikation ohne 0:

Körper = Menge mit "Addition" und "Multiplikation", die Körpereigenschaften erfüllt


... oder ...


Körper =
Menge mit "Addition", die kommutative Gruppeneigenschaften erfüllt und
Menge ohne Null mit "Multiplikation", die kommutative Gruppeneigenschaften erfüllt und
Distributivgesetz

(bold/size von mir)

So wie hier auch:

Siehst Du nun, warum ich so oft um Vorsicht anmahne ?

Also: gegeben ist eine Menge M mit einer "Addition" und einer "Multiplikation".

Ich schreibe diese in Apostrophe, weil diese "Addition" und "Multiplikation" nicht notwenig dasselbe sein müssen, was wir bei den Zahlen darunter verstehen.

Nun gibt es zwei äquivalente Arten (diese Äquivalenz muss man natürlich beweisen !), einen Körper zu definieren:

(M, "Addition","Multiplikation") erfüllt die Körperbedingungen

oder

(M, "Addition") ist eine kommutative Gruppe und (M ohne 0, "Multiplikation") ist eine kommutative Gruppe und das Distributivgesetz ist erfüllt


Hierbei soll 0 das Neutralelement der "Addition" kennzeichnen, welches vorhanden sein muss, da es zu den Gruppenbedingungen von (M, "Addition") gehört.

(bold/color von mir)
Aber meckern... (ich mein das nicht ernst) - Nur darauf hatte ich mich vorher bezogen.

Gruß,
Dgoe

[Dgoe]

Nur, ich hatte das wohl aus dem Zusammenhang gerissen, war aber wieder keine Absicht...

[ralfkannenberg]

Siehst du, hier schon wieder Multiplikation ohne 0:

Hallo Dgoe,

natürlich, aber nur, weil Du auf die Wikipedia referenziert hast, in der stand, dass da irgendwie "modulo 4" eine Multiplikation nicht abgeschlossen sei. - Und da stellt sich natürlich die Frage, wogegen das nicht abgeschlossen ist.

Gegen den Restklassenring modulo 4 ist die Multiplikation selbstverständlich abgeschlossen, denn das Resultat ist die 0 und diese ist Element vom Restklassenring modulo 4.

Gegen den Restklassenring modulo 4 ohne die 0 indes ist die Multiplikation nicht abgeschlossen, denn das Resultat ist die 0 und diese ist eben nicht Element vom Restklassenring modulo 4 ohne die 0.

Und um die Körpereigenschaften zu überprüfen verwendet die Wikipedia eben die 2.Methode und da verlangt die 2.Bedingung u.a., dass die Menge Restklassenring modulo 4 ohne die 0 bezüglich der Multiplikation abgeschlossen sein muss; das ist ja das erste Gruppenaxiom.

Ich selber hätte das anders widerlegt, nämlich dass das Körperaxiom, gemäss dem jedes Element ausser der 0 ein multiplikativ Inverses haben muss, nicht erfüllt ist, denn ebendiese 2, die uns schon oben Probleme bereitet hat, hat kein solches:

2*0 = 0
2*1 = 2
2*2 = 0 (weil 4 = 1*4 + 0)
2*3 = 2 (weil 6 = 1*4 + 2)

doch um ein multiplikativ Inverses haben zu können müsste ja 2*x = 1 gelten.


Freundliche Grüsse, Ralf

[Dgoe]

Super, das habe ich so am Besten verstanden.