Irrationalität der Euler‘schen Zahl e

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Irrationalität der Euler‘schen Zahl e

Beitragvon ralfkannenberg » Donnerstag 14. August 2014, 22:12

Hallo zusammen,

ich möchte wieder einmal die Tradition der mathematischen Dummie-Threads aufgreifen. In meinen Ferien habe ich zufällig einen sehr eleganten und einfachen Beweis gelesen, dass die Euler’sche Zahl e irrational ist. Der Beweis wurde vom berühmten Mathematiker Fourier geführt. Zwar ist die Irrationalität der Euler’schen Zahl nicht wirklich von Interesse – das Interesse liegt beim Nachweis der Transzendenz von e, der dem Mathematiker Hermite im Jahre 1873 gelang.

Dennoch denke ich, dass auch der Laie problemlos den Beweis der Irrationalität nachvollziehen kann und als ich diesen Beweis gesehen habe, habe ich ihn sofort in mein Repertoire der auswenig aufsagbaren Beweise übernommen. Bislang haben wir nur die Irrationalität von Wurzeln bewiesen, die wichtigsten zugehörigen Links finden sich hier, zudem sei auch auf diesen eleganten Beweis der Irrationalität der Quadratwurzel einer Primzahl, den Herr Senf genannt hat, nochmals hingewiesen.

Während der Vorbereitung habe ich mir überlegt, wie man diesen Thread am zweckmässigsten gestalten könnte, und gestern abend kam mir dann die Idee, auch dieses Thema in zwei parallelen Threads zu erarbeiten, um uns nicht zu verzetteln: in diesem Thread werden wir unser Schwergewicht auf den algebraischen Teil setzen und all‘ die lästigen Fragen zur Wohldefiniertheit aussen vor lassen: im Gegensatz zu den Quadratwurzeln einer natürlichen Zahl, die sich nach dem Satz von Pythagoras aus Diagonalen von Rechtecken ergeben, oder auch als Nullstellen quadratischer ganzzahliger Polynome, ist die Euler’sche Zahl als unendliche Summe definiert, was natürlich allerlei Probleme beschert.

Auf "Dummie-Niveau" lassen sich diese Probleme allesamt recht einfach mit der "geometrischen Reihe" bewältigen, und da diese auch im Beweis der Irrationalität der Euler’schen Zahl wesentlich vorkommt, werde ich also einen parallelen Thread über die geometrische Reihe führen, dessen Schwergewicht also der analytische Teil sein wird. Erst kürzlich hatten wir eine Diskussion im astronews-Forum, die ebenfalls problemlos mit der geometrischen Reihe gelöst werden konnte; das war die Frage, ob 0.99999… gleich 1 sei. Selbstverständlich kann der Parallel-Thread über die geometrische Reihe auch für andere Fragestellungen unabhängig der Euler’schen Zahl genutzt werden.

Soviel mal zum Einstieg.


Freundliche Grüsse, Ralf
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Re: Irrationalität der Euler‘schen Zahl e

Beitragvon ralfkannenberg » Donnerstag 14. August 2014, 22:20

Hallo zusammen,

der Parallelthread befindet sich hier: die geometrische Reihe für Dummies


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Re: Irrationalität der Euler‘schen Zahl e

Beitragvon ralfkannenberg » Freitag 15. August 2014, 12:54

Hallo zusammen,

ich will nun die Definitionen vorstellen.

Hierbei ist noch zu beachten, dass das "leere Produkt" 0! per definitionem den Wert 1 hat.

Definition:
Die Euler'sche Zahl e ist wie folgt definiert:

e := 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + 1/5! + ...


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Re: Irrationalität der Euler‘schen Zahl e

Beitragvon ralfkannenberg » Freitag 15. August 2014, 13:24

ralfkannenberg hat geschrieben:Definition:
Die Euler'sche Zahl e ist wie folgt definiert:

e := 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + 1/5! + ...


Hallo zusammen,

wir haben es hier also mit einer Reihe, also einer Summe mit unendlich vielen Summanden, zu tun. Sowas ist zunächst einmal nicht definiert, d.h. man wir noch einige Überprüfungen vornehmen müssen.

Sei an dieser Stelle ein Klassiker der Fallen genannt:
Was ist (1+ (1/n) )^n für n->oo ?

Nun, man könnte ja denken, dass, da 1/n -> 0 konvergiert und (1+ (1/n) ) somit gegen 1 konvergiert und 1^n ebenfalls gegen 1 konvergiert das ganze also gegen 1 konvergiert.

Tut es aber nicht, da es kein Konvergenzgesetz gilt, welches eine Konvergenz-Aussage über den Exponenten machen kann.

Man kann beweisen - es würde den Rahmen dieses Threads allerdings übersteigen - dass obige Folge gegen die Euler'sche Zahl e konvergiert. Für die Aufgabenstellung dieses Threads benötigen wir dieses Resultat allerdings nicht.


Freundliche Grüsse, Ralf
Zuletzt geändert von ralfkannenberg am Freitag 15. August 2014, 17:35, insgesamt 1-mal geändert.
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Re: Irrationalität der Euler‘schen Zahl e

Beitragvon Dgoe » Freitag 15. August 2014, 17:29

Hallo Ralf,

wenn man die Eulersche Zahl in Primfaktoren zerlegen könnte, wüsste ich auch noch eine Beweisidee zur Irrationalität.
Leider dürfte sich das nur schwierig gestalten.

@Herr Senf:
Die e = 2,718281828459045235... gefällt Dir bestimmt. 2,7*10=27 (Deine Lieblingszahl, mein Geburtsdatumstag), danach noch 18 und 28 und 18 und 28, also immer etwas drumherum, lustig. Schade, danach endet der Spaß, wobei 45 und 90 (doppelt) und wieder 45 (halbiert) auch noch recht einfach zu merken sind (rechter Winkel).
Na immerhin jetzt schon auf 15 Stellen nach dem Komma auswendig ...

Die dann folgenden Ziffern 2,3,5 wären zufällig die ersten Primzahlen, mit der umstrittenen 2, die natürlich keine ist. Weiß jemand wie die Folge weitergeht?

Gruß,
Dgoe
Zuletzt geändert von Dgoe am Freitag 15. August 2014, 17:38, insgesamt 1-mal geändert.
Alle sagten immer das geht nicht, dann kam jemand, der das nicht wusste, und hat es einfach gemacht!
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Re: Irrationalität der Euler‘schen Zahl e

Beitragvon ralfkannenberg » Freitag 15. August 2014, 17:34

ralfkannenberg hat geschrieben:Definition:
Die Euler'sche Zahl e ist wie folgt definiert:

e := 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + 1/5! + ...


Hallo zusammen,

nun benötigen wir ein Resultat vom Nachbarthread:

ralfkannenberg hat geschrieben:Theorem 1:
Sei 0 <= a < 1.
Dann hat die geometrische Reihe von a den Wert a/(1-a), d.h. es gilt:

a + a2 + a3 + a4 + a5 + ... = a/(1-a)


Theorem 2: Die Euler'sche Zahl e existiert.

Bemerkung:
Das Theorem 2 wird vermutlich die meisten von Euch überraschen, dass ich sowas überhaupt erwähne, weil kaum jemand die Existenz der Euler'schen Zahl anzweifeln dürfte. Es handelt sich aber um eine Reihe, also eine Summe mit unendlich vielen Summanden und es ist zunächst einmal nicht gesagt, dass die einfach so schön existiert - sie könnte wie bei der alternierenden harmonischen Reihe je nach Anordnung verschiedenen Grenzwerte haben oder ganz banal wie die nicht-alternierende harmonische Reihe einfach über alle Schranken anwachsen.

Beweis von Theorem 2:
Es genügt zu zeigen, dass die Definitionsreihe der Euler'schen Zahl

1. monoton wachsend ist und
2. nach oben beschränkt ist

Beweis:
1. da alle Glieder der Definitionsreihe der Euler'schen Zahl positiv sind, folgt die Monotonie sofort

2. Wir können ohne Einschränkung der Allgemeinheit die beiden ersten Glieder der Definitionsreihe der Euler'schen Zahl weglassen und definieren statt dessen:

f := 1/2! + 1/3! + 1/4! + 1/5! + ...

Nun betrachten wir die geometrischen Reihe g für die Zahl 1/2:

g = (1/2) + (1/2)2 + (1/2)3 + (1/2)4 + ...

Jedes Glied von f ist kleiner oder gleich jedem Glied von g:

1.Glied: 1/2 <= 1/2
2.Glied: 1/3! = 1/(2*3) <= 1/(2*2) = (1/2)2
3.Glied: 1/4! = 1/(2*3*4) <= 1/(2*2*2) = (1/2)3
4.Glied: 1/5! = 1/(2*3*4*5) <= 1/(2*2*2*2) = (1/2)4 u.s.w.

Also gilt: f <= g

Nach Theorem 1 gilt: g = (1/2) / (1 - (1/2) ) = (1/2) / (1/2) = 1; das ist ja gerade das Beispiel, dass man die Hälfte zu einer Wand geht, dann nochmals die Hälfte usw.

Also gilt: f <= g = 1, also ist f nach oben beschränkt, also ist auch 1/0! + 1/1! + f nach oben beschränkt und ist kleiner als 3.

Das war zu zeigen.


Freundliche Grüsse, Ralf
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Re: Irrationalität der Euler‘schen Zahl e

Beitragvon Yukterez » Freitag 15. August 2014, 17:49

Die Euler'sche Zahl e ist wie folgt definiert:
e := 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + 1/5! + ...

Eine etwas umständliche Notation. Ohne "..." geht es aber auch:

Bild

Platz sparend,

Bild
Σιμον Τύραν, Vienna. ↯ yukterez.ist.org
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Re: Irrationalität der Euler‘schen Zahl e

Beitragvon Dgoe » Freitag 15. August 2014, 17:52

Oha,

das muss ich mir mal ganz ganz in Ruhe ansehen, so zwischen 12 Uhr und Mitternacht...

"Dummie, gib Gummi!" *in Spiegel guck*

Gruß,
Dgoe
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Re: Irrationalität der Euler‘schen Zahl e

Beitragvon Herr Senf » Freitag 15. August 2014, 17:57

Dgoe hat geschrieben:@Herr Senf: Die e = 2,718281828459045235... gefällt Dir bestimmt. ... noch recht einfach zu merken ...

Hallo Dgoe,
ich merk sie mir noch einfacher "ln e = 1".
Gruß Senf
ich will auch mal was dazu sagen
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Re: Irrationalität der Euler‘schen Zahl e

Beitragvon Dgoe » Freitag 15. August 2014, 18:05

Herr Senf hat geschrieben:ich merk sie mir noch einfacher "ln e = 1".

Hehe,

und den ln-Button als Bonbon zum Frühstück, oder wie?

Offtopic:
Wie machst Du das denn mit Pi? Die finde ich etwas schwieriger...


@Ralf: Sorry Ralf, muss mit dem Thema erst mal warm werden, hoffe das ist ok!?

Gruß,
Dgoe
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