Irrationalität der Euler‘schen Zahl e

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Re: Irrationalität der Euler‘schen Zahl e

Beitragvon Dgoe » Samstag 16. August 2014, 13:30

Hallo Ralf,

wie ist denn jetzt die Aufgabe?

Was ist = ln(1) ?

Antwort:
ln(1) = 0

Lösungsweg:
Windows OS: Start/All Programs/Windows Accessories/Calculator/Type Alt+2 (for scientific view)/Type 1/Push ln button, et voilà !

Grins,
Dgoe
Zuletzt geändert von Dgoe am Samstag 16. August 2014, 14:58, insgesamt 1-mal geändert.
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Re: Irrationalität der Euler‘schen Zahl e

Beitragvon Dgoe » Samstag 16. August 2014, 14:56

Hallo,

ich habe mir das jetzt hier und hier angesehen:
Die Logarithmusfunktion hat eine Nullstelle bei 1, d.h. alle, auch die ln-Funktion, gehen durch den Punkt (1|0).

Dann lassen sich die Rechenregeln noch recht einfach merken, denn aus Multiplikation wird Addition, aus Division wird Subtraktion und aus Potenzieren wird Multiplizieren, alles einfach runtergebrochen.

Aha, log steht für die Logarithmusfunktion egal welcher Basis und ln für die mit der Basis e, natürliche Logarithmusfunktion genannt, welche gleichzeitig die Umkehrfunktion von ex (der natürlichen Exponentialfunktion) ist.
Ist ja dann auch klar, dass log(1) {wie auch ln(1)} = 0 ist, weil x0= 1, bzw. e0=1 und der Kehrwert von 1 eben 0 ist, so dass ln(1)=0

Allgemeine Info: Mit Logarithmus bezeichnet man den Wert des Exponenten.

Zusätzliche Info für wen es wundert was ! bedeutet, was ich schon kannte. Damit ist die sogenannte Fakultät gemeint, Beispiel:
5! = 1*2*3*4*5

Gruß,
Dgoe


P.S.: Bei Wikipedia steht hier übrigens folgendes:
Wikipedia Potenz_(Mathematik)#Null_hoch_Null hat geschrieben:Auch hier ist die Konvention 00=1 sinnvoll.
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Re: Irrationalität der Euler‘schen Zahl e

Beitragvon Dgoe » Samstag 16. August 2014, 16:15

Hier als Rap-Song:
Die Eulersche Zahl ist irrational (Mathe-Song)
ganz smart und locker! Allerdings ist die entscheidende Stelle nur recht kurz. Groovt aber.

Gruß,
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Re: Irrationalität der Euler‘schen Zahl e

Beitragvon ralfkannenberg » Samstag 16. August 2014, 16:59

Dgoe hat geschrieben:Ist ja dann auch klar, dass log(1) {wie auch ln(1)} = 0 ist, weil x0= 1, bzw. e0=1 und der Kehrwert von 1 eben 0 ist, so dass ln(1)=0

Hallo Dgoe,

es gibt keine Aufgabe, ich hatte mich geirrt.

Diese E(x) ist natütlich die Exponentialfunktion, über die wir hier aber gar nicht sprechen möchten, und ich dachte, neben E(1) = e wäre eben E(0) = 1 auch noch ein zwar trivialer, aber dennoch ganz netter Spezialfall.

Man lernt natürlich, dass die Exponentialfunktion überall definiert ist, aber zunächst einmal ist sie nur für positive x und an sich auch einfach für negative x - was natürlich noch bewiesen werden muss, dass das auch wirklich jeweils gegen nur eine Zahl konvergiert, wie wir das bei der Euler'schen Zahl mit Hilfe der geometrischen Reihe getan haben.

Für x=0 ist sie indes wegen 00 nicht definiert, kann aber dorthin stetig fortgesetzt werden. Natürlich könnte man in der Definition einfach das x0/0! durch 1 ersetzen, dann wäre dieses Problem umgangen, aber dann hätte man nicht mehr diese hübsche Summendarstellung bzw. Reihendarstellung, sondern müsste 1 + "Summe von 1 (statt 0) bis oo" der xn/n! schreiben, was umständlich ist.


Kurz und gut: formale Probleme, die mit der Euler'schen Zahl eigentlich nichts zu tun haben.

Wie auch immer, das ganze hat nun dazu geführt, dass Du Dich ganz zwanglos mal ein bisschen mit dem Umfeld dieser Zahl beschäftigt hast, und eben das war meine Idee. Dass mir dabei noch ein 00 über den Weg läuft hatte ich gestern abend übersehen.


Freundliche Grüsse, Ralf
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Re: Irrationalität der Euler‘schen Zahl e

Beitragvon Dgoe » Samstag 16. August 2014, 20:56

Hallo Ralf,

Deine Idee hat funktioniert. Spezialfälle finde ich gut, machen doch erst das Salz in der Suppe. Ok, dann lese ich mir über's Wochenende nochmal alles durch.

Gruß,
Dgoe
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Re: Irrationalität der Euler‘schen Zahl e

Beitragvon ralfkannenberg » Samstag 16. August 2014, 22:51

Dgoe hat geschrieben:Deine Idee hat funktioniert.

Hallo Dgoe,

zweifelsohne, aber völlig anders als ich mir das vorgestellt hatte. Mich wurmt nur, dass ich das mit dem 00 übersehen hatte.

Dgoe hat geschrieben:Spezialfälle finde ich gut, machen doch erst das Salz in der Suppe.

Statt jetzt übermütig zu werden wollen wir uns nun aber wieder auf die Euler'sche Zahl beschränken, denn von ihr wissen wir ja, dass sie definiert ist.

Dgoe hat geschrieben:Ok, dann lese ich mir über's Wochenende nochmal alles durch.

Ich will dennoch jetzt schon den Beweis der Irrationalität der Euler'schen Zahl skizzieren:

Wir werden - wenig überraschend - wieder einmal annehmen, dass die Euler'sche Zahl rational sei, dass man also zwei ganze (sogar natürliche) Zahlen p,q findet, so dass e = p/q gilt. Für einmal brauchen wir keine Zusatzforderung, dass p und q keine gewissen gemeinsamen Faktoren besitzen dürfen, der Widerspruch wird anders und dank der geometrischen Reihe sogar ganz einfach hergestellt werden.

Zunächst wird man die Zahl q! * e studieren. Natürlich ist diese eine natürliche Zahl.

Wer das nicht sieht: q! * (p/q) = (q-1)! * p, und da p und q natürliche Zahlen sind ist auch (q-1)! * p eine natürliche Zahl.

Dann wird man q! * e in die Definitionsformel von e einsetzen und die ersten (q+1) Glieder betrachten, also bis zu demjenigen, in dem q! im Nenner steht. Das ist eine Summe natürlicher Zahlen und somit selber eine natürliche Zahl.

Und jetzt betrachtet man das, was noch übrig bleibt, also die Glieder, bei denen im Nenner (q+1)! usw. stand, denn die können sich ja mit dem q! im Zähler nicht wegkürzen.

Dann schätzt man völlig analog zum Beweis, dass die Euler'sche Zahl definiert ist, alle grösseren Nenner wie (q+2), (q+3) u.s.w. durch q+1 ab, man erhält eine geometrische Reihe und rechnet diese aus und ja, das Ergebnis wird dann eben keine natürliche Zhal sein.

Somit ist die natürliche Zahl q! * e Summe einer natürlichen Zahl und eines echten Bruches, was aber ein Widerspruch ist.

Soweit die Beweisskizze, wir werden uns das nächste Woche genauer anschauen. Du kannst aber schon versuchen, selber ein Stück weit voranzugehen; der Beweis wird sehr ähnlich wie dieser hier ablaufen.


Freundliche Grüsse, Ralf
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Re: Irrationalität der Euler‘schen Zahl e

Beitragvon Dgoe » Sonntag 17. August 2014, 16:46

ralfkannenberg hat geschrieben:
Dgoe hat geschrieben:Spezialfälle finde ich gut, machen doch erst das Salz in der Suppe.

Statt jetzt übermütig zu werden wollen wir uns nun aber wieder auf die Euler'sche Zahl beschränken, denn von ihr wissen wir ja, dass sie definiert ist.

Hallo Ralf,

das klingt nur so, ich meinte das ganz trocken. Ich habe schon manches mal gerade über die Spezialfälle einen Zusammenhang besser erkennen, verstehen können.

Ich habe im Moment immer wieder mal kurz Zeit, insgesamt aber nicht viel. Bitte nicht wundern, wenn ich mal 'was länger brauche. Muss immer noch den Moment finden, das alles nochmal in Ruhe zu lesen...

Gruß,
Dgoe
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Re: Irrationalität der Euler‘schen Zahl e

Beitragvon Yukterez » Sonntag 17. August 2014, 20:31

ralfkannenberg hat geschrieben:sei E(x) := x0/0! + x1/1! + x2/2! + x3/3! + x4/4! + x5/5! + ...
Wir wissen jetzt noch nicht, ob E(x) existiert, also konvergiert - das ist momentan auch nicht das Thema dieses Threads.

Also in anderen Worten

Bild

Das konvergiert wenn x≠0 gegen ex. Da bei

Bild

als Ergebnis ex-1 herauskommt, macht es hier am meisten Sinn, für 00=1 zu definieren, um einen Riss in der Funktion zu vermeiden.

Nachrechnend,

Bild
Σιμον Τύραν, Vienna. ↯ yukterez.ist.org
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Re: Irrationalität der Euler‘schen Zahl e

Beitragvon ralfkannenberg » Montag 18. August 2014, 09:55

Yukterez hat geschrieben:als Ergebnis ex-1 herauskommt, macht es hier am meisten Sinn, für 00=1 zu definieren, um einen Riss in der Funktion zu vermeiden.

Hallo Yukterez,

genau, und das "Vermeiden eines Risses" nennt man:

ralfkannenberg hat geschrieben:Für x=0 ist sie indes wegen 00 nicht definiert, kann aber dorthin stetig fortgesetzt werden.


Hoffentlich noch mehr Klarheit geschafft habend,
Ralf
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Re: Irrationalität der Euler‘schen Zahl e

Beitragvon ralfkannenberg » Dienstag 19. August 2014, 21:16

Dgoe hat geschrieben:Hier als Rap-Song:
Die Eulersche Zahl ist irrational (Mathe-Song)
ganz smart und locker! Allerdings ist die entscheidende Stelle nur recht kurz. Groovt aber.

Elegant :)

Ich habe dabei sogar noch etwas gelernt, denn er vereinfacht den Widerspruch massiv: da q mindestens 1 sein muss und er somit die geometrische Reihe (1/2) + (1/2)2 + (1/2)3 + (1/2)4 + ... betrachten kann, also das allererste Beispiel nennt, das ich auch genannt habe, welches er dann mit dem Kuchen erläutert, vereinfacht sich das ganze vom diaktischen Standpunkt betrachtet nochmals wesentlich.

Somit kommt er sogar ohne die geometrische Reihe aus ! - Und auch die Existenz der Zahl e haben wir mit dieser "Kuchen-geometrischen Reihe", bei der also a = (1/2) ist, nachweisen können.

Sehr schön ! - Endlich mal ein lohnendes YouTube-Filmchen :)


Freundliche Grüsse, Ralf
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