Dgoe hat geschrieben:Deine Idee hat funktioniert.
Hallo Dgoe,
zweifelsohne, aber völlig anders als ich mir das vorgestellt hatte. Mich wurmt nur, dass ich das mit dem 0
0 übersehen hatte.
Dgoe hat geschrieben:Spezialfälle finde ich gut, machen doch erst das Salz in der Suppe.
Statt jetzt übermütig zu werden wollen wir uns nun aber wieder auf die Euler'sche Zahl beschränken, denn von ihr wissen wir ja, dass sie definiert ist.
Dgoe hat geschrieben:Ok, dann lese ich mir über's Wochenende nochmal alles durch.
Ich will dennoch jetzt schon den Beweis der Irrationalität der Euler'schen Zahl skizzieren:
Wir werden - wenig überraschend - wieder einmal annehmen, dass die Euler'sche Zahl rational sei, dass man also zwei ganze (sogar natürliche) Zahlen p,q findet, so dass e = p/q gilt. Für einmal brauchen wir keine Zusatzforderung, dass p und q keine gewissen gemeinsamen Faktoren besitzen dürfen, der Widerspruch wird anders und dank der geometrischen Reihe sogar ganz einfach hergestellt werden.
Zunächst wird man die Zahl q! * e studieren. Natürlich ist diese eine natürliche Zahl.
Wer das nicht sieht: q! * (p/q) = (q-1)! * p, und da p und q natürliche Zahlen sind ist auch (q-1)! * p eine natürliche Zahl.
Dann wird man q! * e in die Definitionsformel von e einsetzen und die ersten (q+1) Glieder betrachten, also bis zu demjenigen, in dem q! im Nenner steht. Das ist eine Summe natürlicher Zahlen und somit selber eine natürliche Zahl.
Und jetzt betrachtet man das, was noch übrig bleibt, also die Glieder, bei denen im Nenner (q+1)! usw. stand, denn die können sich ja mit dem q! im Zähler nicht wegkürzen.
Dann schätzt man völlig analog zum Beweis, dass die Euler'sche Zahl definiert ist, alle grösseren Nenner wie (q+2), (q+3) u.s.w. durch q+1 ab, man erhält eine geometrische Reihe und rechnet diese aus und ja, das Ergebnis wird dann eben keine natürliche Zhal sein.
Somit ist die natürliche Zahl q! * e Summe einer natürlichen Zahl und eines echten Bruches, was aber ein Widerspruch ist.
Soweit die Beweisskizze, wir werden uns das nächste Woche genauer anschauen. Du kannst aber schon versuchen, selber ein Stück weit voranzugehen; der Beweis wird sehr ähnlich wie dieser
hier ablaufen.
Freundliche Grüsse, Ralf