die geometrische Reihe für Dummies

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Re: die geometrische Reihe für Dummies

Beitragvon ralfkannenberg » Donnerstag 4. September 2014, 20:07

Dgoe hat geschrieben:Also bei alles größer als 1 wird das Ergebnis immer negativ, das ist doch schon äußerst schief.

Hallo Dgoe,

es ist ganz nüchtern betrachtet nur falsch.

Dgoe hat geschrieben:Was haben wir gemacht? Vielleicht war das ausklammern und dividieren nicht so gut, wenn ich so zurückdenke.

Das war wohl weniger das Problem.

Dgoe hat geschrieben:Ich finde den Beweis voll okay, solange man die Bedingung, die dazu gehört, berücksichtigt.

Und warum ist der völlig analoge Beweis für a > 1 weniger voll ok ?

Ich gebe Dir mal einen Tipp: was "predige" ich im Internet ? Was sind da wohl die "Top 3" ?


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Re: die geometrische Reihe für Dummies

Beitragvon Dgoe » Donnerstag 4. September 2014, 22:43

Hallo Ralf,
ralfkannenberg hat geschrieben:Das war wohl weniger das Problem.

Lol, ja gut.

ralfkannenberg hat geschrieben:Und warum ist der völlig analoge Beweis für a > 1 weniger voll ok ?

joa, nun, davon dann mal abgesehen, dass das Ergebnis negativ wird, weiß ich immer noch nicht, muss ich mir die Seiten oben morgen nochmal zu Gemüte führen.

ralfkannenberg hat geschrieben:Ich gebe Dir mal einen Tipp: was "predige" ich im Internet ? Was sind da wohl die "Top 3" ?

Spontan fällt mir dazu nur ein: 1.Voraussetzungen, 2.Voraussetzungen, 3.Voraussetzungen.
Was ich vernünftig finde übrigens, ist also nicht sarkastisch gemeint.
Bin aber auch müde,

Gruß,
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Re: die geometrische Reihe für Dummies

Beitragvon ralfkannenberg » Donnerstag 4. September 2014, 22:49

Dgoe hat geschrieben:
ralfkannenberg hat geschrieben:Ich gebe Dir mal einen Tipp: was "predige" ich im Internet ? Was sind da wohl die "Top 3" ?

Spontan fällt mir dazu nur ein: 1.Voraussetzungen, 2.Voraussetzungen, 3.Voraussetzungen.

Hallo Dgoe,

richtig, mich freut diese Wahrnehmung von Dir sehr. :)

Und dann: wenn das erste Mal nicht "Voraussetzungen" steht, was kommt dann ? - Und das ist auch schon die Lösung.


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Re: die geometrische Reihe für Dummies

Beitragvon ralfkannenberg » Freitag 5. September 2014, 10:00

ralfkannenberg hat geschrieben:Nun subtrahieren wir die beiden Zeilen voneinander:
G - a*G = a, da ja vom Unendlichen immer wieder ein ak "nachrückt"

Hallo zusammen,

da ich erst am nächsten Donnerstag wieder online sein werde möchte ich das noch heute abschliessen. Obiges Zitat entstammt diesem Beitrag von der Seite 3 dieses Threads.

Wie oft "rückt" denn da so ein ak oder allgemeiner, so ein b * ak, nach, oder anders gefragt: wieviele Summanden hat die Summe bzw. deren Differenz, die da im Beweis betrachtet wird ?


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Re: die geometrische Reihe für Dummies

Beitragvon Dgoe » Freitag 5. September 2014, 11:31

Hallo Ralf,

ralfkannenberg hat geschrieben: wenn das erste Mal nicht "Voraussetzungen" steht, was kommt dann ?

*Grübel*
Da könnte Definition (der Behauptung) hin kommen. Kannst Du nicht schön schwere Fragen stellen, die Einfachen fallen mir nämlich besonders schwer?! :?

ralfkannenberg hat geschrieben:Wie oft "rückt" denn da so ein ak oder allgemeiner, so ein b * ak, nach, ...

Wie Du selber schon beantwortet hast: unendlich oft.

ralfkannenberg hat geschrieben: ...oder anders gefragt: wieviele Summanden hat die Summe bzw. deren Differenz, die da im Beweis betrachtet wird ?

Wie Du selber schon beantwortet hast: unendlich viele.

Bei a > 1 konvergiert die Summe nicht mehr gen Null, sondern schaukelt sich immer weiter auf von einem 'Extrem'(+) ins Nächste(-), wegen den Exponenten, hast Du aber auch schon sinngemäß so gesagt.

So wie ich verstanden habe, liegt Dir viel daran, eine endliche Menge zu betrachten G(n).
Davon mal abgesehen habe ich manchmal eben einfach ein Brett vor dem Kopf, gut vernagelt! Das geht nicht so einfach ab. Im Übrigen bin ich mit Epsilon überhaupt nicht vertraut, keine Ahnung was das hier zu suchen hat!?
Obwohl doch, wenn etwas gen Null konvergiert, dann ist es Epsilon, oder wie, oder was?

Gruß,
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Re: die geometrische Reihe für Dummies

Beitragvon ralfkannenberg » Freitag 5. September 2014, 11:59

Dgoe hat geschrieben:
ralfkannenberg hat geschrieben:Wie oft "rückt" denn da so ein ak oder allgemeiner, so ein b * ak, nach, ...

Wie Du selber schon beantwortet hast: unendlich oft.

ralfkannenberg hat geschrieben: ...oder anders gefragt: wieviele Summanden hat die Summe bzw. deren Differenz, die da im Beweis betrachtet wird ?

Wie Du selber schon beantwortet hast: unendlich viele.

Hallo Dgoe,

ganz genau. Und das Problem liegt ganz banal darin, dass Summen mit unendlich vielen Summanden im Allgemeinen nicht definiert sind. Das schliesst aber natürlich nicht aus, dass es Spezialfälle geben mag, in denen sie definiert sind, aber das muss man dann eben beweisen.

Und unsere geometrische Reihe für Zahlen a > 1 zeigt eben sehr schön, warum es berechtigt ist, zu sagen, dass Summen mit unendlich vielen Summanden im Allgemeinen nicht definiert sind. Für Zahlen 0 <= a < 1 kann man beweisen, dass es geht, und dazu benötigt man die epsilon, aber das machen wir später. Elementar gezeigt haben wir es bislang ja nur für a=1/2 und für die Euler'sche Zahl benötigen wir nur die geometrische Reihe für a=1/2.

Vorsicht: Man mag versucht sein, zu glauben, dass das Problem darin liegt, dass die Reihenglieder nicht gegen 0 konvergieren, aber das genügt eben nicht - da hatten wir ja das Gegenbeispiel der alternierenden harmonischen Reihe !

Das "Problem" was hier vorliegt kann man sich sogar veranschaulichen:

Wir haben ja 2 Summen mit je unendlich vielen Summanden, die wir voneinander subtrahieren. Für a >=1 divergieren beide Summen gegen oo, so dass wir also bei der Differenzbildung den Ausdruck oo + (-oo) betrachten und das klappt eben nicht - daraus lässt sich keine Aussage und auch kein Beweis gewinnen. Das ist ganz analog zu der Situation, dass man bei einer zu behauptenden Gleichung versehentlich beide Seiten mit 0 multipliziert und dann meint, man hätte die Gleichheit bewiesen.

Bei 0 <= a < 1 indes - das ist allerdings noch zu zeigen - konvergieren die positiven Summanden gegen eine endliche Zahl und konvergieren auch die negativen Summanden gegen eine endliche Zahl. Man nennt solche Reihen, bei denen das der Fall ist, absolut konvergent und nur wenn man nachweisen kann, dass eine Reihe absolut konvergent ist, darf man wie bei endlichen Summen Summanden vertauschen, Faktoren ausklammern etc. Andernfalls kann es einem passieren, dass man versehentlich irgendwo mit oo addiert oder einen Ausdruck oo + (-oo) betrachtet und somit sämtliche Beweiskraft verliert.


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Re: die geometrische Reihe für Dummies

Beitragvon Dgoe » Freitag 5. September 2014, 12:21

ralfkannenberg hat geschrieben:... das Problem liegt ganz banal darin, dass Summen mit unendlich vielen Summanden im Allgemeinen nicht definiert sind.
(...)
...einen Ausdruck oo + (-oo) betrachtet und somit sämtliche Beweiskraft verliert.

Hallo Ralf,

ach so!! Das wusste ich nicht. Fehlte noch von 'Definition' auf "nicht definiert" zu kommen, hehe.
Bei der Multiplikation mit Null war mir natürlich klar, dass dies vernichtend ist.
Irgendwie wundert es mich aber andererseits auch nicht, dass Unendlich auch im Rahmen der Mathematik problematisch ist, oder sein kann. Sehr interessant, aufschlussreich...

Gruß,
Dgoe
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Re: die geometrische Reihe für Dummies

Beitragvon ralfkannenberg » Freitag 5. September 2014, 12:27

Dgoe hat geschrieben:Irgendwie wundert es mich aber andererseits auch nicht, dass Unendlich auch im Rahmen der Mathematik problematisch ist, oder sein kann. Sehr interessant, aufschlussreich...

Hallo Dgoe,

dieses "Phänomen" hat übrigens nichts mit unendlich zu tun, sondern gilt für alle "maximalen" Elemente, auch wenn diese endlich sind.

Eines der bekanntestens Beispiele ist die Vakuumlichtgeschwindigkeit aus der speziellen Relativitätstheorie und die relativistische Geschwindigkeitsaddition: man kann da nämlich nicht c subtrahieren !

Denn sonst hätte man: 5 km/h + c = c = 10 km/h + c, also 5 km/h = 10 km/h.

Hochgestochener formuliert: die Menge der Geschwindigkeiten bezüglich der relativistischen Geschwindigkeitsaddition bildet keine Gruppe, denn das Element c hat kein additiv Inverses.


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Re: die geometrische Reihe für Dummies

Beitragvon Dgoe » Freitag 5. September 2014, 12:37

Ahaa,

Hallo Ralf,

ein wirklich sehr guter Hinweis und anschauliches Beispiel.

Ich muss heute noch viel erledigen, schaue aber später wieder rein, heute noch, da Du ja off gehst für ein paar Tage. Hatte mir vorhin extra noch etwas Zeit genommen. Bis dahin.

Gruß,
Dgoe
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