Hallo zusammen,
in den letzten Tagen ist mir mehrfach die geometrische Reihe über den Weg gelaufen und diese ist ein äusserst nützliches Instrument, um in gewissen Fällen die Unendlichkeit zu zähmen. Oder korrekt formuliert: um die Konvergenz von unendlichen Summen zu bestimmen.
Es sei an dieser Stelle wenigstens mal erwähnt, dass man in der Mathematik den Summenbegriff nur für Summen mit endlich vielen Summanden verwendet; lässt sich eine Summe nicht mit Hilfe von endlich vielen Summanden beschreiben, so spricht man von einer Reihe, und wenn ihr Wert endlich ist, von einer konvergenten Reihe.
Vorsicht: unendliche Summen können ganz ganz unerwartete Phänomene aufweisen; so kann man Situationen konstruieren, in denen man verschiedene Grenzwerte erhält, wenn man dieselben Summanden nur anders anordnet. Das ist dann der Fall, wenn die Summanden nur langsam gegen 0 konvergieren, aber alle positiven Summanden gegen oo divergieren und alle negativen Summanden gegen -oo.
Bei der geometrischen Reihe kann sowas zum Glück nicht passieren. Wir werden die geometrische Reihe auch für den Parallelthread Irrationalität der Euler‘schen Zahl e nutzen, um diesen Thread zu entlasten und uns dort auf die algebraischen Fragestellungen konzentrieren zu können.
Wir wollen mit einem ganz einfachen Beispiel einsteigen:
Jemand steht vor einer Wand.
Nun geht er die Hälfte des Abstandes zur Wand.
Dann geht er wieder die Hälfte des verbliebenen Abstandes zur Wand, das ist nun noch ein Viertel.
Dann geht er wieder die Hälfte des verbliebenen Abstandes zur Wand, das ist nun noch ein Achtel.
Das kann er beliebig oft machen, er wird aber nie die Wand erreichen. Er kommt ihr aber beliebig nahe.
Man sieht also, dass die Summe 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + … gegen 1 konvergiert. Wer es nicht sieht, der betrachtet einfach den verbleibenden Abstand zur Wand:
1 – 1/2 = 1/2
1 – 1/2 – 1/4 = 1/4
1 – 1/2 – 1/4 – 1/8 = 1/8
1 – 1/2 – 1/4 – 1/8 – 1/16 = 1/16
Und so weiter.
So, das genügt für heute, ich lasse das mal zum Verdauen einfach so stehen.
Freundliche Grüsse, Ralf