Dgoe hat geschrieben:Sei 0 <= a < 1
b*a + b*a2 + b*a3 + b*a4 + b*a5 + ... = b*a/(1-a)
Sei Gb: = b*a + b*a2 + b*a3 + b*a4 + b*a5 +
Betrachten wir a*Gb:
Sei a*Gb = b*a2 + b*a3 + b*a4 + b*a5 + b*a6 + ...
Nun subtrahieren wir die beiden Zeilen voneinander:
Gb - a*Gb = b*a, da ja vom Unendlichen immer wieder ein b*ak "nachrückt"
Klammern wir auf der linken Seite Gb aus:
Gb*(1-a) = b*a
Nun dividieren wir durch 1-a - da a<1 kann 1-a nicht 0 werden:
Gb = b*a/(1-a)
ja?
Hallo Dgoe,
ja, auch wenn es streng genommen falsch ist. Also wegen der Vorbedingung 0 <= a < 1 ist es richtig, man müsste aber noch beweisen, dass es richtig ist. Aber egal - das wollte ich jetzt so haben. Das Problem ist das "Nachrücken" und das werden wir uns noch näher anschauen müssen. Wir machen das nämlich unendlich oft und da kann das mit dem Nachrücken auch mal schief gehen. Im obigen Beweis wird ja nirgendwo verwendet, dass 0 <= a < 1 sein muss.
Nehmen wir jetzt der Einfachheit halber an, dass es bereits hieb- und stichfest bewiesen sei.
Dann haben wir das folgende:
b*a + b*a2 + b*a3 + b*a4 + b*a5 + ... = b*a/(1-a)
und von früher bzw. unter Einsetzen des Spezialfalles b=1:
a + a2 + a3 + a4 + a5 + ... = a/(1-a)
Also gilt:
b * [a + a2 + a3 + a4 + a5 + ...] = b * [a/(1-a)] ------- nach dem Gesetz der geometrischen Reihe
= b*a/(1-a) ------- das ist trivial
= b*a + b*a2 + b*a3 + b*a4 + b*a5 + ... ------- das haben wir soeben bewiesen.
Also: b * [a + a2 + a3 + a4 + a5 + ...] = b*a + b*a2 + b*a3 + b*a4 + b*a5 + ...
Man darf also aus der geometrischen Reihe eine beliebige Zahl ausklammern !
Sowas ist bei unendlichen Summen keineswegs selbstverständlich.
Den korrekten Beweis werden wir zu einem späteren Zeitpunkt führen, er wird dann wieder über die Folge Gb[n] geführt, wobei G[n] so definiert wird, dass sie nur die ersten (n+1) Glieder der geometrischen Reihe enthält:
Gb[n] := b*a + b*a2 + b*a3 + b*a4 + b*a5 + ... + b*an
Dann betrachtet man wieder a * Gb[n], bildet die Differenz und lässt dann das n über alle natürlichen Zahlen laufen, also weniger vornehm ausgedrückt lässt man dann das n gegen unendlich laufen.
Freundliche Grüsse, Ralf