Dgoe hat geschrieben:Das Tangentenproblem, hmm
Hallo Dgoe,
beim Tangentenproblem geht es darum, an eine stetige Kurve an einem beliebigen Punkt eine Tangente anzulegen. Die Lösung dieser Aufgabe führte zur Differential- und Integralrechnung.
Dgoe hat geschrieben:Natürlich meinte ich mit der Quasi-Unendichen Zahl eher ein Gedankenspiel mit einem Schuss Humor...
Denn niemand wüsste wann diese sehr große Zahl erreicht wäre, zudem wäre sie die größtmögliche Zahl und damit endlich, eben genau am "Ende", d.h. es würde gelten: z+1=z, sowie allgemein z+x=z [x<=z], usw., so ähnlich wie mit der Lichtgeschwindigkeit.
Ja, aber Vorsicht: Du konstruierst da "nur" ein maximales Element. Ein solches maximales Element kann wie bei den natürlichen Zahlen gegen unendlich
divergieren oder aber wie bei der Lichtgeschwindigkeit gegen einen endlichen Wert
konvergieren.
Aus der Maximalität folgt also keinesfalls zwangsläufig eine Unendlichkeit !
Dgoe hat geschrieben:Davon abgesehen, eine Frage:
Ich stelle mir privat oft bildlich vor, dass Unendlich einerseits ins 'Makroskopische' läuft und andererseits ins 'Mikroskopische', ersteres wie die natürlichen Zahlen, abzählbar und zweiteres wie die reellen Zahlen, überabzählbar; das Kontinuum letzteres betreffend oder bezeichnend...
Das ist doch korrekt so, oder übersehe ich etwas Entscheidendes?
Ausgezeichneter Punkt, auch wenn er etwas ungenau ist:
ins Makroskopische abzählbar und ins Mikroskopische überabzählbar kann man so zwar machen und das Kontinuum mag einen dazu auch verleiten, aber es ist nicht so:
Du kannst ins Makroskopische und ins Mikroskopische abzählbar gehen, also per Peano-Axiome -> oo und per Intervallschachtelung oder zunächst noch einfacher per Nullfolge {1/n mit n in IN} -> 0, oder aber in beide Richtungen per Kontinuum, d.h. mit einer überabzählbaren Menge.
Vielleicht anders dargestellt: die Folge {1, 2, 3, 4, 5, ...} führt Dich
abzählbar zu oo, und die Folge ihrer multiplikativ Inversen, also {1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ...} führt Dich
abzählbar zur 0. Ob Du das nun noch mit dem Kontinuum "anreichern" möchtest und damit ins Überabzählbare gelangst bleibt letztlich Dir überlassen; wirklich brauchen tust Du das erst in der oben genannten Differential- und Integralrechnung, denn ohne den Stetigkeitsbegriff kannst Du für rationale Zahlen die Funktion f
1(x) und für irrationale Zahlen die Funktion f
2(x) definieren, und der Nachbarpunkt eines jeden x ist sowohl für die rationalen x als auch für die irrationalen x beliebig nahe.
Natürlich ist das technisch eine völlig absurde Situation, mathematisch aber ist sie möglich. Ja man sogar einen Integralbegriff definieren "Lebesgue-Integral"), bei dem dann nur die Funktionswerte der überabzählbar-unendlichen Menge zählen und die Funktionswerte der abzählbar unendlichen Menge als sogenannte Nullmenge nicht ins Gewicht fallen, ihre Summe also den Wert 0 annimmt.
Aber wie auch immer: mit einem sauberen Stetigkeitsbegriff kann einem so etwas nicht passieren, da hat man immer eine Funktion, die auf dem Kontinuum definiert ist und dort
dieselbe Funktion zur Anwendung kommt, egal ob man eine abzählbare Teilmenge oder eine überabzählbare Teilmenge betrachtet.
Freundliche Grüsse, Ralf