die geometrische Reihe für Dummies

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Re: die geometrische Reihe für Dummies

Beitragvon ralfkannenberg » Montag 18. August 2014, 11:13

ralfkannenberg hat geschrieben:
ralfkannenberg hat geschrieben:Definition:
Die geometrische Reihe zur Zahl a mit 0 <= a < 1 ist wie folgt definiert:

geometrische Reihe(a) := a + a2 + a3 + a4 + a5 + ...


(...)

Theorem 1:
Sei 0 <= a < 1.
Dann hat die geometrische Reihe von a den Wert a/(1-a), d.h. es gilt:

a + a2 + a3 + a4 + a5 + ... = a/(1-a)

Beweis:
Sei G: = a + a2 + a3 + a4 + a5 + ...

Betrachten wir a*G:
Sei a*G = a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + ...

Nun subtrahieren wir die beiden Zeilen voneinander:
G - a*G = a, da ja vom Unendlichen immer wieder ein ak "nachrückt"

Klammern wir auf der linken Seite G aus:
G*(1-a) = a

Nun dividieren wir durch 1-a - da a<1 kann 1-a nicht 0 werden:

G = a/(1-a), was zu zeigen war.


Natürlich ist dieser Beweis zwar verständlich, aber auch hässlich, da wir sehr grosszügig mit Unendlichkeiten operieren und "einfach so" beliebige ak "nachrücken" lassen.

Hallo zusammen,

wir haben per definitionem ja dafür gesorgt, dass 0 <= a < 1 gilt. Obiger Beweis tangiert diese Einschränkung aber eigentlich gar nicht, sieht man einmal davon ab, dass im letzten Schritt durch (a-1) dividiert wird, was für a=1 natürlich nicht geht.

Deswegen habe ich hier noch zwei weitere Fragen, mit denen wir uns auch noch beschäftigen müssen:

1. warum klappt dieser "Beweis" nicht für z.B. a=2 ?
2- was für "hübsche" Sachen passieren eigentlich bei a=1, ausser dass man nicht durch (1-a) dividieren darf ?


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Re: die geometrische Reihe für Dummies

Beitragvon ralfkannenberg » Dienstag 19. August 2014, 12:51

ralfkannenberg hat geschrieben:Im nächsten Beitrag werden wir das also etwas genauer ausführen und insbesondere anstelle von G ein G[n] definieren, welches nur die ersten n Glieder der geometrischen Reihe enthält.

Oh ... - äh ... - das soll natürlich heissen: "in einem der nächsten Beiträge". :oops:

Vorgängig möchte ich aber noch gerne die offenen Fragen beantwortet sehen, ehe wir das b*an mit 0 <=a < 1 und zunächst b=1, anschliessend beliebigem b, für den Grenzwert n in IN gegen 0 konvergieren lassen, indem wir zeigen werden, dass der Kehrwert von an, also 1/an, der ja echt grösser als 1 ist, für den Grenzwert n in IN über alle Schranken anwächst.

Aber wie gesagt: wir wollen hier nicht vorgreifen.


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Re: die geometrische Reihe für Dummies

Beitragvon Dgoe » Sonntag 24. August 2014, 00:37

Yukterez hat geschrieben:Er kann auch den Abstand von seinem Bauch zur Wand halbieren. (...)

Da kein Problem sehend,

Hallo Yukterez,

Das Problem könnte aber mit einem neuen 'Gesicht' wieder auftauchen, wenn der Protagonist zwischenzeitlich einige Monate ein Fitness-Studio besucht, und dann neuerdings die Wand mit der Brust, noch vor seinem Bauch berührt!

Es wäre also, um alle Eventualitäten auszuschließen, sicherlich vorteilhaft, wenn diese voranschreitende Entität idealerweise entweder gleich unendlich klein wäre, oder sich immer just passend verkleinert kurz zuvor, so dass es nicht auffällt, letztlich auf's Selbe hinauslaufend.


@Kurt: Die minimale Größe von einer Planck-Länge war ein guter Einwand, an diese würde ich nämlich auch als nächstes denken. Ich wüsste tatsächlich auch gerne mal, wo es in der physisch erfahrbaren Natur Unendlichkeiten gibt.


@Ralf: Mir ist natürlich klar, dass dies keineswegs jenes ist, worauf Du hinaus wolltest, dazu an anderer Stelle auch wieder gerne mehr. Offtopic ist es jedoch nicht.
Eine andere Frage als zuletzt sehr ähnlich woanders schon: Ist Unendlich für eine die Natur wiederspiegelnde Mathematik unverzichtbar? Sie vielleicht nur ein rein philosophisches Gebiet der Mathematik? Zu keiner konkreten Aussage wirklich fähig?

Gruß,
Dgoe
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Re: die geometrische Reihe für Dummies

Beitragvon ralfkannenberg » Montag 25. August 2014, 09:56

Dgoe hat geschrieben:@Ralf: Mir ist natürlich klar, dass dies keineswegs jenes ist, worauf Du hinaus wolltest, dazu an anderer Stelle auch wieder gerne mehr. Offtopic ist es jedoch nicht.
Eine andere Frage als zuletzt sehr ähnlich woanders schon: Ist Unendlich für eine die Natur wiederspiegelnde Mathematik unverzichtbar? Sie vielleicht nur ein rein philosophisches Gebiet der Mathematik? Zu keiner konkreten Aussage wirklich fähig?

Hallo Dgoe,

Zahlen pflegen im Gegensatz zu Menschen einen Bauch mit Durchmesser 0 zu haben.


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Re: die geometrische Reihe für Dummies

Beitragvon Dgoe » Montag 25. August 2014, 13:56

okay,

(die scheinen gut trainiert zu sein! :| )

Gruß,
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Re: die geometrische Reihe für Dummies

Beitragvon ralfkannenberg » Mittwoch 27. August 2014, 16:52

ralfkannenberg hat geschrieben:
Dgoe hat geschrieben:tut mir leid, ich verstehe die Frage nicht. Was soll das schon sein? Eine Reihe!
Wie lautet der zu beweisende Satz?


ralfkannenberg hat geschrieben:Sei wie oben 0 <= a < 1.
Sei b eine beliebige reelle Zahl.

Was ist b*a + b*a2 + b*a3 + b*a4 + b*a5 + ... ?

Hallo Dgoe,

vielleicht sollte ich so fragen:

b*a + b*a2 + b*a3 + b*a4 + b*a5 + ... = ???

Hallo zusammen,

ich persönlich würde empfehlen, hier weiterzumachen. Das sieht zwar etwas sehr formal aus, liefert aber eine sehr nützliche Formel.


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Re: die geometrische Reihe für Dummies

Beitragvon Dgoe » Freitag 29. August 2014, 13:45

Ok,

b*a + b*a2 + b*a3 + b*a4 + b*a5 + ... = b*a/(1-b*a)
richtig?

Beweis wäre analog zu dem oben mit G und a*G.

Gruß,
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Re: die geometrische Reihe für Dummies

Beitragvon ralfkannenberg » Freitag 29. August 2014, 16:14

Dgoe hat geschrieben:b*a + b*a2 + b*a3 + b*a4 + b*a5 + ... = b*a/(1-b*a)
richtig?

Hallo Dgoe,

so "ungefähr"; beachte, dass das b ja ohne Exponenten vorkommt.

Dgoe hat geschrieben:Beweis wäre analog zu dem oben mit G und a*G.

Ja, aber schreibe zuerst nochmal das Resultat auf, welches wir beweisen wollen.


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Re: die geometrische Reihe für Dummies

Beitragvon Dgoe » Freitag 29. August 2014, 17:52

Hallo Ralf,

"ungefähr" finde ich gut, sehr freundlich umschrieben für 'falsch', na ja, knapp daneben ist auch daneben, aber nett von Dir.
Ich war da wohl etwas voreilig ungeübten Auges, aber jetzt wo Du es sagst, sehe ich auch, dass es heißen müsste:
Sei 0 <= a < 1
b*a + b*a2 + b*a3 + b*a4 + b*a5 + ... = b*a/(1-a)

Sei Gb: = b*a + b*a2 + b*a3 + b*a4 + b*a5 +

Betrachten wir a*Gb:
Sei a*Gb = b*a2 + b*a3 + b*a4 + b*a5 + b*a6 + ...

Nun subtrahieren wir die beiden Zeilen voneinander:
Gb - a*Gb = b*a, da ja vom Unendlichen immer wieder ein b*ak "nachrückt"

Klammern wir auf der linken Seite Gb aus:
Gb*(1-a) = b*a

Nun dividieren wir durch 1-a - da a<1 kann 1-a nicht 0 werden:

Gb = b*a/(1-a)
ja?

Gruß,
Dgoe
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Re: die geometrische Reihe für Dummies

Beitragvon ralfkannenberg » Freitag 29. August 2014, 20:21

Dgoe hat geschrieben:"ungefähr" finde ich gut, sehr freundlich umschrieben für 'falsch', na ja, knapp daneben ist auch daneben, aber nett von Dir.

Hallo Dgoe,

was Du da schreibst widerspiegelt nur die heutige Leistungsgesellschaft und ist hochgradig unmathematisch.

Wenn man Mathematik betreibt oder etwas neues finden will, dann muss man mal irgendwo ansetzen und dann schauen, ob es geht, ob es wenigstens ein bisschen geht oder ob man völlig auf dem Holzweg gelandet ist. In dieser Phase gibt es kein "falsch", weil in dieser Phase letztlich alles noch "falsch" ist. Und dann geht man eben Schritt für Schritt durch bis es dann richtig ist.

Was Du also geschrieben hast war sehr nahe dran, Du hast lediglich den Koeffizienten mit einem Exponenten versehen, was man übrigens einfach plausibilisieren kann, denn dann könnte man ja mit dem b erreichen, dass man eine geometrische Reihe mit einer Zahl 1 oder grösser hätte, was aber nicht aufgehen kann.

Trotzdem war es "nahe" dran, was Du allein schon daran erkennen kannst, wie einfach das korrigierbar war. Eine Sache, die völlig falsch ist, lässt sich nämlich nicht so rasch mal korrigieren !


Freundliche Grüsse, Ralf
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