ralfkannenberg hat geschrieben:Definition:
Die geometrische Reihe zur Zahl a mit 0 <= a < 1 ist wie folgt definiert:
geometrische Reihe(a) := a + a2 + a3 + a4 + a5 + ...
Hallo zusammen,
da das Wochenende bevorsteht werde ich auch schon einige Beweise zur Lektüre vorstellen, bitte geht aber Beitrag um Beitrag vor; ich erwarte ganz gewiss nicht, dass wir am Montag bereits bei den Beweisen angelangt sind.
Der erste Beweis betrifft die geometrische Reihe:
Theorem 1:
Sei 0 <= a < 1.
Dann hat die geometrische Reihe von a den Wert a/(1-a), d.h. es gilt:
a + a2 + a3 + a4 + a5 + ... = a/(1-a)
Beweis:
Sei G: = a + a2 + a3 + a4 + a5 + ...
Betrachten wir a*G:
Sei a*G = a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + ...
Nun subtrahieren wir die beiden Zeilen voneinander:
G - a*G = a, da ja vom Unendlichen immer wieder ein ak "nachrückt"
Klammern wir auf der linken Seite G aus:
G*(1-a) = a
Nun dividieren wir durch 1-a - da a<1 kann 1-a nicht 0 werden:
G = a/(1-a), was zu zeigen war.
Natürlich ist dieser Beweis zwar verständlich, aber auch hässlich, da wir sehr grosszügig mit Unendlichkeiten operieren und "einfach so" beliebige ak "nachrücken" lassen.
Zudem gehen wir stillschweigend davon aus, dass G endlich sei; auch das wissen wir zunächst noch nicht und wenn G nicht endlich ist, kann man G auch nicht ausklammern.
Im nächsten Beitrag werden wir das also etwas genauer ausführen und insbesondere anstelle von G ein G[n] definieren, welches nur die ersten n Glieder der geometrischen Reihe enthält.
Freundliche Grüsse, Ralf
- das hast Du sehr gut gemacht ! Ebenso wie Dein HInweis mit dem 00 im Parallelthread mit der Euler'schen Zahl.