die geometrische Reihe für Dummies

[Dgoe]

Hallo Ralf,

ich stelle mir vor, dass die aktuelle Mathematik nur aus einem kleinem Teil der Wirklichkeit, des Universums, wie hier bei uns besteht, auch wenn uns noch vieles unbekannt bleibt.

So rechnen wir daraus hoch und absurd weit und nennen es zwar immernoch Mathematik, ist aber schnell längst nicht mehr welche unsere Realität mit allen Phänomenen betrifft. Man sollte von verschiedenen Mathematiken (sic) sprechen alsbald.

Was wenn gälte: Unendlich gibt es nicht!? Nie!

Denk mal darüber nach. (Hab ich mal, schwierig, aber denkbar, fand ich)

Gruß,
Dgoe

[Dgoe]

+ Nun ja, bisherige Mathematik ist ja einfach nur ein Konstrukt, welches nicht mal für sich selbst Bestand behalten kann in extremen Situationen...

Gruß,
Dgoe

[ralfkannenberg]

ich stelle mir vor, dass die aktuelle Mathematik nur aus einem kleinem Teil der Wirklichkeit, des Universums, wie hier bei uns besteht, auch wenn uns noch vieles unbekannt bleibt.

Hallo Dgoe,

ich denke eher, dass die Mathematik "über" dem Universum steht. Das Universum hat letztlich vier Grundkräfte und ganz wenige Elementarteilchen (Standardmodell) und evtl. noch Teilchen, welche wir noch nicht kennen, die vielleicht für die Dunkle Materie zuständig sein könnten.

Die Mathematik hat solche Einschränkungen nicht, d.h. sie ist da "freier".

So rechnen wir daraus hoch und absurd weit

Das macht man anhand vordefinierter Methoden und es ist nicht gesagt, dass diese richtig sind. Je weiter man sich vom letzten vorgegebenen Punkt entfernt desto unsicherer werden die so erzielten Ergebnisse.

und nennen es zwar immernoch Mathematik, ist aber schnell längst nicht mehr welche unsere Realität mit allen Phänomenen betrifft.

Korrekt.

Man sollte von verschiedenen Mathematiken (sic) sprechen alsbald.

Das erscheint mir etwas übertrieben, denn die Mathematik dahinter ist immer dieselbe, es sind nur verschiedene Modelle, im konkreten Fall verschiedene Extrapolationsverfahren.

Was wenn gälte: Unendlich gibt es nicht!? Nie!

Denk mal darüber nach. (Hab ich mal, schwierig, aber denkbar, fand ich)

Tatsächlich scheinen wir in einem Universum zu leben, welches man als endlichen Zustandsautomaten beschreiben könnte.

Unendlich wäre also nur eine Hilfskonstruktion.

Gehen wir zurück zur Riemann'schen Zahlenkugel. Es mag irgendwie grotesk anmuten, aber dort ist beispielsweise die Zahl 10 viel näher an unendlich als an der Null. Vielleicht sind wir durch unsere von der Addition bestimmten Metrik nicht mehr vorurteilsfrei und vielleicht würde eine "absolute" Metrik etwas ganz anderes ergeben und das unendliche Universum würde sich dann ergeben, indem man zu diesem endlichen Zustandsautomaten mit seiner kolossal riesigen Anzahl Zustände gerade mal einen weiteren "unendlichen" Zustand zufügen würde.

Während also in unserer wohlvertrauten additiven Metrik zu einer beliebigen und insbesondere auch beliebig grossen Zahl N fast alle (nämlich unendlich viele) grösser als diese Zahl N sind, so gäbe es in dieser "absoluten" Metrik vermutlich gar keine einzige "relevante" Zahl jenseits von N ausser eben unendlich, d.h. es genügt, diese eine "Zahl" unendlich hinzuzufügen und man hat die Gesamtheit.

Tatsächlich ist in unserer naiven Vorstellung 1'000'000'000, 1'000'000'001 und 1'000'000'002 ja schon ungefähr gleich "gross", obgleich sie additiv gleich weit auseinander liegen wie die Zahlen 0, 1 und 2.

Verschiedene Mathematiken kann man sich übrigens auch vorstellen, beispielsweise die "normale" Mathematik, in der man die Gültigkeit des Auswahlaxioms axiomatisch fordert, oder eine alternative Mathematik, in der die Gültigkeit des Auswahlaxioms nicht gefordert wird.


Freundliche Grüsse, Ralf


P.S. Vorsicht noch: diese von mir so genannte "absolute" Metrik ist aus mathematischer Sicht natürlich keine Metrik !

[ralfkannenberg]

Oha,

das war nun von mir nicht beabsichtigt:

Hier habe ich geschrieben:

Ein solcher anderer Ansatz ist beispielsweise die Non-Standard-Analysis, die zu Beginn meines Studiums in den USA sehr beliebt war. Tatsächlich wird so mancher Beweis der Infinitesimalrechnung dann sehr elegant und kurz und man kommt auch völlig ohne diese "lästigen" epsilons und deltas/N's aus, nur ...

... - die Durchfallraten betrugen fast 100%. Der Preis war hoch. - Die Epsilontik mag lästig und langweilig sein, aber man kann sie mit etwas Übung erlernen.

Und im vorherigen Beitrag habe ich geschrieben:

Verschiedene Mathematiken kann man sich übrigens auch vorstellen, beispielsweise die "normale" Mathematik, in der man die Gültigkeit des Auswahlaxioms axiomatisch fordert, oder eine alternative Mathematik, in der die Gültigkeit des Auswahlaxioms nicht gefordert wird.

Und in der Wikipedia steht beim Auswahlaxiom:

Das Auswahlaxiom ist von der überwiegenden Mehrheit der Mathematiker akzeptiert. In vielen Zweigen der Mathematik, darunter auch neueren wie der Nichtstandardanalysis, führt es zu besonders ästhetischen Ergebnissen.

Freundliche Grüsse, Ralf

[Dgoe]

Argh.

Hallo Ralf,

beim Auswahlaxiom geht es doch schon wieder los in Sachen Unendlich. Nämlich ist Unendlich Bestandteil der Definition, welche ja aber nicht definiert ist und damit ist es diese gesamte Begriffsfindung ebenso. Ergo Blabla! Wenn auch vom Feinsten, so dennoch Nonsens. Zumindest ich akzeptiere es so nicht.

Zu weiter vorher, ja, das Universum mag möglicherweise nicht unendlich sein (man weiß es ja nicht) und in diesem Falle gibt es auch in der darin vorkommenden Mathematik kein echtes Unendlich (sofern auch nach unten begrenzt (wie es aber schon Planck nahelegt)).

Bestenfalls gedanklich, wobei viele Gedanken ja bescheiden zu beurteilen sind, alles zu groß Erscheinende ist schnell wie Unendlich. Unser Auge oder eine Kamera stellt sich auf Unendlich, aber mitnichten natürlich, jeglicher Input bleibt endlich dabei, egal wie weit.


Ich habe nicht wenig Lust einen Begriff dafür einzuführen:
Die Quasi-Unendliche (fast-unendliche) Zahl. Und nenne sie Zeta (gr.) wegen dem Z, welches das schön illustriert...
Ersatzweise für Unendlich hie und da.

Damit wären viele Behauptungen besser verdaulich. Und manche obsolet und unnötig.

Gruß,
Dgoe

[Dgoe]

Du lehrtest mich die Voraussetzungen und ich komme bei den Voraussetzungen der Voraussetzungen sukzessive an.

[ralfkannenberg]

Hallo Dgoe,

Argh.

beim Auswahlaxiom geht es doch schon wieder los in Sachen Unendlich. Nämlich ist Unendlich Bestandteil der Definition, welche ja aber nicht definiert ist und damit ist es diese gesamte Begriffsfindung ebenso. Ergo Blabla! Wenn auch vom Feinsten, so dennoch Nonsens. Zumindest ich akzeptiere es so nicht.

Na so schlimm ist es zum Glück nicht.: das Auswahlaxiom ist lediglich eine Hilfe wenn unendliche Mengen involviert sind.

Für endliche Mengen benötigt man es ohnehin nicht und auch für zahlreiche unendliche Mengen (auch für solche, die überabzählbar sind) kann man eine Auswahlfunktion konkret definieren, ohne ihre Existenz axiomatisch sicherstellen zu müssen.

Beispielsweise für jede beliebige Teilmenge der natürlichen Zahlen, da die Peano-Axiome sicherstellen, dass solche Mengen ein Startelement haben, man kann also dieses Startelement (populär-deutsch formuliert: kleinstes Element) auswählen. Nehmen wir also die Menge der geraden natürlichen Zahlen, die echt grösser als 11 sind, dann ist die Zahl 12 das ausgewählte Element, denn 12 ist eine gerade Zahl und 12 ist die kleinste gerade Zahl, die echt grösser als 11 ist. Diese Menge ist abzählbar unendlich, denn sie ist eine Teilmenge der natürlichen Zahlen, kann also nicht überabzählbar unendlich sein, aber da zu einem Element g dieser Menge auch g+2 in der Menge liegt, ist sie nicht endlich. Denn wäre sie endlich (Annahme !), so könnte man ihr grösstes Element G bestimmen; aber da auch G+2 in der Menge liegt und G+2 > G gilt, haben wir hier einen Widerspruch zur Annahme, dass die Menge endlich sei.

Oder nehmen wir ein Intervall zweier reeller Zahlen; dieses enthält überabzählbar unendlich viele Elemente, doch da die Summe zweier reellen Zahlen ebenso wie die Hälfte einer reellen Zahl wieder reelle Zahlen sind ist eben auch der Mittelpunkt ein Element des Intervalls, folglich kann man diesen Punkt auswählen.

Aber eben: es gibt auch Mengen, bei denen das nicht funktioniert und für solche Mengen muss das das eben axiomatisch sicherstellen. Oder eben auch nicht, und dann eine Mathematik verwenden, in der das Auswahlaxiom eben nicht gültig ist, wobei in einer solchen Mathematik der Wohlordnungssatz und das Zorn'sche Lemma dann ebenfalls nicht gültig sind. Das geht auch, d.h. man kann eine solche Mathematik durchaus betrachten und tatsächlich ist sie meines Wissens widerspruchsfrei. Und zudem ist mir nun kein alltägliches Beispiel bekannt, in der eine solche Mathematik zu anderen Ergebnissen gelangen würde als eine, in der das Auswahlaxiom gültig ist (ok, es gibt da durchaus sehr abstrakte Resultate, die dann unterschiedlich sind); Hauptunterschied dürfte der sein, dass manche Beweise dann umständlicher werden, weil man eben das Auswahlaxiom nicht zur Verfügung hat und den betroffenen Zwischenschritt dann anders herleiten muss.

Zu weiter vorher, ja, das Universum mag möglicherweise nicht unendlich sein (man weiß es ja nicht) und in diesem Falle gibt es auch in der darin vorkommenden Mathematik kein echtes Unendlich (sofern auch nach unten begrenzt (wie es aber schon Planck nahelegt)).

Bestenfalls gedanklich, wobei viele Gedanken ja bescheiden zu beurteilen sind, alles zu groß Erscheinende ist schnell wie Unendlich. Unser Auge oder eine Kamera stellt sich auf Unendlich, aber mitnichten natürlich, jeglicher Input bleibt endlich dabei, egal wie weit.


Ich habe nicht wenig Lust einen Begriff dafür einzuführen:
Die Quasi-Unendliche (fast-unendliche) Zahl. Und nenne sie Zeta (gr.) wegen dem Z, welches das schön illustriert...
Ersatzweise für Unendlich hie und da.

Damit wären viele Behauptungen besser verdaulich. Und manche obsolet und unnötig.

Insbesondere ist dann das "Tangentenproblem" nicht mehr lösbar, und dieser Preis dürfte zu hoch sein.

Da erscheint es zumindest mir sinnvoller, gut definierte unendliche Grössen als Hilfsmittel zuzulassen und wenn wir es mit einer diskreten Mathematik zu tun haben die Abweichungen zum Kontinuum eben abzuschätzen. Wobei es wenn ich nun nichts Grundlegendes übersehen habe genügend ist, das Kontinuum durch eine abzählbar unendliche Menge, die dicht im Kontinuum liegt, zu ersetzen.


Freundliche Grüsse, Ralf

[Dgoe]

Hallo Ralf,

Danke für Deine Antwort!

Das Tangentenproblem, hmm

Natürlich meinte ich mit der Quasi-Unendichen Zahl eher ein Gedankenspiel mit einem Schuss Humor...
Denn niemand wüsste wann diese sehr große Zahl erreicht wäre, zudem wäre sie die größtmögliche Zahl und damit endlich, eben genau am "Ende", d.h. es würde gelten: z+1=z, sowie allgemein z+x=z [x<=z], usw., so ähnlich wie mit der Lichtgeschwindigkeit.

Davon abgesehen, eine Frage:
Ich stelle mir privat oft bildlich vor, dass Unendlich einerseits ins 'Makroskopische' läuft und andererseits ins 'Mikroskopische', ersteres wie die natürlichen Zahlen, abzählbar und zweiteres wie die reellen Zahlen, überabzählbar; das Kontinuum letzteres betreffend oder bezeichnend...
Das ist doch korrekt so, oder übersehe ich etwas Entscheidendes?

Gruß,
Dgoe

P.S.: Das mit der Mitte eines Intervalls leuchtet mir ein.

[Dgoe]

P.S.#2:
z hätte wohl auch einige Implikationen, so würde beispielsweise Pi sich entweder doch irgendwann wiederholen oder einfach enden...

[ralfkannenberg]

Das Tangentenproblem, hmm

Hallo Dgoe,

beim Tangentenproblem geht es darum, an eine stetige Kurve an einem beliebigen Punkt eine Tangente anzulegen. Die Lösung dieser Aufgabe führte zur Differential- und Integralrechnung.

Natürlich meinte ich mit der Quasi-Unendichen Zahl eher ein Gedankenspiel mit einem Schuss Humor...
Denn niemand wüsste wann diese sehr große Zahl erreicht wäre, zudem wäre sie die größtmögliche Zahl und damit endlich, eben genau am "Ende", d.h. es würde gelten: z+1=z, sowie allgemein z+x=z [x<=z], usw., so ähnlich wie mit der Lichtgeschwindigkeit.

Ja, aber Vorsicht: Du konstruierst da "nur" ein maximales Element. Ein solches maximales Element kann wie bei den natürlichen Zahlen gegen unendlich divergieren oder aber wie bei der Lichtgeschwindigkeit gegen einen endlichen Wert konvergieren.

Aus der Maximalität folgt also keinesfalls zwangsläufig eine Unendlichkeit !

Davon abgesehen, eine Frage:
Ich stelle mir privat oft bildlich vor, dass Unendlich einerseits ins 'Makroskopische' läuft und andererseits ins 'Mikroskopische', ersteres wie die natürlichen Zahlen, abzählbar und zweiteres wie die reellen Zahlen, überabzählbar; das Kontinuum letzteres betreffend oder bezeichnend...
Das ist doch korrekt so, oder übersehe ich etwas Entscheidendes?

Ausgezeichneter Punkt, auch wenn er etwas ungenau ist:

ins Makroskopische abzählbar und ins Mikroskopische überabzählbar kann man so zwar machen und das Kontinuum mag einen dazu auch verleiten, aber es ist nicht so:

Du kannst ins Makroskopische und ins Mikroskopische abzählbar gehen, also per Peano-Axiome -> oo und per Intervallschachtelung oder zunächst noch einfacher per Nullfolge {1/n mit n in IN} -> 0, oder aber in beide Richtungen per Kontinuum, d.h. mit einer überabzählbaren Menge.

Vielleicht anders dargestellt: die Folge {1, 2, 3, 4, 5, ...} führt Dich abzählbar zu oo, und die Folge ihrer multiplikativ Inversen, also {1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ...} führt Dich abzählbar zur 0. Ob Du das nun noch mit dem Kontinuum "anreichern" möchtest und damit ins Überabzählbare gelangst bleibt letztlich Dir überlassen; wirklich brauchen tust Du das erst in der oben genannten Differential- und Integralrechnung, denn ohne den Stetigkeitsbegriff kannst Du für rationale Zahlen die Funktion f₁(x) und für irrationale Zahlen die Funktion f₂(x) definieren, und der Nachbarpunkt eines jeden x ist sowohl für die rationalen x als auch für die irrationalen x beliebig nahe.

Natürlich ist das technisch eine völlig absurde Situation, mathematisch aber ist sie möglich. Ja man sogar einen Integralbegriff definieren "Lebesgue-Integral"), bei dem dann nur die Funktionswerte der überabzählbar-unendlichen Menge zählen und die Funktionswerte der abzählbar unendlichen Menge als sogenannte Nullmenge nicht ins Gewicht fallen, ihre Summe also den Wert 0 annimmt.

Aber wie auch immer: mit einem sauberen Stetigkeitsbegriff kann einem so etwas nicht passieren, da hat man immer eine Funktion, die auf dem Kontinuum definiert ist und dort dieselbe Funktion zur Anwendung kommt, egal ob man eine abzählbare Teilmenge oder eine überabzählbare Teilmenge betrachtet.


Freundliche Grüsse, Ralf