die geometrische Reihe für Dummies

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die geometrische Reihe für Dummies

Beitragvon ralfkannenberg » Donnerstag 14. August 2014, 22:18

Hallo zusammen,

in den letzten Tagen ist mir mehrfach die geometrische Reihe über den Weg gelaufen und diese ist ein äusserst nützliches Instrument, um in gewissen Fällen die Unendlichkeit zu zähmen. Oder korrekt formuliert: um die Konvergenz von unendlichen Summen zu bestimmen.

Es sei an dieser Stelle wenigstens mal erwähnt, dass man in der Mathematik den Summenbegriff nur für Summen mit endlich vielen Summanden verwendet; lässt sich eine Summe nicht mit Hilfe von endlich vielen Summanden beschreiben, so spricht man von einer Reihe, und wenn ihr Wert endlich ist, von einer konvergenten Reihe.

Vorsicht: unendliche Summen können ganz ganz unerwartete Phänomene aufweisen; so kann man Situationen konstruieren, in denen man verschiedene Grenzwerte erhält, wenn man dieselben Summanden nur anders anordnet. Das ist dann der Fall, wenn die Summanden nur langsam gegen 0 konvergieren, aber alle positiven Summanden gegen oo divergieren und alle negativen Summanden gegen -oo.

Bei der geometrischen Reihe kann sowas zum Glück nicht passieren. Wir werden die geometrische Reihe auch für den Parallelthread Irrationalität der Euler‘schen Zahl e nutzen, um diesen Thread zu entlasten und uns dort auf die algebraischen Fragestellungen konzentrieren zu können.

Wir wollen mit einem ganz einfachen Beispiel einsteigen:
Jemand steht vor einer Wand.
Nun geht er die Hälfte des Abstandes zur Wand.
Dann geht er wieder die Hälfte des verbliebenen Abstandes zur Wand, das ist nun noch ein Viertel.
Dann geht er wieder die Hälfte des verbliebenen Abstandes zur Wand, das ist nun noch ein Achtel.

Das kann er beliebig oft machen, er wird aber nie die Wand erreichen. Er kommt ihr aber beliebig nahe.

Man sieht also, dass die Summe 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + … gegen 1 konvergiert. Wer es nicht sieht, der betrachtet einfach den verbleibenden Abstand zur Wand:

1 – 1/2 = 1/2
1 – 1/2 – 1/4 = 1/4
1 – 1/2 – 1/4 – 1/8 = 1/8
1 – 1/2 – 1/4 – 1/8 – 1/16 = 1/16

Und so weiter.

So, das genügt für heute, ich lasse das mal zum Verdauen einfach so stehen.


Freundliche Grüsse, Ralf
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Re: die geometrische Reihe für Dummies

Beitragvon Yukterez » Donnerstag 14. August 2014, 22:49

Das berühmte Beispiel von Achilles. Hast du das mit

ralfkannenberg hat geschrieben:Ich mache bald wieder einen Mathe-Thread für Dummies in diesem Forum auf; vielleicht lenkt Dich das von dem Unsinn, den Du derzeit verfasst, ein bisschen ab. Das Thema habe ich in meinen Ferien gefunden, es wurde in Deinem Nunki-Forum - allerdings nur mit Angabe eines Links - ebenfalls schon angesprochen.

gemeint? Da gibt es doch eh mehr als nur einen Link dazu: http://yukterez.enabled.io/forum/phpBB3/viewtopic.php?f=7&t=12

Mich noch daran erinnernd als wäre es gestern gewesen,

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Re: die geometrische Reihe für Dummies

Beitragvon Kurt » Donnerstag 14. August 2014, 23:49

ralfkannenberg hat geschrieben:Hallo zusammen,

in den letzten Tagen ist mir mehrfach die geometrische Reihe über den Weg gelaufen und diese ist ein äusserst nützliches Instrument, um in gewissen Fällen die Unendlichkeit zu zähmen.


Ralf, die Unendlichkeit braucht nicht gezähmt zu werden denn sie tritt nur in der Mathematik auf und hat mit der Natur, dem was da vorgeht, nichts zu tun.
Der Zusammenhang Unendlich und Natur besteht nicht, wenn er trotzdem irgendwo auftaucht, z.B. als Violettkatasthrophe oder so, dann fehlts am Verständnis zu Naturvorgängen.

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Re: die geometrische Reihe für Dummies

Beitragvon Dgoe » Freitag 15. August 2014, 00:41

ralfkannenberg hat geschrieben:Das kann er beliebig oft machen, er wird aber nie die Wand erreichen. Er kommt ihr aber beliebig nahe.

Hallo Ralf,

aber doch nur, wenn er gleichzeitig immer kleiner wird, bevor er mit dem Bauch anstößt. ;)

Gruß,
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Alle sagten immer das geht nicht, dann kam jemand, der das nicht wusste, und hat es einfach gemacht!
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Re: die geometrische Reihe für Dummies

Beitragvon Yukterez » Freitag 15. August 2014, 01:07

Er kann auch den Abstand von seinem Bauch zur Wand halbieren. Der Radius seines Bauches muss dabei ebensowenig schrumpfen wie die Dicke der Wand. Der Grund warum er die Wand bei stetiger Halbierung der Distanz nie erreicht liegt einzig und allein an den Pausen, die er nach jeder Halbierung macht.

Da kein Problem sehend,

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Re: die geometrische Reihe für Dummies

Beitragvon Kurt » Freitag 15. August 2014, 08:23

Yukterez hat geschrieben:Er kann auch den Abstand von seinem Bauch zur Wand halbieren. Der Radius seines Bauches muss dabei ebensowenig schrumpfen wie die Dicke der Wand. Der Grund warum er die Wand bei stetiger Halbierung der Distanz nie erreicht liegt einzig und allein an den Pausen, die er nach jeder Halbierung macht.

Da kein Problem sehend,

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Ist schon klar, du siehst selten eins.
Theoretisch ist es kein Problem den Bauch immer zu halbieren, realistisch betrachtet schon.
Denn irgendwann ist die sog -Planklänge- erreicht und dann gibt's nur noch: ja oder nein, da oder nicht_da.

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Re: die geometrische Reihe für Dummies

Beitragvon ralfkannenberg » Freitag 15. August 2014, 09:25

Hallo zusammen,

die geometrische Reihe ist eine wichtige Angelegenheit. Alternative oder ganzheitliche Ansichten hierzu bitte im alternativen Thread erörtern, sonst kommen wir mit der Euler'schen Zahl nie weiter.


Freundliche Grüsse, Ralf
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Re: die geometrische Reihe für Dummies

Beitragvon ralfkannenberg » Freitag 15. August 2014, 09:27

Yukterez hat geschrieben:Er kann auch den Abstand von seinem Bauch zur Wand halbieren. Der Radius seines Bauches muss dabei ebensowenig schrumpfen wie die Dicke der Wand. Der Grund warum er die Wand bei stetiger Halbierung der Distanz nie erreicht liegt einzig und allein an den Pausen, die er nach jeder Halbierung macht.

Da kein Problem sehend,

In der geometrischen Reihe gibt es nur einen Parameter; bei Deinem Pausenbeispiel indes sind es derer 2, nämlich eine Distanz und eine Zeit.
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Re: die geometrische Reihe für Dummies

Beitragvon Uli » Freitag 15. August 2014, 09:38

Kurt hat geschrieben:...
Theoretisch ist es kein Problem den Bauch immer zu halbieren, realistisch betrachtet schon.
Denn irgendwann ist die sog -Planklänge- erreicht und dann gibt's nur noch: ja oder nein, da oder nicht_da.

Kurt


Zwichen Mathe und Physik unterscheidest du erst gar nicht. Nicht schlecht, Herr Specht! :)
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Re: die geometrische Reihe für Dummies

Beitragvon Kurt » Freitag 15. August 2014, 09:51

Uli hat geschrieben:
Kurt hat geschrieben:...
Theoretisch ist es kein Problem den Bauch immer zu halbieren, realistisch betrachtet schon.
Denn irgendwann ist die sog -Planklänge- erreicht und dann gibt's nur noch: ja oder nein, da oder nicht_da.

Kurt


Zwichen Mathe und Physik unterscheidest du erst gar nicht. Nicht schlecht, Herr Specht! :)


Aber natürlich unterscheide ich da, ich wollte nur einen dezenten Hinweis setzen was passiert wenn man Mathe anstatt Physik verwendet, oder andersrum, wenn man meint mit Mathe wäre die Natur zu erklären.
Das geht, aber nur wenn die Grenzen bekannt sind die bei Mathe eben nicht existieren.
In Mathe heisst es: es geht -gegen Unendlich-, in der Natur existiert das überhaupt nicht, denn alles hat eine Mindestgrösse/Mindestdauer, bzw. eine Höchstfrequenz.
Und damit ist die Obergrenze des kleinsten Seins schon mal gegeben, die -Gefahr- dass es ins unendliche geht existiert überhaupt nicht.

Lasst euch nicht stören, es wird sicherlich/ist immer interessant was Ralf angestossen hat.


Kurt

(als Beispiel dass irgendwas in Richtung -Unendlich- überhaupt nicht beachtet werden muss möchte ich das Beschleunigen von Materie setzen, diese beschleunigt nicht nach "eingesetzter Treibstoff x Zeit ergibt v", sondern nach "Wirkungsgrad des eingesetzten Treibstoffes sinkt mit zunehmendem v immer mehr gegen Null ab")

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