die geometrische Reihe für Dummies

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Re: die geometrische Reihe für Dummies

Beitragvon ralfkannenberg » Freitag 29. August 2014, 20:33

Dgoe hat geschrieben:Sei 0 <= a < 1
b*a + b*a2 + b*a3 + b*a4 + b*a5 + ... = b*a/(1-a)

Sei Gb: = b*a + b*a2 + b*a3 + b*a4 + b*a5 +

Betrachten wir a*Gb:
Sei a*Gb = b*a2 + b*a3 + b*a4 + b*a5 + b*a6 + ...

Nun subtrahieren wir die beiden Zeilen voneinander:
Gb - a*Gb = b*a, da ja vom Unendlichen immer wieder ein b*ak "nachrückt"

Klammern wir auf der linken Seite Gb aus:
Gb*(1-a) = b*a

Nun dividieren wir durch 1-a - da a<1 kann 1-a nicht 0 werden:

Gb = b*a/(1-a)
ja?

Hallo Dgoe,

ja, auch wenn es streng genommen falsch ist. Also wegen der Vorbedingung 0 <= a < 1 ist es richtig, man müsste aber noch beweisen, dass es richtig ist. Aber egal - das wollte ich jetzt so haben. Das Problem ist das "Nachrücken" und das werden wir uns noch näher anschauen müssen. Wir machen das nämlich unendlich oft und da kann das mit dem Nachrücken auch mal schief gehen. Im obigen Beweis wird ja nirgendwo verwendet, dass 0 <= a < 1 sein muss.

Nehmen wir jetzt der Einfachheit halber an, dass es bereits hieb- und stichfest bewiesen sei.

Dann haben wir das folgende:

b*a + b*a2 + b*a3 + b*a4 + b*a5 + ... = b*a/(1-a)

und von früher bzw. unter Einsetzen des Spezialfalles b=1:

a + a2 + a3 + a4 + a5 + ... = a/(1-a)


Also gilt:
b * [a + a2 + a3 + a4 + a5 + ...] = b * [a/(1-a)] ------- nach dem Gesetz der geometrischen Reihe

= b*a/(1-a) ------- das ist trivial
= b*a + b*a2 + b*a3 + b*a4 + b*a5 + ... ------- das haben wir soeben bewiesen.

Also: b * [a + a2 + a3 + a4 + a5 + ...] = b*a + b*a2 + b*a3 + b*a4 + b*a5 + ...


Man darf also aus der geometrischen Reihe eine beliebige Zahl ausklammern !


Sowas ist bei unendlichen Summen keineswegs selbstverständlich.

Den korrekten Beweis werden wir zu einem späteren Zeitpunkt führen, er wird dann wieder über die Folge Gb[n] geführt, wobei G[n] so definiert wird, dass sie nur die ersten (n+1) Glieder der geometrischen Reihe enthält:

Gb[n] := b*a + b*a2 + b*a3 + b*a4 + b*a5 + ... + b*an

Dann betrachtet man wieder a * Gb[n], bildet die Differenz und lässt dann das n über alle natürlichen Zahlen laufen, also weniger vornehm ausgedrückt lässt man dann das n gegen unendlich laufen.


Freundliche Grüsse, Ralf
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Re: die geometrische Reihe für Dummies

Beitragvon ralfkannenberg » Freitag 29. August 2014, 20:56

Dgoe hat geschrieben:Sei 0 <= a < 1
b*a + b*a2 + b*a3 + b*a4 + b*a5 + ... = b*a/(1-a)

Sei Gb: = b*a + b*a2 + b*a3 + b*a4 + b*a5 +

Betrachten wir a*Gb:
Sei a*Gb = b*a2 + b*a3 + b*a4 + b*a5 + b*a6 + ...

Nun subtrahieren wir die beiden Zeilen voneinander:
Gb - a*Gb = b*a, da ja vom Unendlichen immer wieder ein b*ak "nachrückt"

Hallo Dgoe,

so, und nun bauen wir mal so richtig Probleme. Setzen wir hierfür der Bequemlichkeit das b=1, wie wir es ursprünglich mal hatten, und subtrahieren Gb - a*Gb, also G - a*G.

G - a*G = a + a2 + a3 + a4 + a5 + ... - (a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + ...)

Jetzt setzen wir a=1, so dass also die Bedingung 0 <= a < 1 nicht mehr erfüllt ist.

Wir haben nun also eine Summe, die erst mal unendlich viele 1 und danach noch unendlich viele -1 enthält.

Wogegen "konvergiert" das ?

Gegenfrage: wie hätten wir es denn gerne ? Grenzwert = 5 ?

Kein Problem: erst nehmen wir mal 5 "1" und addieren die und danach immer abwechselnd eine "1" und eine "-1". Da wir wir von beiden genügend viele haben kann man das so einrichten. Ok, streng genommen müssen wir das epsilon immer 1 wählen, d.h. es liegt keine Konvergenz vor, aber darauf will ich jetzt nicht herumreiten; die so konstruierte Summe alterniert immer zwischen 5 und 6.

Oder lieber Grenzwert = 10 ? Kein Problem, dann nehmen wir eben zuerst mal 10 "1" und addieren die und danach immer abwechselnd eine "1" und eine "-1". Da wir wir von beiden genügend viele haben kann man das so einrichten; die so konstruierte Summe alterniert immer zwischen 10 und 11.

Und wohlbemerkt: wir haben immer denselben "Topf" mit Summanden.

Was, wenn nun das a z.B. den Wert 2 hat ? Nun, dann kommen noch die Potenzen hinzu; zwar kann man es wieder so einrichten, dass ein "gewünschter" Grenzwert herauskommt (wenigstens so ungefähr), aber danach schaukelt sich die Summe so richtig schön auf, und zwar exponentiell. Man subtrahiert dann also eine grosse Zweierpotenz und fällt also irgendwie weit ins Negative, aber kein Problem - der Pool der positiven Summanden ist unendlich gross und man kommt wieder weit über den gewünschten Grenzwert ins Positive. Die Zahl ist nun viel zu gross, aber erneut kein Problem, denn der Pool der negativen Summanden ist ja auch unendlich gross, d.h. man kommt wieder unter den gewünschten Grenzwert.

Wirklich konvergieren tut das natürlich nicht, aber mit jedem Summationsschritt liegt man mal über und dann wieder unter dem gewünschten Grenzwert, aber eben: es schaukelt sich exponentiell auf.

Deswegen klappt das mit dem Nachrücken, welches ja unendlich oft erfolgt, nicht wirklich so richtig, und von der harmonischen Reihe wissen wir, dass eine Reihe auch dann über alle Schranken anwachsen kann, auch wenn ihre Glieder gegen 0 konvergieren.

Man muss das also sauberer beweisen und das wird über die Gb[n] erfolgen, weil diese eben alle endlich sind.


Freundliche Grüsse, Ralf


EDIT 31.8.2014, 21:46 Uhr: von Dgoe genannten Schreibfehler korrigiert und die vergessenen Grüsse nachgetragen
Zuletzt geändert von ralfkannenberg am Sonntag 31. August 2014, 21:46, insgesamt 1-mal geändert.
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Re: die geometrische Reihe für Dummies

Beitragvon Dgoe » Samstag 30. August 2014, 00:41

Hallo Ralf,

ich habe da einen kleinen Einwurf zwischendurch.
ralfkannenberg hat geschrieben: Im obigen Beweis wird ja nirgendwo verwendet, dass 0 <= a < 1 sein muss.

Doch teilweise, es verhindert dass der Nenner Null wird.
Beweis hat geschrieben:Nun dividieren wir durch 1-a - da a<1 kann 1-a nicht 0 werden:


Gruß,
Dgoe

P.S.:
hier fehlt am Anfang ein Minus:
ralfkannenberg hat geschrieben:G a*G = a + a2 + a3 + a4 + a5 + ... - (a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + ...)
(Schreibfehler) ;)
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Re: die geometrische Reihe für Dummies

Beitragvon ralfkannenberg » Sonntag 31. August 2014, 21:47

Dgoe hat geschrieben:hier fehlt am Anfang ein Minus:
ralfkannenberg hat geschrieben:G a*G = a + a2 + a3 + a4 + a5 + ... - (a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + ...)
(Schreibfehler) ;)

Hallo Dgoe,

danke sehr, ich habe es korrigiert: G - a*G statt G a*G


Freundliche Grüsse, Ralf
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Re: die geometrische Reihe für Dummies

Beitragvon ralfkannenberg » Sonntag 31. August 2014, 21:50

Dgoe hat geschrieben:Doch teilweise, es verhindert dass der Nenner Null wird.
Beweis hat geschrieben:Nun dividieren wir durch 1-a - da a<1 kann 1-a nicht 0 werden:

Hallo Dgoe,

ok, dann nimm eben 1+epsilon ... (für alle epsilon > 0) ;)


Freundliche Grüsse, Ralf


P.S: Dein Einwand ist natürlich vollumfänglich berechtigt, ich habe da schlampig argumentiert.
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Re: die geometrische Reihe für Dummies

Beitragvon Dgoe » Montag 1. September 2014, 11:21

Hallo Ralf,

ok, soll ich irgendetwas bestimmtes tun? Eine Aufgabe? Ich bin übrigens ganz stolz darauf, dass Du meine Bezeichnung 'Gb' übernommen hast, war das zufällig die, die Du eh benutzen wolltest, oder darf ich mich geehrt fühlen? Wie hätte sie ansonsten gelautet? - Nur nebenbei, bin nur neugierig...

Gruß,
Dgoe
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Re: die geometrische Reihe für Dummies

Beitragvon ralfkannenberg » Montag 1. September 2014, 11:28

Dgoe hat geschrieben:ok, soll ich irgendetwas bestimmtes tun? Eine Aufgabe?

Hallo Dgoe,

äh, ja: Deine Kommentare zur Situation a>1 (inkl. a+epsilon) abgeben ...

Anschliessend machen wir den Beweis dann richtig, aber ich will zuerst erläutern, warum der Beweis in der vorliegenden Form nicht streng genug ist.


Dgoe hat geschrieben:Ich bin übrigens ganz stolz darauf, dass Du meine Bezeichnung 'Gb' übernommen hast, war das zufällig die, die Du eh benutzen wolltest, oder darf ich mich geehrt fühlen? Wie hätte sie ansonsten gelautet? - Nur nebenbei, bin nur neugierig...

Na ja, korrekt müsste man Gb(a) schreiben: a als die Zahl mit den Exponenten und b als der Koeffizient.


Freundliche Grüsse, Ralf
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Re: die geometrische Reihe für Dummies

Beitragvon Dgoe » Montag 1. September 2014, 12:10

ralfkannenberg hat geschrieben:äh, ja: Deine Kommentare zur Situation a>1 (inkl. a+epsilon) abgeben ...

Hallo Ralf,

das habe ich schon befürchtet. Ich kenne mich mit epsilon aber nicht so aus. Laut Wikipedia eine beliebig kleine Zahl größer Null. Bei den natürlichen Zahlen also beispielsweise 1. Das würde dann auch erklären wieso Du nach a>1 fragst (inkl. epsilon), denn zuvor war immer die Rede von umgekehrt a<1 und zuletzt von Dir a=1.

Gruß,
Dgoe
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Re: die geometrische Reihe für Dummies

Beitragvon ralfkannenberg » Montag 1. September 2014, 12:17

Dgoe hat geschrieben:
ralfkannenberg hat geschrieben:äh, ja: Deine Kommentare zur Situation a>1 (inkl. a+epsilon) abgeben ...
das habe ich schon befürchtet. Ich kenne mich mit epsilon aber nicht so aus. Laut Wikipedia eine beliebig kleine Zahl größer Null. Bei den natürlichen Zahlen also beispielsweise 1. Das würde dann auch erklären wieso Du nach a>1 fragst (inkl. epsilon), denn zuvor war immer die Rede von umgekehrt a<1 und zuletzt von Dir a=1.

Hallo Dgoe,

für unsere Zwecke ist es völlig genügend, 1+epsilon durch z.B. 1.1 zu ersetzen. Oder wenn Du mutig bist durch 1.01.


Freundliche Grüsse, Ralf
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Re: die geometrische Reihe für Dummies

Beitragvon Dgoe » Montag 1. September 2014, 12:29

Hallo Ralf,

mich erschließt sich der Kontext gerade nicht, trotz oben nachlesen. Wo genau soll ich 1+epsilon ersetzen?
*lost*

Gruß,
Dgoe
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