Über Null-, konstante und lineare Funktionen

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Über Null-, konstante und lineare Funktionen

Beitragvon ralfkannenberg » Montag 13. Oktober 2014, 15:13

Hallo zusammen,

ich habe bemerkt, dass auch Laien oftmals erstaunliche Kenntnisse in der Mathematik vorweisen können, dann jedoch bei elementar scheinenden Sachverhalten diese nicht sauber voneinander trennen und deswegen trotzdem zu unzutreffenden Ergebnissen gelangen.

In diesem Thread möchte ich eine Plattform anbieten, in der man sich über solche Inhalte austauschen und Fragen stellen kann.

Eine ganz wesentliche Rolle kommt dabei dem mathematischen Funktionsbegriff zu, beispielsweise in Abgrenzung des Relationsbegriffes.

Eine Funktion ist eine Abbildung, bei der ein Ursprungspunkt auf höchstens einen Bildpunkt abgebildet wird.

Wenn ich also in einem Laden bin und Artikel kaufe und dann an die Kasse gehe, so hat jeder gekaufte Artikel einen Preis. Er hat nur einen Preis, aber nicht mehrere Preise: ein Liter Milch vom gleichen Typ kann nicht beim selben Einkauf mal 1 Euro kosten und mal 1.10 Euro kosten.

Es kann aber sein, dass nicht alle Artikel einen Preis haben: beispielsweise wird in der Regel die Deckenbeleuchtung eines Ladens nicht käuflich erwerbbar sein, ebensowenig die WC-Schüssel im Nebenraum.

Die Preisfunktion ist also eine Funktion, wenn sie genau einen Wert hat oder wenn sie undefiniert ist.

Die Grösser-Gleich-Relation indes ist keine Funktion, denn grösser_gleich(4) ist beispielsweise die Zahl 4 selber, oder die Zahl 5, oder die Zahl 6 etc. Sie ist also eine Relation. Eine andere bekannte Relation ist die Teilmengen-Relation, also beispielsweise {1,2,3} ist eine Teilmenge der natürlichen Zahlen: r(x) = Teilmenge(IN) ist also auch mehrdeutig.


Freundliche Grüsse, Ralf
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Re: Über Null-, konstante und lineare Funktionen

Beitragvon ralfkannenberg » Montag 13. Oktober 2014, 15:38

Machen wir mal mit 2 prominenten Beispielen weiter:

Beispiel 1: die Wurzelfunktion
Die Wurzelfunktion ist mathematisch gesehen keine Funktion, da sie über dem Körper der komplexen Zahlen i.A. zwei Lösungen zulässt. So wird die Gleichung x² = 4 von den beiden Zahlen 2 und -2 gelöst.

Da aber die Wurzelfunktion in der Mathematik eine wichtige Funktion ist, hat man sie trotzdem definiert und es gilt also per definitionem, dass die Quadratwurzel einer Zahl ihre positive Lösung ist. Um Ärger zu vermeiden definiert man die Wurzelfunktion typischerweise nur auf IR0 und löst die "Richtung" - im Falle der komplexen Zahlen hat man ja nicht nur ein Vorzeichen, sondern eine Richtung - anders. Das braucht uns aber an dieser Stelle nicht zu interessieren.

Beispiel 2: die senkrechte Gerade
Bei einer senkrechten Geraden, die die x-Achse im Punkt (r,0) schneidet, liegt jeder Punkt der Form (r,y) auf der geraden, und zwar für alle y. Somit hat die senkrechte Gerade mehr als einen Bildwert und ist deswegen keine Funktion.

Anschaulich kann man sich das auch ein bisschen so erklären, dass in der Geradendarstellung f(x) = a0 * x + b0 die Steigung a0 unendlich gross würde, während gleichzeitig der Ordinatenachsenabschnitt b0 unbestimmt würde. In der Praxis, also z.B. in der Geometrie oder bei Monte Carlo-Simulationen, kann man solche Situationen aber dennoch problemlos lösen, sie werden in diesem Falle meistens ganz besonders einfach. Am einfachsten dreht man hierfür das Koordinatensystem um 90°.


Freundliche Grüsse, Ralf


P.S. Das Wort "Ordinatenachsenabschnitt" setze ich im weiteren Threadverlauf nicht als bekannt voraus, es ist einfach die etwas hochgestochene Notation für f(0), also für den Punkt, an dem die Gerade f(x) die y-Achse ("Ordinate") schneidet. Auch die x-Achse hat einen solchen Namen, sie wird als "Abszisse" bezeichnet. In der Schule wirde auf diesen Begriffen noch herumgeritten, ich kann mich aber nicht entsinnen, dass sie mir im Studium je begegnet wären.
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Re: Über Null-, konstante und lineare Funktionen

Beitragvon Dgoe » Montag 13. Oktober 2014, 19:08

Hallo Ralf,

also ein Graph, der einen Looping, eine Schleife macht, wäre keine Funktion, was wäre es stattdessen?

Gruß,
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Re: Über Null-, konstante und lineare Funktionen

Beitragvon ralfkannenberg » Montag 13. Oktober 2014, 19:13

Dgoe hat geschrieben:also ein Graph, der einen Looping, eine Schleife macht, wäre keine Funktion, was wäre es stattdessen?

Hallo Dgoe,

das wäre eine Relation. Das Maximum der Werte indes ist dann eine Funktion. Das Minimum ist auch eine - im Allgemeinen verschiedene - Funktion und der Mittelwert ist ebenfalls eine Funktion, die im Allgemeinen noch anders aussieht.

Wir wollen bei unseren Überlegungen übrigens stillschweigend ausschliessen, dass ein Originalwert und/oder ein Bildwert den Absolutbetrag unendlich aufweist, d.h. +oo und -oo u.ä. sollen nicht vorkommen.


Freundliche Grüsse, Ralf
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Re: Über Null-, konstante und lineare Funktionen

Beitragvon Dgoe » Montag 13. Oktober 2014, 21:50

Hallo Ralf,

verstehe, danke. Aber gerade mal nebenbei,

+oo und -oo u.ä.


was ist denn so ähnlich wie +oo und -oo?

Gruß,
Dgoe
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Re: Über Null-, konstante und lineare Funktionen

Beitragvon ralfkannenberg » Montag 13. Oktober 2014, 22:03

Dgoe hat geschrieben:Aber gerade mal nebenbei,

+oo und -oo u.ä.


was ist denn so ähnlich wie +oo und -oo?

Hallo Dgoe,

z.B. i*oo oder -i*oo, nur um 2 von ihnen zu nennen. Oder (1+i)*oo ...

Wenn Du die gerne alle willst: r*e mit r in IR+, φ in [0,2π) (also ohne 2π) und r->oo

Für e haben wir z.B. die folgenden Spezialfälle: 1ist der Spezialfall für φ=0, -1 für φ=π (entspricht 180°), i für φ=π/2 (entspricht 90°) und -i für φ=(3/2)*π (entspricht 270°).

Und (1+i) ist der Spezialfall für φ=π/4 (entspricht 45°).


Freundliche Grüsse, Ralf
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Re: Über Null-, konstante und lineare Funktionen

Beitragvon Dgoe » Dienstag 14. Oktober 2014, 09:25

ralfkannenberg hat geschrieben:z.B. i*oo oder -i*oo, nur um 2 von ihnen zu nennen. Oder (1+i)*oo ...

Wenn Du die gerne alle willst: r*e mit r in IR+, φ in [0,2π) (also ohne 2π) und r->oo

Für e haben wir z.B. die folgenden Spezialfälle: 1ist der Spezialfall für φ=0, -1 für φ=π (entspricht 180°), i für φ=π/2 (entspricht 90°) und -i für φ=(3/2)*π (entspricht 270°).

Und (1+i) ist der Spezialfall für φ=π/4 (entspricht 45°).

Hallo Ralf,

ja, öh, danke, da hätte ich auch selber drauf kommen können *irony*.
Spannend. Vielleicht ein eigenes Thread-Thema wert!?

Gruß,
Dgoe
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Re: Über Null-, konstante und lineare Funktionen

Beitragvon ralfkannenberg » Dienstag 14. Oktober 2014, 10:18

Dgoe hat geschrieben:Spannend. Vielleicht ein eigenes Thread-Thema wert!?

Hallo Dgoe,

nö, das ist ziemlich trivial. Wenn Du Dich dafür interessierst, dann kannst Du ja mal die Kubikwurzel von -1 oder die Quadratwurzel der imaginären Einheit i untersuchen.

Diese Zahlen liegen alle in der komplexen Zahlenebene auf einem Kreis um den Nullpunkt mit Radius 1, sie haben also alle den Absolutbetrag 1. Das ist jetzt der algebraische Approach; wenn Du den analytischen Approach wählst, kannst Du nutzen, dass sin²(x) + cos²(x) = 1 gilt, und zwar für alle x.


Freundliche Grüsse, Ralf
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Re: Über Null-, konstante und lineare Funktionen

Beitragvon Dgoe » Dienstag 14. Oktober 2014, 10:46

ralfkannenberg hat geschrieben:das ist ziemlich trivial.

Hallo Ralf,

das sagst Du! Als Mathematiker eben. Glaube Dir gerne, dass es in der Mathematik durchaus so sein mag. Ansonsten, für alle anderen ist es abhängig vom Betrachter, was trivial ist und was nicht. So ist es immer weitaus weniger trivial, wenn man etwas nicht kennt, bis hin zu banal, wenn man es kennt.

Würde der Cro-Magnon-Mensch zum Ende der letzten Eiszeit das auch trivial gefunden haben? Oder ein Schimpanse oder eine Blattlaus?

Ich bin da gerade noch im Einzeller-Stadium... :geek:

Gruß,
Dgoe
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Re: Über Null-, konstante und lineare Funktionen

Beitragvon ralfkannenberg » Dienstag 14. Oktober 2014, 10:52

Dgoe hat geschrieben:das sagst Du!

Hallo Dgoe,

wenn Du unbedingt willst, dann betrachte die Nullstellen folgender Polynome:

a.) x-oo - 1 = 0 (x>1)

0.) x0 - 1 = 0

1.) x1 - 1 = 0

2.) x2 - 1 = 0

3.) x3 - 1 = 0

4.) x4 - 1 = 0

...

n.) xn - 1 = 0


Freundliche Grüsse, Ralf


P.S. die Fälle a.) und 0.) nur der Vollständigkeit halber; die tragen zu dieser Thematik nicht wirklich bei
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