Lineare Unabhängigkeit und Dimensionen

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Lineare Unabhängigkeit und Dimensionen

Beitragvon ralfkannenberg » Donnerstag 30. Oktober 2014, 11:02

Hallo zusammen,

wir haben hier einmal angefangen, uns etwas mit den mathematischen Begriffen der Linearen Unabhängigkeit zu beschäftigen.

Ausgangspunkt war folgende Fragestellung:

ralfkannenberg hat geschrieben:Wenn ich einen Vektor (1,0) habe - das ist also ein Pfeil, der vom Nullpunkt aus um 1 nach rechts und um 0 nach oben geht - und ich den beliebig addiere und Vielfache mit reellen Zahlen bilde, kann ich dann den Punkt (1,1), der ja auch in der Ebene liegt, erreichen ?


Diese Frage wurde von Kurt korrekt beantwortet und umfasst nun auch den allgemeineren Teil, der eine "negativ nach rechts gehen" umfasst, also ein nach links gehen.


Diese haben wir nun erweitert:
ralfkannenberg hat geschrieben:Wenn ich einen Vektor (1,0,0) habe - das ist also ein Pfeil, der vom Nullpunkt aus um 1 nach rechts, um 0 nach oben und um 0 nach hinten geht - und ich den beliebig addiere und Vielfache mit reellen (oder meinetwegen mit ganzen) Zahlen bilde, kann ich dann den Punkt (1,1,0) erreichen ?


Kurt hat hierzu auch bereits geantwortet.

Da diese Thematik genügend Inhalt für einen eigenen Thread beinhaltet, habe ich sie aus dem ursprünglichen Thread Die Automatik der Existenz... ausgelagert.


Viel Spass bei der Erörterung :)


Freundliche Grüsse, Ralf
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Re: Lineare Unabhängigkeit und Dimensionen

Beitragvon ralfkannenberg » Donnerstag 30. Oktober 2014, 11:18

Kurt hat geschrieben:
ralfkannenberg hat geschrieben:Wenn ich einen Vektor (1,0,0) habe - das ist also ein Pfeil, der vom Nullpunkt aus um 1 nach rechts, um 0 nach oben und um 0 nach hinten geht - und ich den beliebig addiere und Vielfache mit reellen (oder meinetwegen mit ganzen) Zahlen bilde, kann ich dann den Punkt (1,1,0) erreichen ?


Mir ist nicht klar wo bei dir -nach hinten- hingeht.
(ich sitze vor dem Monitor und habe den Nullpunkt gedanklich mit dem Filzstift in dessen Mitte gemalt)
X-Achse nach rechts/links
Y-Achse nach oben/unten
Z-Achse aus dem Punkt durch den Monitor durch/vom Punkt zu mir herkommend


Der Punkt (1,1,0) ist auch hier nicht erreichbar.

Kurt

Hallo Kurt,

Deine Frage ist völlig berechtigt, aber an sich nicht so wichtig, da die "Richtungen" ja nur eine geometrische Veranschaulichung darstellen.

Ich will deswegen kurz schreiben, was die bisherigen genannten Vektoren geometrisch bedeuten und was sie im Allgemeinen bedeuten:

Geometrische Anschauung:
(1,0) = 1 nach rechts und 0 nach oben
(1,1) = 1 nach rechts und 1 nach oben
(-1,0) = 1 nach links (genauer: -1 nach rechts) und 0 nach oben
(-2,0) = 2 nach links (genauer: -2 nach rechts) und 0 nach oben

allgemeine Darstellung:
Definition:
e1 := (1,0)
e2 := (0,1)

Dann gilt:
(1,0) = 1 * e1 + 0 * e2
(1,1) = 1 * e1 + 1 * e2
(-1,0) = (-1) * e1 + 0 * e2
(-2,0) = (-2) * e1 + 0 * e2

Macht das Sinn ?


Freundliche Grüsse, Ralf
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Re: Lineare Unabhängigkeit und Dimensionen

Beitragvon Kurt » Donnerstag 30. Oktober 2014, 21:54

ralfkannenberg hat geschrieben:
Geometrische Anschauung:
(1,0) = 1 nach rechts und 0 nach oben
(1,1) = 1 nach rechts und 1 nach oben
(-1,0) = 1 nach links (genauer: -1 nach rechts) und 0 nach oben
(-2,0) = 2 nach links (genauer: -2 nach rechts) und 0 nach oben

allgemeine Darstellung:
Definition:
e1 := (1,0)
e2 := (0,1)

Dann gilt:
(1,0) = 1 * e1 + 0 * e2
(1,1) = 1 * e1 + 1 * e2
(-1,0) = (-1) * e1 + 0 * e2
(-2,0) = (-2) * e1 + 0 * e2

Macht das Sinn ?


Ja.


e3 := (0,0,1)

(-2,0,1) = (-2) * e1 + 0 * e2 + 1* e3


OK?

Kurt
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Re: Lineare Unabhängigkeit und Dimensionen

Beitragvon Herr Senf » Donnerstag 30. Oktober 2014, 22:37

Oh, jetzt darf bestimmt bald die 3er-Determinante gelöst werden.
Geht auswendig wie das Ein-mal-Eins.
Spannend - Senf
ich will auch mal was dazu sagen
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Re: Lineare Unabhängigkeit und Dimensionen

Beitragvon ralfkannenberg » Freitag 31. Oktober 2014, 10:18

Kurt hat geschrieben:
ralfkannenberg hat geschrieben:
Geometrische Anschauung:
(1,0) = 1 nach rechts und 0 nach oben
(1,1) = 1 nach rechts und 1 nach oben
(-1,0) = 1 nach links (genauer: -1 nach rechts) und 0 nach oben
(-2,0) = 2 nach links (genauer: -2 nach rechts) und 0 nach oben

allgemeine Darstellung:
Definition:
e1 := (1,0)
e2 := (0,1)

Dann gilt:
(1,0) = 1 * e1 + 0 * e2
(1,1) = 1 * e1 + 1 * e2
(-1,0) = (-1) * e1 + 0 * e2
(-2,0) = (-2) * e1 + 0 * e2

Macht das Sinn ?


Ja.

Hallo Kurt,

sehr gut.


Kurt hat geschrieben:e3 := (0,0,1)

(-2,0,1) = (-2) * e1 + 0 * e2 + 1* e3


OK?

Das ist falsch.

Und doch: es ist super, dass Du das geschrieben hast, denn genau hierhin wollte ich, um in diese Thematik einzusteigen !
Klasse: das war jetzt genau der Schritt, den wir brauchen !!

Mehr in der Mittagspause.


Freundliche Grüsse, Ralf
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Re: Lineare Unabhängigkeit und Dimensionen

Beitragvon ralfkannenberg » Freitag 31. Oktober 2014, 12:47

Hallo Kurt,

wir betrachten nun einmal folgende Vektoren:

x=(1,1)
e1:=(1,0)
e2:=(0,1)

Insbesondere stellen wir fest, dass gilt: x = (1,1) = 1 * e1 + 1 * e2

y=(1,1,0)
f1:=(1,0,0)
f2:=(0,1,0)
f3:=(0,0,1)

Insbesondere stellen wir fest, dass gilt: y = (1,1,0) = 1 * f1 + 1 * f2 + 0 * f3


Fragen:
1. gilt x = y ?
2. gilt e1 = f1 ?
3. gilt e2 = f2 ?


Freundliche Grüsse, Ralf
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Re: Lineare Unabhängigkeit und Dimensionen

Beitragvon Kurt » Samstag 1. November 2014, 00:39

ralfkannenberg hat geschrieben:wir betrachten nun einmal folgende Vektoren:

x=(1,1)
e1:=(1,0)
e2:=(0,1)

Insbesondere stellen wir fest, dass gilt: x = (1,1) = 1 * e1 + 1 * e2

y=(1,1,0)
f1:=(1,0,0)
f2:=(0,1,0)
f3:=(0,0,1)

Insbesondere stellen wir fest, dass gilt: y = (1,1,0) = 1 * f1 + 1 * f2 + 0 * f3


Fragen:
1. gilt x = y ?
2. gilt e1 = f1 ?
3. gilt e2 = f2 ?


Sind die e und die f nur Zeiger welcher Wert(Ort) im Vektor angesprochen ist/wird oder kann da auch eine Zahl (Multiplikator) stehen?

Beispiel:
Vektor u = (-2,0,3,1)

g1: (1,0,0,0)
g2: (0,1,0,0)
g3: (0,0,1,0)
g4: (0,0,0,1)

u = (-2,0,3,1) = -2*g1 + 0*g2 + 3*g3 + 1* g4


Zu den Fragen: 3 x Ja

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Re: Lineare Unabhängigkeit und Dimensionen

Beitragvon ralfkannenberg » Samstag 1. November 2014, 12:34

Kurt hat geschrieben:
ralfkannenberg hat geschrieben:e1:=(1,0)
e2:=(0,1)

(...)

f1:=(1,0,0)
f2:=(0,1,0)
f3:=(0,0,1)

(...)

Fragen:
1. gilt x = y ?
2. gilt e1 = f1 ?
3. gilt e2 = f2 ?


Sind die e und die f nur Zeiger welcher Wert(Ort) im Vektor angesprochen ist/wird oder kann da auch eine Zahl (Multiplikator) stehen?

Hallo Kurt,

beides.


Kurt hat geschrieben:Beispiel:
Vektor u = (-2,0,3,1)

g1: (1,0,0,0)
g2: (0,1,0,0)
g3: (0,0,1,0)
g4: (0,0,0,1)

u = (-2,0,3,1) = -2*g1 + 0*g2 + 3*g3 + 1* g4

Also jetzt bin ich voll beeindruckt: das ist super Kurt, das ist echt klasse !!

Genau solche g's hätte ich übrigens als nächstes auch definiert, und zwar genau gleich wie Du das getan hast.


Kurt hat geschrieben:Zu den Fragen: 3 x Ja

Was soll ich dazu sagen: von der Anschauung her ist es richtig und Du meinst auch das richtige, dennoch ist es mathematisch falsch. Deswegen weil die e's ebenso wie das x=(1,1) dem Vektorraum IR2 entstammmen, während die f's ebenso wie y=(1,1,0) dem IR3 entstammen.

Was man aber tun kann: man kann diese Vektoren in einen IRn mit n >= max(2,3) einbetten, und die eingebetteten Vektoren sind dann gleich. Nicht aber deren Originale.


Wäre das eine Prüfung gewesen, hätte ich Dir trotz der einen falsch beantworteten Frage die höchste Punktzahl gegeben ! - Ich wiederhole mich, aber das war wirklich klasse !


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Re: Lineare Unabhängigkeit und Dimensionen

Beitragvon nocheinPoet » Samstag 1. November 2014, 14:30

ralfkannenberg hat geschrieben:
Also jetzt bin ich voll beeindruckt: das ist super Kurt, das ist echt klasse !!

Genau solche g's hätte ich übrigens als nächstes auch definiert, und zwar genau gleich wie Du das getan hast.

...

Wäre das eine Prüfung gewesen, hätte ich Dir trotz der einen falsch beantworteten Frage die höchste Punktzahl gegeben ! - Ich wiederhole mich, aber das war wirklich klasse!

Ja wirklich beeindrucken und verwunderlich, bestätigt mich aber in der Meinung, dass Kurt nicht so blöde ist, wie er in anderen Fragen tut. Was also die Frage nach der Existenz des Abstandes angeht, oder das mit der Kraft, oder die Blauverschiebung, sollte klar sein, dass Kurt nicht zu dämlich ist, es zu begreifen, sondern einfach nur zu stur. Er will einfach nicht zugegeben sich widersprochen zu haben. Sehen wir mal wie Anerkennung auf ihn wirkt und ob er sich daraus genug Kraft und Mut ziehen kann, auch in anderen Fragen mal wirklich Farbe zu bekennen.

Hast Du schon gut gemacht Ralf, hätte wohl keiner erwartet, dass Kurt hier so läuft.


Lieben Gruß

Manuel
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Re: Lineare Unabhängigkeit und Dimensionen

Beitragvon Kurt » Sonntag 2. November 2014, 13:26

ralfkannenberg hat geschrieben:
Kurt hat geschrieben:Zu den Fragen: 3 x Ja

Was soll ich dazu sagen: von der Anschauung her ist es richtig und Du meinst auch das richtige, dennoch ist es mathematisch falsch. Deswegen weil die e's ebenso wie das x=(1,1) dem Vektorraum IR2 entstammmen, während die f's ebenso wie y=(1,1,0) dem IR3 entstammen.

Was man aber tun kann: man kann diese Vektoren in einen IRn mit n >= max(2,3) einbetten, und die eingebetteten Vektoren sind dann gleich. Nicht aber deren Originale.


Ich versuche das mal in meiner -Sprache- zu verstehen.

Ein Laden verkauft unterschiedliche Bausätze, einer (x) besteht aus zweierlei Schrauben deren Anzahl (1,1) oder auch (5,3) usw. sein kann.
Der andere Bausatz (y) besteht aus dreierlei Schrauben deren Anzahhl... (1,1,1) oder (5,2,0) sein kann.
Auch wenn die Inhalte der beiden Bausätze x (1,1) und y (1,1,0) sind sind sie dennoch nicht gleich, bzw. nicht als gleich anzusehen denn sie sind grundsätzlich unterschiedlich.

Werden die beiden Bausätze nun in eine weitere Schachtel geschlichtet/eingebettet IRn mit n >= max(2,3) einbetten dann verhält sich das wie ein neuer Bausatz der halt einfach zwei eigenständige Bausätze enthält.

Wie krige ich nun die gedankliche Kurfe zu: "und die eingebetteten Vektoren sind dann gleich"?

Sind sie gleich wenn sie x(1,1) y(1,1,0) oder x(3,0) y(3,0,0) sind, und bei x(1,1) y(1,0,1) nicht mehr?

Kurt
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