Lineare Unabhängigkeit und Dimensionen

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Re: Lineare Unabhängigkeit und Dimensionen

Beitragvon ralfkannenberg » Montag 3. November 2014, 13:50

Kurt hat geschrieben:Ich versuche das mal in meiner -Sprache- zu verstehen.

Hallo Kurt,

ich bitte um Nachsicht und Geduld, dass ich etwas Zeit benötige, um Deine Gedanken zu verstehen, da ich Dich nicht mit einem "ja, so ungefähr" abspeisen möchte. Die grundlegenden Ideen und Konzeote hast Du genannt und die sind als solche auch richtig, aber sie müssen noch in den richtigen mathematischen Zusammenhang gestellt werden. Da ist Dein Bausatz-Beispiel ausgezeichnet für geeignet.

Auch obigen Beitrag von Dir habe ich mir ausgedruckt.


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Re: Lineare Unabhängigkeit und Dimensionen

Beitragvon Kurt » Montag 3. November 2014, 22:09

ralfkannenberg hat geschrieben:
Kurt hat geschrieben:Ich versuche das mal in meiner -Sprache- zu verstehen.

Hallo Kurt,

ich bitte um Nachsicht und Geduld, dass ich etwas Zeit benötige, um Deine Gedanken zu verstehen,


Hallo Ralf, wer von uns wird wohl mehr Geduld brauchen, wohl eher du.
Bisher war es ja leicht, denn ich konnte es mit meinem "3d" geprägtem Verstand noch klar erfassen da ich es direkt auf die drei Raumdimensionen aufsetzen konnte.
Mach bitte langsam weiter damits nicht abreisst.

Kurt
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Re: Lineare Unabhängigkeit und Dimensionen

Beitragvon ralfkannenberg » Dienstag 4. November 2014, 00:53

Kurt hat geschrieben:
ralfkannenberg hat geschrieben:
Kurt hat geschrieben:Zu den Fragen: 3 x Ja

Was soll ich dazu sagen: von der Anschauung her ist es richtig und Du meinst auch das richtige, dennoch ist es mathematisch falsch. Deswegen weil die e's ebenso wie das x=(1,1) dem Vektorraum IR2 entstammmen, während die f's ebenso wie y=(1,1,0) dem IR3 entstammen.

Was man aber tun kann: man kann diese Vektoren in einen IRn mit n >= max(2,3) einbetten, und die eingebetteten Vektoren sind dann gleich. Nicht aber deren Originale.


Ich versuche das mal in meiner -Sprache- zu verstehen.

Ein Laden verkauft unterschiedliche Bausätze, einer (x) besteht aus zweierlei Schrauben deren Anzahl (1,1) oder auch (5,3) usw. sein kann.
Der andere Bausatz (y) besteht aus dreierlei Schrauben deren Anzahhl... (1,1,1) oder (5,2,0) sein kann.
Auch wenn die Inhalte der beiden Bausätze x (1,1) und y (1,1,0) sind sind sie dennoch nicht gleich, bzw. nicht als gleich anzusehen denn sie sind grundsätzlich unterschiedlich.

Hallo Kurt,

ich hätte es zwar nicht so gemacht, aber ja - Dein Beispiel ist korrekt; es ist für mich etwas ungewohnt, aber es ist ok.

Kurt hat geschrieben:Werden die beiden Bausätze nun in eine weitere Schachtel geschlichtet/eingebettet IRn mit n >= max(2,3) einbetten dann verhält sich das wie ein neuer Bausatz der halt einfach zwei eigenständige Bausätze enthält.

Lass mich mal 2 Fälle unterscheiden: den allgemeinen Fall, den Du genannt hast, d.h. wir haben insgesamt 5 verschiedene Typen Schrauben.

Kurt hat geschrieben:Wie krige ich nun die gedankliche Kurfe zu: "und die eingebetteten Vektoren sind dann gleich"?

Du kannst die Schrauben aus Sicht der beiden Bausätze ja wie folgt beschreiben:

Nehmen wir das Beispiel (5,3) vom ersten Bausatz und das Beispiel (1,1,1) vom zweiten Bausatz.

Aus der Sicht, dass beide Bausätze in einer grösseren, mehr umfassenden Schachtel sind, heisst dann das Beispiel (5,3) eben (5,3,0,0,0) und das Beispiel (1,1,1) eben (0,0,1,1,1).

Ihre Originale sind (5,3) und (1,1,1), aber in der grösseren Schachtel befinden sich an ihrer Stelle die beiden Schrauben-Kombinationen (5,3,0,0,0) sowie (0,0,1,1,1). Die beiden kannst Du nun übrigens auch zu einer einzigen Schrauben-Kombination zusammenfassen, die schreibt man (5,3,1,1,1).

Wie gesagt - dieses Beispiel ist völlig korrekt und beschreibt den Allgemeinfall.

Betrachten wir nun folgenden Spezialfall, in welchem der zweite Bausatz, also derjenige, der 3 verschiedene Schraubentypen enthält, gerade auch die beiden Schrauben-Typen des ersten Bausatzes enthält. Indiesem Falle enthält der kombinierte Bausatz nur drei Schrauben-Typen, nämlich die beiden, die in beiden Bausätzen vorkommen, sowie denjenigen, der noch zusätzlich im dritten Bausatz vorkommt.

Kurt hat geschrieben:Sind sie gleich wenn sie x(1,1) y(1,1,0) oder x(3,0) y(3,0,0) sind, und bei x(1,1) y(1,0,1) nicht mehr?

Und was Du hier geschrieben hast, bezieht sich gerade auf diesen Spezialfall, bei dem der zweite Bausatz auch die beiden Schraubentypen des ersten Bausatzes enthält.

Und ja, in diesem Fall ist es so, wie Du es geschrieben hast, d.h. (1,1) entspricht (1,1,0) und (3,0) entspricht (3,0,0), während (1,1) nicht (1,0,1) entspricht.

Und ja: danke, dass Du mich an den allgemeinen Fall erinnert hast; ich hätte vergessen, ihn auch zu beschreiben, dabei ist er ebenfalls ein gültiger und korrekter Fall.


Macht das so Sinn ?


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Re: Lineare Unabhängigkeit und Dimensionen

Beitragvon ralfkannenberg » Dienstag 4. November 2014, 00:58

Kurt hat geschrieben:Bisher war es ja leicht, denn ich konnte es mit meinem "3d" geprägtem Verstand noch klar erfassen da ich es direkt auf die drei Raumdimensionen aufsetzen konnte.
Mach bitte langsam weiter damits nicht abreisst.

Hallo Kurt,

Du machst das sehr gut so und brauchst Dich auch nicht des "3d-geprägten Verstandes" irgendwie zu genieren: historisch war das natürlich der Ansatzpunkt, aus dem sich dann die allgemeine Theorie entwickelt hat. Und dabei hat sich eben herausgesetllt, dass man dieselbe Theorie für 2d, 3d, aber eben auch allgemeiner für Berechnungen verwenden kann.

Ob das jetzt Richtungen im Raum sind, oder verschiedene Schraubentypen, wie Du sie genannt hast, oder eine Einkaufsliste für den Supermarkt, die mein Lehrer immer als Beispiel genannt hat, ist dabei zunächst einmal unerheblich.


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Re: Lineare Unabhängigkeit und Dimensionen

Beitragvon Kurt » Mittwoch 5. November 2014, 23:13

ralfkannenberg hat geschrieben:
Aus der Sicht, dass beide Bausätze in einer grösseren, mehr umfassenden Schachtel sind, heisst dann das Beispiel (5,3) eben (5,3,0,0,0) und das Beispiel (1,1,1) eben (0,0,1,1,1).

Ihre Originale sind (5,3) und (1,1,1), aber in der grösseren Schachtel befinden sich an ihrer Stelle die beiden Schrauben-Kombinationen (5,3,0,0,0) sowie (0,0,1,1,1). Die beiden kannst Du nun übrigens auch zu einer einzigen Schrauben-Kombination zusammenfassen, die schreibt man (5,3,1,1,1).


Hallo Ralf,

das finde ich als gute -Idee-, das kommt mir sehr entgegen, zum Rest nachher.

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Re: Lineare Unabhängigkeit und Dimensionen

Beitragvon ralfkannenberg » Mittwoch 5. November 2014, 23:53

Kurt hat geschrieben:das finde ich als gute -Idee-, das kommt mir sehr entgegen, zum Rest nachher.

Hallo Kurt,

die Lineare Algebra ist eine sehr allgemeine Theorie und lässt Dir auch viele Freiheiten; man muss sie nur richtig anwenden. Spannender ist dann eigentlich der Übergang bzw. die Verallgemeinerung in die Gruppentheorie, also in die Algebra selber, weil diese eben noch etwas rigoroser ist.


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