Wissenswertes über den Differenzenquotienten

Hier könnt Ihr euch einfach so unterhalten

Moderatoren: Guhrfisch, nocheinPoet

Wissenswertes über den Differenzenquotienten

Beitragvon ralfkannenberg » Dienstag 12. Mai 2015, 18:14

Hallo zusammen,

vom astronews-Forum, Thema DE, Dark Energy (vis à vis) inspiriert möchte ich wieder einmal eine mathematische Thematik ansprechen. Das Fernziel wird die Differentialrechnung sein, aber hier backen wir vorerst etwas kleinere Brötchen und machen uns Gedanken über den Differenzenquotienten.

Wie immer werden dabei die Nullfunktion, die konstante Funktion, die lineare Funktion und die quadratische Funktion eine wichtige Rolle spielen und wo es möglich ist, werde ich den geometrischen und nicht den analytischen Ansatz beschreiten.


Freundliche Grüsse, Ralf
Benutzeravatar
ralfkannenberg
 
Beiträge: 4885
Registriert: Montag 24. Oktober 2011, 20:25

Re: Wissenswertes über den Differenzenquotienten

Beitragvon Struktron » Dienstag 12. Mai 2015, 18:37

Hallo Ralf,
ralfkannenberg hat geschrieben:Hallo zusammen,

vom astronews-Forum, Thema DE, Dark Energy (vis à vis) inspiriert möchte ich wieder einmal eine mathematische Thematik ansprechen. Das Fernziel wird die Differentialrechnung sein, aber hier backen wir vorerst etwas kleinere Brötchen und machen uns Gedanken über den Differenzenquotienten.

Wie immer werden dabei die Nullfunktion, die konstante Funktion, die lineare Funktion und die quadratische Funktion eine wichtige Rolle spielen und wo es möglich ist, werde ich den geometrischen und nicht den analytischen Ansatz beschreiten.

Ohne das interessante Thema auf weitere Baustellen verzetteln zu wollen und auch ohne die entsprechende Zeit für Engagemant zu haben, erscheint mir die Diskussion in Manus Zeitforum zur Realität der Zeit mit dem Beitrag des Nutzers Otto auch einen sehr interessanten Aspekt dazu zu liefern.
Mein eigener Hinweis dort, dass das (nach noch vielem Lernen) bis zu den Renormierungen von Feldtheorien führen kann, erfordert aber erst mal ein besseres Verständnis der Grundlagen (hier?)

MfG
Lothar W.
--
Erzeugen Stöße die Feinstrukturkonstante?
http://struktron.de
Benutzeravatar
Struktron
 
Beiträge: 468
Registriert: Mittwoch 5. Juni 2013, 11:37
Wohnort: Winter: Sarajevo, Sommer: Porec, offiziell (Geburtsort) Leipzig

Re: Wissenswertes über den Differenzenquotienten

Beitragvon ralfkannenberg » Dienstag 12. Mai 2015, 21:23

Struktron hat geschrieben:Mein eigener Hinweis dort, dass das (nach noch vielem Lernen) bis zu den Renormierungen von Feldtheorien führen kann, erfordert aber erst mal ein besseres Verständnis der Grundlagen (hier?)

Hallo Lothar,

schön, dass Du Dich hier zu Wort meldest. Was Renormierungen von Feldtheorien anbelangt, so werden wir das in diesem Rahmen natürlich nicht einmal ansprechen können, aber eben: die Grundlagen - auf die kommt es mir an.

In den richtigen Zusammenhang eingeordnet: die Differentialrechnung beschreibt Veränderungen im sehr kleinen, also das lokale Verhalten von Funktionen. Und wenn man das gesamte Verhalten wissen will, so muss man eben alle diese lokalen Verhalten geeignet aufsummieren.

Das Betrachten des lokalen Verhaltens einer Funktion nennt man Differenzialrechnung, weil man Veränderungen bzw. "Differenzen" - genauer: die "Differentiale" betrachtet, und das Aufsummieren nennt man dann "Integrieren".

Nun habe ich schon die beiden Fachbegriffe genannt und der Hauptsatz besagt im Wesentlichen, dass die Aufsummierung aller Veränderungen wieder die Funktion selber ergibt. Das klingt eigentlich sehr banal, doch das auf eine exakte Grundlage zu bringen ist erst den grossen Gelehrten Newton und Leibniz gelungen.

In diesem Thread sprechen wir über den Differenzenquotienten. Ganz wichtig: wir sprechen nicht über den Differentialquotienten. Es ist enorm wichtig, dass wir uns dessen immer bewusst sind, dass das zwei zwar nahe verwandte aber dennoch verschiedene Begriffe sind.

Zu Beginn treffen wir eine Konvention; diese ist zwar nicht nötig, wir wollen uns aber dennoch daran halten: x1 < x2, also nicht umgekehrt. Zudem sind beide verschieden, da wir nicht durch 0 dividieren wollen. Es gibt genügend viele kleine echt positive reelle Zahlen, um die sich diese beiden Zahlen unterscheiden können, und da sind auch beliebig kleine dabei, und zwar viele. Sehr viele. Überabzählbar unendlich viele.

Nun also definieren wir den Differenzenquotienten:

Sei f(x) eine geeignet definierte Funktion (was auch immer "geeignet" heissen soll). Der Differenzenquotient von f(x), x1 und x2 ist dann wie folgt definiert:

Df (x1,x2) := ( f(x2) - f(x1) ) / ( x2 - x1 ).

Wir wollen diesen Differenzenquotienten nun ein bisschen kennenlernen, und zwar für 5 ganz einfache Funktionen. Für den Beginn wählen wir x1 = 0 und x2 = 1.

Seien:
- f1(x):=0 die Nullfunktion
- f2(x):=1 die kontante Funktion (die wir der Bequemlichkeit halber zu 1 normieren)
- f3(x):=x die lineare Funktion
- f4(x):=2x ebenfalls eine lineare Funktion
- f5(x):=x² die quadratische Funktion

Übung: was sind die Differenzenquotienten dieser 5 Funktionen, jeweils für x1 = 0 und x2 = 1 ?


Freundliche Grüsse, Ralf


P.S. Über diese Funktionen haben wir uns übrigens auch schon hier unterhalten: Über Null-, konstante und lineare Funktionen


EDIT 13.05.2015, 12:04 Uhr:
Zur genaueren Definition (x1,x2) ergänzt, da der Wert des Differenzenquotienten im Allgemeinen von der Wahl der Punkte x1 und x2 abhängt
Zuletzt geändert von ralfkannenberg am Mittwoch 13. Mai 2015, 12:04, insgesamt 1-mal geändert.
Benutzeravatar
ralfkannenberg
 
Beiträge: 4885
Registriert: Montag 24. Oktober 2011, 20:25

Re: Wissenswertes über den Differenzenquotienten

Beitragvon Spacerat » Dienstag 12. Mai 2015, 21:58

0,0,1,2,1

f1(x_1)=f1(x_2)=0 => (0-0)/(1-0)=0 (immer so, weil 0-0=0 bei jedem x)
f2(x_1)=f2(x_2)=1 => (1-1)/(1-0)=0 (immer so, weil 1-1=0 bei jedem x)
f3(x_1)=0; f3(x_2)=1 => (1-0)/(1-0)=1
f4(x_1)=0; f4(x_2)=2 => (2-0)/(1-0)=2
f5(x_1)=0; f5(x_2)=1 => (1-0)/(1-0)=1
"Man übersah bei dieser geradezu kindisch anmutenden wissenschaftspolitischen Wichtigtuerei, dass nicht jeder exzellenter sein kann als alle anderen." (Dr. Prof. Matthias Binswanger)
Benutzeravatar
Spacerat
 
Beiträge: 607
Registriert: Donnerstag 9. April 2015, 02:29

Re: Wissenswertes über den Differenzenquotienten

Beitragvon Dgoe » Mittwoch 13. Mai 2015, 00:49

Hallo Ralf,

Prima! Was ist denn zum Vergleich dann der Differentialquotient?

Gruß,
Dgoe
Alle sagten immer das geht nicht, dann kam jemand, der das nicht wusste, und hat es einfach gemacht!
Benutzeravatar
Dgoe
 
Beiträge: 1064
Registriert: Freitag 31. Mai 2013, 15:41

Re: Wissenswertes über den Differenzenquotienten

Beitragvon ralfkannenberg » Mittwoch 13. Mai 2015, 09:46

Spacerat hat geschrieben:0,0,1,2,1

f1(x_1)=f1(x_2)=0 => (0-0)/(1-0)=0 (immer so, weil 0-0=0 bei jedem x)
f2(x_1)=f2(x_2)=1 => (1-1)/(1-0)=0 (immer so, weil 1-1=0 bei jedem x)
f3(x_1)=0; f3(x_2)=1 => (1-0)/(1-0)=1
f4(x_1)=0; f4(x_2)=2 => (2-0)/(1-0)=2
f5(x_1)=0; f5(x_2)=1 => (1-0)/(1-0)=1

Hallo Spacerat,

perfekt ! Jedes weitere Wort von mir wäre zuviel :)

Ich will trotzdem erklären, warum ich "perfekt" schreibe: Du hast erstens die Lösung genannt, zweitens, wie Du es berechnet hast und drittens in den beiden ersten Fällen auch noch den allgemeinen Fall beschrieben. Selbst wenn Dir bei der Nennung der Lösungen ein kleiner Rechenfehler unterlaufen wäre, wäre dennoch die Bestnote jederzeit gerechtfertigt.


Jetzt lasse ich Dich mal raten: ich konnte bei f1 bis f4 auf den ersten Blick sehen, dass Deine Lösung richtig ist. Wieso ?


Freundliche Grüsse, Ralf
Benutzeravatar
ralfkannenberg
 
Beiträge: 4885
Registriert: Montag 24. Oktober 2011, 20:25

Re: Wissenswertes über den Differenzenquotienten

Beitragvon ralfkannenberg » Mittwoch 13. Mai 2015, 10:05

Dgoe hat geschrieben:Prima! Was ist denn zum Vergleich dann der Differentialquotient?

Hallo Dgoe,

diese Frage kommt mir zu früh. Ich will es also kurz erläutern und danach vergisst Du das bitte wieder.

Also: Unsere Differenzenquotienten hängen ja von 3 Inputgrössen ab: von f(x), von x1 und von x2, wobei wir stillschweigend voraussetzen, dass f(x1) und f(x2) definiert sind, d.h. die Funktion f(x) auf x1 und x2 gültig ist, und wir zusätzlich ohne Einschränkung der Allgemeinheit die Konvention gewählt haben, dass x1 stets echt kleiner als x2 sein soll.

Da ein solcher Differenzenquotient zu einer gegebenen Funktion f(x) für alle x1 und x2, auf denen f(x) definiert ist, definiert ist, gilt das auch für solche x2, die nur "ein bisschen" grösser als x1 sind. Nun lassen wir das "ein bisschen" immer kleiner werden, das "ein bisschen" muss aber immer echt grösser als 0 sein. In der Mathematik bezeichnet man dieses "ein bisschen" als epsilon oder im Zusammenhang mit der Differentialrechnung als h.

Wenn nun also x2 nur ein bisschen grösser als x1 ist, so sind sie also fast gleich. Und wenn sie ganz gleich wären, was aber nicht geht, weil das "ein bisschen" ja stets echt grösser als 0 sein muss, dann spricht man vom Differentialquotienten. Der Trick ist nun der, dass man zufrieden ist, wenn der Differentialquotient für alle genügend kleinen "ein bisschen" genügend ähnlich ist.
Das ist dann garantiert, wenn die Funktion f(x) "stetig differenzierbar" ist.

Hier kommt also der "für alle"-Operator zum Zuge und vielleicht erinnerst Du Dich, dass ich schon öfter geschrieben habe, dass es letztlich der "für alle"-Operator ist, der überabzählbar unendliche Mengen definiert, während es ja die Peano-Axiome sind, die abzählbar unendliche Mengen definieren.

Oder noch anders formuliert: die Peano-Axiome liefern die natürlichen Zahlen und der für alle-Operator liefert in diesem Zusammenhang das Kontinuum. Das Kontinuum ist eine Menge, in der alle Cauchy-Folgen konvergieren, d.h. der Grenzwert liegt ebenfalls in dieser Menge.


Freundliche Grüsse, Ralf
Benutzeravatar
ralfkannenberg
 
Beiträge: 4885
Registriert: Montag 24. Oktober 2011, 20:25

Re: Wissenswertes über den Differenzenquotienten

Beitragvon Spacerat » Mittwoch 13. Mai 2015, 16:27

ralfkannenberg hat geschrieben:Jetzt lasse ich Dich mal raten: ich konnte bei f1 bis f4 auf den ersten Blick sehen, dass Deine Lösung richtig ist. Wieso ?
Ja, da muss ich raten. Hängt das etwa mit diesem hier zusammen?
Aber wo ist da ein Rechenfehler?
"Man übersah bei dieser geradezu kindisch anmutenden wissenschaftspolitischen Wichtigtuerei, dass nicht jeder exzellenter sein kann als alle anderen." (Dr. Prof. Matthias Binswanger)
Benutzeravatar
Spacerat
 
Beiträge: 607
Registriert: Donnerstag 9. April 2015, 02:29

Re: Wissenswertes über den Differenzenquotienten

Beitragvon ralfkannenberg » Mittwoch 13. Mai 2015, 16:32

Spacerat hat geschrieben:
ralfkannenberg hat geschrieben:Jetzt lasse ich Dich mal raten: ich konnte bei f1 bis f4 auf den ersten Blick sehen, dass Deine Lösung richtig ist. Wieso ?
Ja, da muss ich raten. Hängt das etwa mit diesem hier zusammen?
Aber wo ist da ein Rechenfehler?

Hallo Spacerat,

Du bist schon nahe dran. Und nein, es gibt keinen Rechenfehler.

Ich lasse Dich jetzt noch einmal raten, nicht, um blödsinnige Ratespielchen durchzuführen, sondern weil es meiner Erfahrung nach besser ist, wenn Du selber darauf kommst.

Tipp: die Antwort ist vermutlich viel einfacher als Du denkst, und ich stelle die Frage eben deswegen, um einen Bezug zur Differentialrechnung herzustellen, auch wenn diese hier gar nicht primär das Thema ist.


Freundliche Grüsse, Ralf
Benutzeravatar
ralfkannenberg
 
Beiträge: 4885
Registriert: Montag 24. Oktober 2011, 20:25

Re: Wissenswertes über den Differenzenquotienten

Beitragvon Spacerat » Mittwoch 13. Mai 2015, 16:46

ralfkannenberg hat geschrieben:Und nein, es gibt keinen Rechenfehler.
Aber du hattest einen erwähnt. Irrtum deinerseits?

ralfkannenberg hat geschrieben:Ich lasse Dich jetzt noch einmal raten, nicht, um blödsinnige Ratespielchen durchzuführen, sondern weil es meiner Erfahrung nach besser ist, wenn Du selber darauf kommst.
Kann sein, dass ich da gar nicht drauf komme, weil mir Differentialrechnung nicht nur nicht geläufig ist, sie ist mir weitläufig unbekannt.
"Man übersah bei dieser geradezu kindisch anmutenden wissenschaftspolitischen Wichtigtuerei, dass nicht jeder exzellenter sein kann als alle anderen." (Dr. Prof. Matthias Binswanger)
Benutzeravatar
Spacerat
 
Beiträge: 607
Registriert: Donnerstag 9. April 2015, 02:29

Nächste

Zurück zu Small Talk

Wer ist online?

Mitglieder in diesem Forum: 0 Mitglieder und 1 Gast