Wissenswertes über den Differenzenquotienten

[Spacerat]

Hallo Manuel
Hör auf so einen Quark zu erzählen. Ich bin nicht gescheitert. Eure Argumente ziehen bei mir nicht und meine bei euch nicht, so sieht das aus. Das macht keinen von uns blöder, selbst wenn auch nur einer von uns dies anders sehen mag. Immerhin erkenne ich hin und wieder mal Argumente an, wenn sie schlagend sind, im Gegensatz zu manch einem hier. Wer hat hier wohl einen Vorteil?

[Karl]

Ist doch symetrisch.

Oder wolltest erst was anderes haben?

Df _(x2,x1) := ( f(x₁) - f(x₂) ) / ( x₁ - x₂ )

Nun, es gilt zu zeigen, ob
D_f(x)(x₁,x₂)=D_f(x)(x₂,x₁)
eine wahre Aussage ist, oder nicht.

[Dgoe]

Ich glaube, da hast du mich missverstanden

Hallo M.S,

das hatte ich tatsächlich. War ich von Dir gar nicht gewohnt, dachte ich als erstes, um dann trotzdem sauer geworden zu sein.

Ich hab das etwas editiert oben und entschuldige mich hier nochmal hiermit.

Gruß,
Dgoe

[Dgoe]

Ist doch symetrisch.

Oder wolltest erst was anderes haben?

Df _(x2,x1) := ( f(x₁) - f(x₂) ) / ( x₁ - x₂ )

Nun, es gilt zu zeigen, ob
D_f(x)(x₁,x₂)=D_f(x)(x₂,x₁)
eine wahre Aussage ist, oder nicht.

Hallo Karl,

auf die Symmetriefrage habe ich bisher nicht geantwortet, weil ich nicht wusste wie man dazu vorgeht. Ich wollte mal zuschauen, was passiert...

Gruß,
Dgoe

[M.S]

Ich glaube, da hast du mich missverstanden

Hallo M.S,

das hatte ich tatsächlich. War ich von Dir gar nicht gewohnt, dachte ich als erstes, um dann trotzdem sauer geworden zu sein.

Ich hab das etwas editiert oben und entschuldige mich hier nochmal hiermit.

Gruß,
Dgoe

Kein Problem. Du brauchst dich deshalb auch nicht zu entschuldigen. War halt einfach ein Missverständnis.

[Spacerat]

Ist doch symetrisch.

Oder wolltest erst was anderes haben?

Df _(x2,x1) := ( f(x₁) - f(x₂) ) / ( x₁ - x₂ )

Nun, es gilt zu zeigen, ob
D_f(x)(x₁,x₂)=D_f(x)(x₂,x₁)
eine wahre Aussage ist, oder nicht.

Also beim 1. hatten wir das:
D_f(x)(x₁,x₂)=(f(x₂)-f(x₁))/(x₂-x₁)
f3(x_1)=0; f3(x_2)=1 => (1-0)/(1-0)=1
f4(x_1)=0; f4(x_2)=2 => (2-0)/(1-0)=2

Und beim 2. das:

D_f(x)(x₂,x₁)=(f(x₁)-f(x₂))/(x₁-x₂)
f3(x_1)=0; f3(x_2)=1 => (0-1)/(0-1)=1
f4(x_1)=0; f4(x_2)=2 => (0-2)/(0-1)=2

Die Ergebnisse sind die selben, also sollte die Aussage wahr sein.

[Karl]

Ist doch symetrisch.

Oder wolltest erst was anderes haben?

Df _(x2,x1) := ( f(x₁) - f(x₂) ) / ( x₁ - x₂ )

Nun, es gilt zu zeigen, ob
D_f(x)(x₁,x₂)=D_f(x)(x₂,x₁)
eine wahre Aussage ist, oder nicht.

Also beim 1. hatten wir das:
D_f(x)(x₁,x₂)=(f(x₂)-f(x₁))/(x₂-x₁)
f3(x_1)=0; f3(x_2)=1 => (1-0)/(1-0)=1
f4(x_1)=0; f4(x_2)=2 => (2-0)/(1-0)=2

Und beim 2. das:

D_f(x)(x₂,x₁)=(f(x₁)-f(x₂))/(x₁-x₂)
f3(x_1)=0; f3(x_2)=1 => (0-1)/(0-1)=1
f4(x_1)=0; f4(x_2)=2 => (0-2)/(0-1)=2

Die Ergebnisse sind die selben, also sollte die Aussage wahr sein.

Du hast anhand der Beispiele gezeigt, dass die Aussage wahr ist. Jetzt fehlt noch die allgemeine Rechnung als Beweis.

Ist

D_f(x)(x₁,x₂)=(f(x₂)-f(x₁))/(x₂-x₁)=(f(x₁)-f(x₂))/(x₁-x₂)=D_f(x)(x₂,x₁)

eine wahre Aussage?

[Dgoe]

@Karl :
Du meinst für egal welche x_1 und x_2, nicht nur 0 und 1, nicht wahr?

Gruß,
Dgoe

[Spacerat]

Hallo Karl

Du hast anhand der Beispiele gezeigt, dass die Aussage wahr ist. Jetzt fehlt noch die allgemeine Rechnung als Beweis.

Ist

D_f(x)(x₁,x₂)=(f(x₂)-f(x₁))/(x₂-x₁)=(f(x₁)-f(x₂))/(x₁-x₂)=D_f(x)(x₂,x₁)

eine wahre Aussage?

Kann nicht folgen. Was denn nun noch für eine Rechnung? Da steht bereits eine (oder mehrere) Formel(n), in welche man Zahlen einsetzen kann, was ich oben doch schon getan habe.

@Dgoe:
Das mit verschiedenen Werten für x_1 und x_2 war doch schon geklärt. Das funktioiert, solange deren Differenz nicht 0 ist (wegen division by zero).

[Karl]

@Karl :
Du meinst für egal welche x_1 und x_2, nicht nur 0 und 1, nicht wahr?

Gruß,
Dgoe

Richtig. Ich meine für beliebige reelle Zahlen x₁ und x₂, wobei natürlich nachwievor x₁≠x₂ sein muss, da für x₁=x₂ der Differenzenquotient nicht definiert ist (0/0).