Wissenswertes über den Differenzenquotienten

[Karl]

Hallo Karl

Du hast anhand der Beispiele gezeigt, dass die Aussage wahr ist. Jetzt fehlt noch die allgemeine Rechnung als Beweis.

Ist

D_f(x)(x₁,x₂)=(f(x₂)-f(x₁))/(x₂-x₁)=(f(x₁)-f(x₂))/(x₁-x₂)=D_f(x)(x₂,x₁)

eine wahre Aussage?

Kann nicht folgen. Was denn nun noch für eine Rechnung? Da steht bereits eine (oder mehrere) Formel(n), in welche man Zahlen einsetzen kann, was ich oben doch schon getan habe.

Um zu beweisen, dass D_f(x₁,x₂)=D_f(x₂,x₁) muss gezeigt werden, dass (f(x₂)-f(x₁))/(x₂-x₁)=(f(x₁)-f(x₂))/(x₁-x₂) ist.

[Spacerat]

Hallo Karl

Um zu beweisen, dass D_f(x₁,x₂)=D_f(x₂,x₁) muss gezeigt werden, dass (f(x₂)-f(x₁))/(x₂-x₁)=(f(x₁)-f(x₂))/(x₁-x₂) ist.

Also für x_1=2 und x_2=3 habe ich das für f3(x) und f4(x) gemacht und das Ergebnis war wieder 1 und 2 in beiden Richtungen. Aber das ist hier wohl nicht gefordert, denk ich mal.

[Karl]

Hallo Karl

Um zu beweisen, dass D_f(x₁,x₂)=D_f(x₂,x₁) muss gezeigt werden, dass (f(x₂)-f(x₁))/(x₂-x₁)=(f(x₁)-f(x₂))/(x₁-x₂) ist.

Also für x_1=2 und x_2=3 habe ich das für f3(x) und f4(x) gemacht und das Ergebnis war wieder 1 und 2 in beiden Richtungen. Aber das ist hier wohl nicht gefordert, denk ich mal.

Durch Einsetzen von Zahlenwerten kann man eine Idee erhalten, was allgemein herauskommen muss. Allerdings muss diese "Idee" dann noch allgemein bewiesen werden. Eine kleine Hilfe:

(f(x₂)-f(x₁))/(x₂-x₁)=(f(x₁)-f(x₂))/(x₁-x₂)

Was passiert, wenn ich beim Bruch auf der rechten Seite der Gleichung sowohl den Zähler als auch den Nenner mit -1 multipliziere? Also was ergibt die Rechnung

1 (f(x₁)-f(x₂))/(x₁-x₂)=(-1/-1)(f(x₁)-f(x₂))/(x₁-x₂)=(-1(f(x₁)-f(x₂)))/(-1(x₁-x₂))

[Spacerat]

Hallo Karl

Durch Einsetzen von Zahlenwerten kann man eine Idee erhalten, was allgemein herauskommen muss. Allerdings muss diese "Idee" dann noch allgemein bewiesen werden. Eine kleine Hilfe:

(f(x₂)-f(x₁))/(x₂-x₁)=(f(x₁)-f(x₂))/(x₁-x₂)

Was passiert, wenn ich beim Bruch auf der rechten Seite der Gleichung sowohl den Zähler als auch den Nenner mit -1 multipliziere? Also was ergibt die Rechnung

1 (f(x₁)-f(x₂))/(x₁-x₂)=(-1/-1)(f(x₁)-f(x₂))/(x₁-x₂)=(-1(f(x₁)-f(x₂)))/(-1(x₁-x₂))

Och menno... Das ist doch fast der selbe Kappes (hätt' ich fast geschrieben) wie im anderen Thread. Dann steht auf beiden Seiten das Gleiche, womit die Symetrie eigentlich schon bewiesen wäre.

[Dgoe]

Ahaa,

damit dreht man die Vorzeichen um und dann die Reihenfolge per Kommutativgesetz und schon hat man die Symmetrie, bzw. die andere Seite.

Gruß,
Dgoe

P.S.:
Ich kann das erst später noch niederschreiben, einsetzen...

[Dgoe]

Hänge iwie hinterher...

[Karl]

Hallo Karl

Durch Einsetzen von Zahlenwerten kann man eine Idee erhalten, was allgemein herauskommen muss. Allerdings muss diese "Idee" dann noch allgemein bewiesen werden. Eine kleine Hilfe:

(f(x₂)-f(x₁))/(x₂-x₁)=(f(x₁)-f(x₂))/(x₁-x₂)

Was passiert, wenn ich beim Bruch auf der rechten Seite der Gleichung sowohl den Zähler als auch den Nenner mit -1 multipliziere? Also was ergibt die Rechnung

1 (f(x₁)-f(x₂))/(x₁-x₂)=(-1/-1)(f(x₁)-f(x₂))/(x₁-x₂)=(-1(f(x₁)-f(x₂)))/(-1(x₁-x₂))

Och menno... Das ist doch fast der selbe Kappes (hätt' ich fast geschrieben) wie im anderen Thread. Dann steht auf beiden Seiten das Gleiche, womit die Symetrie eigentlich schon bewiesen wäre.

Damit ist die Symmetrie bewiesen

[Karl]

An dieser Stelle ist eine Zusammenfassung angebracht, da sich die Ergebnisse ja über zwei Threads verteilen.

Der Differenzenquotient

D_f(x₁,x₂)=(f(x₂)-f(x₁))/(x₂-x₁)

ist 1. homogen:

D_{(K f)}(x₁,x₂)=K D_f(x₁,x₂)

ist 2. additiv:

D_(f+g)(x₁,x₂)=D_f(x₁,x₂)+D_g(x₁,x₂)

ist 3. symmetrisch bezüglich der Argumente x₁ und x₂:

D_f(x₁,x₂)=D_f(x₂,x₁)

Übung:

Der Differenzenquotient ist additiv und homogen, also linear. Die beiden Regeln 1 und 2 oben lassen sich zur "Linearitätsbedingung" zusammenfassen:

D_{(K f+L g)}(x₁,x₂)=K D_f(x₁,x₂)+L D_g(x₁,x₂)

Wie sieht die Rechnung dazu aus? (Ohne Einsetzen der Definition, nur mit den Regeln 1 und 2 von oben)

[Dgoe]

Wenn:
D_{(K f)}(x₁,x₂)=K D_f(x₁,x₂)

Dann auch:
D_{(L g)}(x₁,x₂)=L D_g(x₁,x₂)

Wenn:
D_(f+g)(x₁,x₂)=D_f(x₁,x₂)+D_g(x₁,x₂)

Dann auch:
D_{(K f+g)}(x₁,x₂)=K D_f(x₁,x₂)+D_g(x₁,x₂)

oder
D_{(f+L g)}(x₁,x₂)=D_f(x₁,x₂)+L D_g(x₁,x₂)

oder
D_{(K f+L g)}(x₁,x₂)=K D_f(x₁,x₂)+L D_g(x₁,x₂)



Ich hab nur nix gerechnet. *räusper*


EDIT
sieht aber gut aus.

[Karl]

Hallo Dgoe,

du hast völlig korrekt gerechnet. Und: sehr wohl gerechnet, denn die Regeln 1 und 2 wurden ja als Rechnung allgemein bewiesen, daher können sie, ohne dass sie jedesmal neu gerechnet werden müssen, verwendet werden. Das ist der Sinn solcher Regeln (sie werden in der Mathematik "Sätze" genannt).

Kompakt geschrieben lautet die Rechnung:

h(x)=L f(x)+K g(x)

D_h=D_{(K f+L g)}

Anwendung Regel 2 (Additivität):

D_h=D_{(K f)}+D_{(L g)}

Anwendung Regel 1 (Homogenität):

D_h=K D_f+L D_g