Wissenswertes über den Differenzenquotienten

[ralfkannenberg]

Und nein, es gibt keinen Rechenfehler.

Aber du hattest einen erwähnt. Irrtum deinerseits?

Hallo Spacerat,

nein, ich hatte nur geschrieben, dass Deine Lösung so gut war, dass selbst wenn Dir einer unterlaufen wäre, Deine Antwort die Bestnote gerechtfertigt hätte.

Ich lasse Dich jetzt noch einmal raten, nicht, um blödsinnige Ratespielchen durchzuführen, sondern weil es meiner Erfahrung nach besser ist, wenn Du selber darauf kommst.

Kann sein, dass ich da gar nicht drauf komme, weil mir Differentialrechnung nicht nur nicht geläufig ist, sie ist mir weitläufig unbekannt.

ok, vielleicht hat jemand anderes eine Idee; sonst beantworte ich das zu einem etwas späteren Zeitpunkt. Zwar beeinflusse ich diesen Thread, aber ich will ihn (und auch den anderen) nicht zu sehr beeinflussen, sondern Euch zu Zuge kommen lassen. Das Thema entwickelt sich dann eben so, wie es sich entwickelt - wir sind hier ja nicht im Seminarraum.


Freundliche Grüsse, Ralf

[ralfkannenberg]

Sei f(x) eine geeignet definierte Funktion (was auch immer "geeignet" heissen soll). Der Differenzenquotient von f(x), x₁ und x₂ ist dann wie folgt definiert:

D_f (x₁,x₂) := ( f(x₂) - f(x₁) ) / ( x₂ - x₁ ).

Wir wollen diesen Differenzenquotienten nun ein bisschen kennenlernen, und zwar für 5 ganz einfache Funktionen. Für den Beginn wählen wir x₁ = 0 und x₂ = 1.

Seien:
- f1(x):=0 die Nullfunktion
- f2(x):=1 die kontante Funktion (die wir der Bequemlichkeit halber zu 1 normieren)
- f3(x):=x die lineare Funktion
- f4(x):=2x ebenfalls eine lineare Funktion
- f5(x):=x² die quadratische Funktion

Übung: was sind die Differenzenquotienten dieser 5 Funktionen, jeweils für x₁ = 0 und x₂ = 1 ?

0,0,1,2

Hallo zusammen,

schreiben wir doch einmal die Funktionsgleichungen der Funktionen f1-f4 auf:

- f1(x) = 0*x + 0
- f2(x) = 0*x + 1
- f3(x) = 1*x
- f4(x) = 2*x

Fällt Euch etwas auf ? Und: ist das ein Zufall ?


Freundliche Grüsse, Ralf

[ralfkannenberg]

Nun also definieren wir den Differenzenquotienten:

Sei f(x) eine geeignet definierte Funktion (was auch immer "geeignet" heissen soll). Der Differenzenquotient von f(x), x₁ und x₂ ist dann wie folgt definiert:

D_f (x₁,x₂) := ( f(x₂) - f(x₁) ) / ( x₂ - x₁ ).

Hallo zusammen,

hier noch eine kleine Frage betreffend der Symmetrie, also wenn man die beiden Argumente (x₁ und x₂) vertauscht:

Was ist D_f (x₂,x₁) ?


Freundliche Grüsse, Ralf

[Dgoe]

- f1(x) = 0*x + 0
- f2(x) = 0*x + 1
- f3(x) = 1*x
- f4(x) = 2*x

Fällt Euch etwas auf ?

Nein,

ausser dass bei f3 und f4 noch eine + 0 dran könnte.

Gruß,
Dgoe

[ralfkannenberg]

ok, nochmal die von Spacerat genannte Lösung der jeweiligen Differenzenquotienten:

0,0,1,2

Und hier die Funktionen f1 bis f4:

- f1(x) = 0*x + 0
- f2(x) = 0*x + 1
- f3(x) = 1*x
- f4(x) = 2*x

Was ist der Zusammenhang ? Und woher kommt der ?


Freundliche Grüsse, Ralf

[Dgoe]

Die Lösung der jeweiligen Differenzenquotienten, bei der Wahl von x₁ = 0 und x₂ = 1 sind gleichzeitig die ... ähm, Faktoren, Vielfache, Skalare? von x.

Gruß,
Dgoe

[ralfkannenberg]

Die Lösung der jeweiligen Differenzenquotienten, bei der Wahl von x₁ = 0 und x₂ = 1 sind gleichzeitig die ... ähm, Faktoren, Vielfache, Skalare? von x.

Hallo Dgoe,

genau, wenn man mal die Skalare ersatzlos streicht. Die sind zwar nicht unedingt falsch, gehören hier aber nicht hin. Ich würde von Vielfachen oder auch von Koeffizienten sprechen.

Ist das ein Zufall ? - Natürlich nicht, und das Phänomen tritt bei linearen und konstanten Funktionen (und ihrer Summe) auf.

Wieso ist das so ?

Noch ein Tipp: das gilt für alle x₁ und x₂ (solange sie verschieden sind), nicht nur für x₁ = 0 und x₂ = 1.

Und noch ein geometrischer Tipp, mit dem man sich dieser Aufgabenstellung ebenfalls nähern kann: Funktionen der Form a*x+b sind ja Geraden. Wie sieht die Tangente an einen Punkt einer Geraden aus ? - Wir wollen an dieser Stelle im Hinterkopf behalten, dass die Differentialrechnung das Tangentenproblem der Antike löst.


Freundliche Grüsse, Ralf

[Dgoe]

Wie sieht die Tangente an einen Punkt einer Geraden aus ?

Wie die Gerade!


Tangente war ein gutes Stichwort, lese gerade Tangentengleichung...

Gruß,
Dgoe

[Spacerat]

Eine Tangente an einer Geraden? Eine Tangente gibt es doch nur an Kurven, z.B. an einem Kreis jeweils 90° zum Radius.

[M.S]

Eine Tangente an einer Geraden? Eine Tangente gibt es doch nur an Kurven, z.B. an einem Kreis jeweils 90° zum Radius.

Könntest du einmal, wirklich nur einmal, nachdenken bzw. Dich informieren bevor du deine Ergüsse von dir gibst?