Differenzenquotienten: einfache Anwendungen

Hier könnt Ihr euch einfach so unterhalten

Moderatoren: Guhrfisch, nocheinPoet

Re: Differenzenquotienten: einfache Anwendungen

Beitragvon Spacerat » Mittwoch 20. Mai 2015, 13:35

Karl hat geschrieben:Sehr gut!
Weniger... wenn man mit der Nase drauf gestoßen werden muss. Ist aber 'ne andere Geschichte. Kann man nur drüber lachen und Biere ausgeben. :D
"Man übersah bei dieser geradezu kindisch anmutenden wissenschaftspolitischen Wichtigtuerei, dass nicht jeder exzellenter sein kann als alle anderen." (Dr. Prof. Matthias Binswanger)
Benutzeravatar
Spacerat
 
Beiträge: 607
Registriert: Donnerstag 9. April 2015, 02:29

Re: Differenzenquotienten: einfache Anwendungen

Beitragvon Karl » Mittwoch 20. Mai 2015, 14:56

Nun sehen wir uns einen speziellen Fall an.

Übung:
Wir habe die Funktion f(x)=1. Wie lautet der Differenzenquotient Df(x1,x2)?

Erkläre und interpretiere das Ergebnis.

Wie lässt sich das Ergebnis Df für eine Funktion g(x)=a für ein beliebiges reelles a erweitern? (Hinweis: verwende Regel 1, der Differenzenquotient ist homogen!)
Benutzeravatar
Karl
 
Beiträge: 186
Registriert: Dienstag 28. Juni 2011, 15:29

Re: Differenzenquotienten: einfache Anwendungen

Beitragvon Spacerat » Mittwoch 20. Mai 2015, 15:24

Karl hat geschrieben:Nun sehen wir uns einen speziellen Fall an.

Übung:
Wir habe die Funktion f(x)=1. Wie lautet der Differenzenquotient Df(x1,x2)?

Erkläre und interpretiere das Ergebnis.

Wie lässt sich das Ergebnis Df für eine Funktion g(x)=a für ein beliebiges reelles a erweitern? (Hinweis: verwende Regel 1, der Differenzenquotient ist homogen!)
Die Frage hatten wir schon. ;)

viewtopic.php?f=26&t=1149&start=0#p30598

f(x)=1 ist eine Konstantfunktion (f(x)=n => für jedes x wird n zurückgegeben) und der Differenzquotient ist immer 0. Bleibt evtl. noch zu erwähnen, das K*0 dann stets auch 0 ist.

BTW.: @Ralf:
Die Null-Funktion (f(x)=0) ist doch per Definition auch eine Konstantfunktion? Ich persönlich kenne den Begriff Null-Funktion eigentlich nur im Bereich der Programmierung. Dort ist es eine Funktion ohne Argumente mit einem Rückgabewert 0 und ist eigentlich nur dazu da, um Bibliotheken zu laden und zu initialisieren (vergleichbar mit "static {}" in Java).
"Man übersah bei dieser geradezu kindisch anmutenden wissenschaftspolitischen Wichtigtuerei, dass nicht jeder exzellenter sein kann als alle anderen." (Dr. Prof. Matthias Binswanger)
Benutzeravatar
Spacerat
 
Beiträge: 607
Registriert: Donnerstag 9. April 2015, 02:29

Re: Differenzenquotienten: einfache Anwendungen

Beitragvon Dgoe » Mittwoch 20. Mai 2015, 16:28

Die Nullfunktion ist ein Spezialfall der konstanten Funktion.
:geek:
Alle sagten immer das geht nicht, dann kam jemand, der das nicht wusste, und hat es einfach gemacht!
Benutzeravatar
Dgoe
 
Beiträge: 1204
Registriert: Freitag 31. Mai 2013, 15:41

Re: Differenzenquotienten: einfache Anwendungen

Beitragvon Dgoe » Mittwoch 20. Mai 2015, 19:02

Karl hat geschrieben:
Wie lässt sich das Ergebnis Df für eine Funktion g(x)=a für ein beliebiges reelles a erweitern?

Hallo Karl,

wieso steht da g(x) und nicht f(x)? Weil eh egal oder vielleicht doch nicht?

Bin später wieder da. Ich gehe das nochmal von Anfang an durch nachher.

Gruß,
Dgoe
Alle sagten immer das geht nicht, dann kam jemand, der das nicht wusste, und hat es einfach gemacht!
Benutzeravatar
Dgoe
 
Beiträge: 1204
Registriert: Freitag 31. Mai 2013, 15:41

Re: Differenzenquotienten: einfache Anwendungen

Beitragvon Dgoe » Mittwoch 20. Mai 2015, 19:07

Spacerat hat geschrieben:
Karl hat geschrieben:Sehr gut!
Weniger... wenn man mit der Nase drauf gestoßen werden muss. Ist aber 'ne andere Geschichte. Kann man nur drüber lachen und Biere ausgeben. :D

Das ist schon okay. Sonst artet das in einem Saufgelage aus...
;)
Alle sagten immer das geht nicht, dann kam jemand, der das nicht wusste, und hat es einfach gemacht!
Benutzeravatar
Dgoe
 
Beiträge: 1204
Registriert: Freitag 31. Mai 2013, 15:41

Re: Differenzenquotienten: einfache Anwendungen

Beitragvon Karl » Donnerstag 21. Mai 2015, 11:08

@Dgoe, @Spacerat,

das Ziel ist zu zeigen, wie man vom Spezialfall zum allgemeine Fall kommt. Und das unter Benutzung von zuvor bewiesenen Regeln (Sätze).

Konkret noch mal die Rechnung:

Gegeben ist die Funktion f(x)=1.

Deren Differenzenquotienten rechnen wir aus:

Df(x1,x2)=(f(x2)-f(x1))/(x2-x1)=(1-1)/(x2-x1)=0

D.h., für die konstante Funktion f(x)=1 ist der Differenzenquotient 0 und unabhängig von x1 und x2.

Die Verallgemeinerung zu g(x)=a erfolgt mit der Regel 1 (Homogenität).

Dazu schreiben wir g(x) um:

g(x)=a=a 1=a f(x)

Damit gilt:

Dg=Da f=a Df=a 0=0

Somit gilt allgemein, dass der Differenzenquotient für jede konstante Funktion g(x)=a gleich 0 ist. im Speziellen auch für die Nullfunktion g(x)=0. Das wird im nächsten Beispiel noch einmal wichtig.
Benutzeravatar
Karl
 
Beiträge: 186
Registriert: Dienstag 28. Juni 2011, 15:29

Re: Differenzenquotienten: einfache Anwendungen

Beitragvon Dgoe » Donnerstag 21. Mai 2015, 11:22

Danke Karl,

das sind zwar vielleicht keine schweren Rechenoperationen, aber wie man das notiert oder aufzeigt, ist auch schon lehrreich. Super übersichtlich jetzt.

Gruß,
Dgoe
Alle sagten immer das geht nicht, dann kam jemand, der das nicht wusste, und hat es einfach gemacht!
Benutzeravatar
Dgoe
 
Beiträge: 1204
Registriert: Freitag 31. Mai 2013, 15:41

Re: Differenzenquotienten: einfache Anwendungen

Beitragvon Karl » Donnerstag 21. Mai 2015, 12:40

Kommen wir zur nächsten Übung:

Gegeben sei die Funktion f(x)=x

Berechne den Differenzenquotienten.

Erkläre und interpretiere das Ergebnis

Wie lässt sich das Ergebnis für g(x)=k x (k sei eine beliebige reelle Zahl) verallgemeinern? Verwende dazu wieder Regel 1 (Homogenität).
Benutzeravatar
Karl
 
Beiträge: 186
Registriert: Dienstag 28. Juni 2011, 15:29

Re: Differenzenquotienten: einfache Anwendungen

Beitragvon Dgoe » Donnerstag 21. Mai 2015, 13:38

Momentchen noch.
Alle sagten immer das geht nicht, dann kam jemand, der das nicht wusste, und hat es einfach gemacht!
Benutzeravatar
Dgoe
 
Beiträge: 1204
Registriert: Freitag 31. Mai 2013, 15:41

VorherigeNächste

Zurück zu Small Talk

Wer ist online?

Mitglieder in diesem Forum: 0 Mitglieder und 13 Gäste