Differenzenquotienten: einfache Anwendungen

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Re: Differenzenquotienten: einfache Anwendungen

Beitragvon Spacerat » Dienstag 19. Mai 2015, 05:39

Dgoe hat geschrieben:Ich weiß nicht genau, was du da gemacht hast
Auf jeden fall voll daneben, Ralf verärgert.
Hey, wer wird denn gleich...
Das mit der Intuition hat gestimmt. Ich habe in der Gleichung nur schlicht das nachvollzogen, worauf er mich hingewiesen hat, ohne daran zu denken, dass er (bzw. du) das irgendwann einmal auch hergeleitet hat. Du hattest mich sogar mal nach einer Idee gefragt, aber auf die Lösung wäre ich auch nicht gekommen. Nun beschwert man sich hier, dass ich rate? Ist das hier ein Kindergarten?

Naja, was solls. Ich komm schon noch dahinter, wenn nicht einer schon vor mir dahinter kommt. Dieses Forum hat aber leider keine Hauptpriorität.
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Re: Differenzenquotienten: einfache Anwendungen

Beitragvon Karl » Dienstag 19. Mai 2015, 09:07

ralfkannenberg hat geschrieben:
Spacerat hat geschrieben:D(f+g)(x)?

Hallo Spacerat,

wir haben ja gesehen, dass gilt: DK*f(x) = K * Df(x)


Gilt für D(f+g)(x) vielleicht etwas ähnliches ?


Freundliche Grüsse, Ralf

Vielleicht ist ein kleiner Tipp hilfreich:

Setze man h(x)=(f+g)(x)=f(x)+g(x), beginnt die Rechnung mit Dh(x)(x1,x2) und schaue mal, wo das hinführt. Viel Spass!
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Re: Differenzenquotienten: einfache Anwendungen

Beitragvon Dgoe » Dienstag 19. Mai 2015, 13:16

@Spacerat:
Wie es aussieht, war es vielmehr ich selber, der Ralf verärgert hat (im anderen Forum). Sorry.

@Karl:
Das möchte ich gerne nachvollziehen, ich brauche dazu aber noch einen (ruhigen) Moment. Danke für den Tipp.

Gruß,
Dgoe
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Re: Differenzenquotienten: einfache Anwendungen

Beitragvon Spacerat » Mittwoch 20. Mai 2015, 08:00

Karl hat geschrieben:Setze man h(x)=(f+g)(x)=f(x)+g(x), beginnt die Rechnung mit Dh(x)(x1,x2) und schaue mal, wo das hinführt. Viel Spass!
So... nu hatte ich ein wenig Muße, mich dem zu widmen.
Nun verstehe ich von vorne herein aber eines (etwas Grundlegendes) nicht.
Zu erst schreibt man:
Df(x1,X2)=...

und dann z.B.
DK*f(x)(X1,X2)=...

Das einzige was mich nun stört, ist nun das (x) in den Indices.

Für Dh(X1,X2) komme ich auf etwas ganz abenteuerliches...

Dh(X1,X2)=(f(X2)-f(X1)+g(X2)-g(X1))/(X2-X1)

Jede Wette, das ist der falsche Ansatz.
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Re: Differenzenquotienten: einfache Anwendungen

Beitragvon Karl » Mittwoch 20. Mai 2015, 10:05

Spacerat hat geschrieben:
Karl hat geschrieben:Setze man h(x)=(f+g)(x)=f(x)+g(x), beginnt die Rechnung mit Dh(x)(x1,x2) und schaue mal, wo das hinführt. Viel Spass!
So... nu hatte ich ein wenig Muße, mich dem zu widmen.
Nun verstehe ich von vorne herein aber eines (etwas Grundlegendes) nicht.
Zu erst schreibt man:
Df(x1,x2)=...

und dann z.B.
DK*f(x)(x1,x2)=...

Das einzige was mich nun stört, ist nun das (x) in den Indices.

Wenn man weiss, dass mit f natürlich f(x) gemeint ist, kann man das (x) im Index vom D auch weglassen. Das ist tatsächlich ein Frage der persönlichen Präferenz.

Kurz gesagt Df(x1,x2) und Df(x)(x1,x2) ist äquivalent.

Spacerat hat geschrieben:Für Dh(x1,x2) komme ich auf etwas ganz abenteuerliches...

Dh(x1,x2)=(f(x2)-f(x1)+g(x2)-g(x1))/(x2-x1)

Jede Wette, das ist der falsche Ansatz.

Das ist im Gegenteil der richtige Ansatz. Wenn du nun zwei Brüche daraus machst, bist du schon so gut wie am Ziel.
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Re: Differenzenquotienten: einfache Anwendungen

Beitragvon Spacerat » Mittwoch 20. Mai 2015, 10:18

Karl hat geschrieben:
Spacerat hat geschrieben:
Karl hat geschrieben:Setze man h(x)=(f+g)(x)=f(x)+g(x), beginnt die Rechnung mit Dh(x)(x1,x2) und schaue mal, wo das hinführt. Viel Spass!
So... nu hatte ich ein wenig Muße, mich dem zu widmen.
Nun verstehe ich von vorne herein aber eines (etwas Grundlegendes) nicht.
Zu erst schreibt man:
Df(x1,x2)=...

und dann z.B.
DK*f(x)(x1,x2)=...

Das einzige was mich nun stört, ist nun das (x) in den Indices.

Wenn man weiss, dass mit f natürlich f(x) gemeint ist, kann man das (x) im Index vom D auch weglassen. Das ist tatsächlich ein Frage der persönlichen Präferenz.

Kurz gesagt Df(x1,x2) und Df(x)(x1,x2) ist äquivalent.
Ok... soweit so gut. Ich fand es nur verwirrend.

Karl hat geschrieben:
Spacerat hat geschrieben:Für Dh(x1,x2) komme ich auf etwas ganz abenteuerliches...

Dh(x1,x2)=(f(x2)-f(x1)+g(x2)-g(x1))/(x2-x1)

Jede Wette, das ist der falsche Ansatz.

Das ist im Gegenteil der richtige Ansatz. Wenn du nun zwei Brüche daraus machst, bist du schon so gut wie am Ziel.

Hmm... es waren mal zwei Brüche, aber die habe ich zusammengefasst, weil die Nenner halt passten. Nun Gut...
Dh(x1,x2)=(f(x2)-f(x1))/(x2-x1) + (g(x2)-g(x1))/(x2-x1)

Und nun? Dgoe? Ne Idee?

Edit: Also wenn g(x) und f(x) für die selben x definiert sind, heißt das ja nicht, dass sie für identische x auch die selben Werte liefern. Das heisst, man kann nun gar nicht fragen, was f(x) in g(x) ist (o.ä.), man müsste nun die Funktionen selbst kennen.
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Re: Differenzenquotienten: einfache Anwendungen

Beitragvon Karl » Mittwoch 20. Mai 2015, 12:13

Spacerat hat geschrieben:Hmm... es waren mal zwei Brüche, aber die habe ich zusammengefasst, weil die Nenner halt passten. Nun Gut...
Dh(x1,x2)=(f(x2)-f(x1))/(x2-x1) + (g(x2)-g(x1))/(x2-x1)

Und nun? Dgoe? Ne Idee?

Die Lösung steht doch schon da. Sehen wir uns z.B. den Summanden 1 an:

(f(x2)-f(x1))/(x2-x1)

Was ist den das? Bzw. wie sieht denn Df(x1,x2) aus?



Spacerat hat geschrieben:Edit: Also wenn g(x) und f(x) für die selben x definiert sind, heißt das ja nicht, dass sie für identische x auch die selben Werte liefern.

So ist es.

Spacerat hat geschrieben:Das heisst, man kann nun gar nicht fragen, was f(x) in g(x) ist (o.ä.), man müsste nun die Funktionen selbst kennen.

Was meinst du damit? f(x) in g(x) ist doch gar nicht gefragt.
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Re: Differenzenquotienten: einfache Anwendungen

Beitragvon Dgoe » Mittwoch 20. Mai 2015, 12:39

Ah ja,

schon wieder kann man das ersetzen.
Tricky. :)

Gruß,
Dgoe
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Re: Differenzenquotienten: einfache Anwendungen

Beitragvon Spacerat » Mittwoch 20. Mai 2015, 12:59

Karl hat geschrieben:
Spacerat hat geschrieben:Edit: Also wenn g(x) und f(x) für die selben x definiert sind, heißt das ja nicht, dass sie für identische x auch die selben Werte liefern.

So ist es.

Spacerat hat geschrieben:Das heisst, man kann nun gar nicht fragen, was f(x) in g(x) ist (o.ä.), man müsste nun die Funktionen selbst kennen.

Was meinst du damit? f(x) in g(x) ist doch gar nicht gefragt.
Schon gut. Ich bin deprimiert... Nee, eigentlich liege ich am Boden und krümme mich vor lachen.

Und nein, ich komme nicht drauf, weil ich eine Schikane erwarte, sondern deswegen nicht, weil es nicht so einfach sein kann...

Df+g(x1,x2)=Df(x1,x2)+Dg(x1,x2)

Wie war das mit dem Wald und den Bäumen?
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Re: Differenzenquotienten: einfache Anwendungen

Beitragvon Karl » Mittwoch 20. Mai 2015, 13:29

Spacerat hat geschrieben:
Karl hat geschrieben:
Spacerat hat geschrieben:Edit: Also wenn g(x) und f(x) für die selben x definiert sind, heißt das ja nicht, dass sie für identische x auch die selben Werte liefern.

So ist es.

Spacerat hat geschrieben:Das heisst, man kann nun gar nicht fragen, was f(x) in g(x) ist (o.ä.), man müsste nun die Funktionen selbst kennen.

Was meinst du damit? f(x) in g(x) ist doch gar nicht gefragt.
Schon gut. Ich bin deprimiert... Nee, eigentlich liege ich am Boden und krümme mich vor lachen.

Und nein, ich komme nicht drauf, weil ich eine Schikane erwarte, sondern deswegen nicht, weil es nicht so einfach sein kann...

Df+g(x1,x2)=Df(x1,x2)+Dg(x1,x2)

Wie war das mit dem Wald und den Bäumen?

Sehr gut!

Wir haben nun
1. D(f+g)(x1,x2)=Df(x1,x2)+Dg(x1,x2)
und
2. D(K f)(x1,x2)=K Df(x1,x2)

ad 1 wird "additiv" genannt, d.h., dass die Bildung des Differenzenquotienten additiv ist, bezüglich der Funktionen für die er gebildet wird.

ad 2 wird "homogen" genannt, d.h., dass die Bildung des Differenzenquotienten homogen ist, bezüglich der Funktionen für die er gebildet wird.

Sind beide Eigenschaften erfüllt, additiv und homogen, dann wird eine Operation "linear" genannt. Die Bildung des Differenzenquotienten ist demnach eine lineare Operation!

Das ist eine wichtige Erkenntnis.
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