Erläuterungen zum Hilbert-Hotel

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Erläuterungen zum Hilbert-Hotel

Beitragvon ralfkannenberg » Freitag 18. Dezember 2015, 16:25

Hallo zusammen,

der User pane hat im astronews-Forum eine sehr schöne Zusammenfassung über das Hilbert-Hotel und den Cantor'schen Diagonalbeweis erstellt; ich kann mir aber vorstellen, dass das vor allem für den Laien Fragen aufwirft.

Im ersten Absatz des Beitrages von pane wird gezeigt, dass die menge der natürlichen Zahlen vereinigt mit der Zahl gleichmächtig zur Menge der natürlichen Zahlen ist, obgleich letztere eine echte Teilmenge von ersterer ist.

Im 2.Absatz wird dann gezeigt, dass wenn die negative ganzen Zahlen dazugenommen warden, also die Menge der ganzen Zahlen entsteht, diese ebenfalls gleichmächtig zur Menge der natürlichen Zahlen ist.

Im 3.Absatz wird das alles auf die rationale Zahlen erweitert, d.h. obgleich diese dicht in den reellen Zahlen liegen, d.h. jede reelle Zahl beliebig genau durch eine rationale Zahl approximiert werden kann, ist auch diese Menge nur gleichmächtig zur Menge der natürlichen Zahlen.

Das legt natürlich den Verdacht nahe, dass auch die reellen Zahlen gleichmächtig zur Menge der natürlichen Zahlen ist, aber dem ist nicht so, wie man in pane's Beitrag in den Abschnitten 4 und 5 nachlesen kann, in denen er den Beweis des Cantor'schen Diagonalbeweises skizziert.

Man kann das ganze noch weitertreiben und sich Gedanken über Zahlen wie die Quadratwurzel aus 2 und ähnliche machen, doch sind diese - das sind die algebraischen Zahlen, ebenfalls gleichmächtig zu der Menge der natürlichen Zahlen, wie ich hier skizziert habe.


Wenn ich mich recht entsinne ist aber schon die Menge der Liouville'schen Zahlen nicht mehr gleichmächtig zur Menge der natürlichen Zahlen. Trotzdem gibt es transzendente Zahlen, die nicht Liouville'sch sind, wie beispielsweise die zweite nachgewiesene transzendente Zahl (ein Jahr vor dem Cantor'schen Diagonalbeweis), die Euler'sche Zahl, was aber erst recht spät bewiesen werden konnte.


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Re: Erläuterungen zum Hilbert-Hotel

Beitragvon ralfkannenberg » Donnerstag 31. Dezember 2015, 13:51

ralfkannenberg hat geschrieben:Wenn ich mich recht entsinne ist aber schon die Menge der Liouville'schen Zahlen nicht mehr gleichmächtig zur Menge der natürlichen Zahlen. Trotzdem gibt es transzendente Zahlen, die nicht Liouville'sch sind, wie beispielsweise die zweite nachgewiesene transzendente Zahl (ein Jahr vor dem Cantor'schen Diagonalbeweis), die Euler'sche Zahl, was aber erst recht spät bewiesen werden konnte.

Hallo zusammen,

und hier habe ich etwas dazu gefunden, im Abschnitt "Uncountability".

Der Trick ist der, dass man zunächst die Zahl 1/9 betrachtet: 0.111111111.....

Nun macht man diese Liouville'sch: 0.110001000000000000000001000..., d.h. die erste 1 befindet sich neu nicht mehr an der 1.Stelle, sondern an der (1!).-ten Stelle, wobei das nichts ändert, weil 1! = 1.

Die zweite 1 befindet sich neu nicht mehr an der 2.Stelle, sondern an der (2!).-ten Stelle, wobei das nichts ändert, weil 2! = 2.

Die dritte 1 befindet sich neu nicht mehr an der 3.Stelle, sondern an der (3!).-ten Stelle, also an der 6. Stelle.

Die vierte 1 befindet sich neu nicht mehr an der 4.Stelle, sondern an der (4!).-ten Stelle, also an der 24. Stelle.

u.s.w.

Dasselbe macht man nun mit der Zahl pi:

3.1415 ... -> 3.140001000000000000000005000....

Diese Zahl ist Liouville'sch; ok, das muss man streng genommen noch zeigen. Vermutlich macht man das, indem man feststellt, dass sie grösser gleich der Zahl ist, die man erhält, wenn man alle von 0 verschiedenen Ziffern durch eine 1 ersetzt, und dass sie kleiner oder gleich ist, wenn man alle von 0 verschiedenen Ziffern durch eine 9 ersetzt und feststellt, dass letztere gerade das neunfache von ersterer ist.

Also irgendwie so, vielleicht irre ich mich hierin aber auch.

Des weiteren liegen die Liouville'schen Zahlen dicht in IR.


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