Erläuterungen zu Bijektionen

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Erläuterungen zu Bijektionen

Beitragvon ralfkannenberg » Freitag 18. Dezember 2015, 16:50

Hallo zusammen,

im Zusammenhang mit dem Hilbert-Hotel und mit Gleichmächtigkeiten benötigt man ein gutes Verständnis des Begriffes einer Bijektion.

Wenn man zwei Mengen hat, so kann man zwischen diesen Mengen Abbildungen definieren. Diese Abbildungen können sehr "wild" aussehen, sie können aber auch einfach sein. Von besonderer bedeutung sind zwei Abbildungstypen.

Zur Erinnerung: eine Abbildung (bzw. Funktion) ist eine Zuordnung, bei der es keine Mehrdeutigkeiten gibt, d.h. ein Element der 1.Menge hat höchstens ein Bildelement in der 2.Menge.

So wird bei der Nullabbildung jede Zahl der 1.Menge auf die Zahl 0 der 2.Menge abgebildet. Die anderen Elemente der 2.Menge gehen dabei leer aus, während der 0 bei der Nullabbildung eine sehr grosse Aufmerksamkeit zuteil wird.

Eine Abbildung heisst injektiv, wenn jedes Element der zweiten Menge höchstens ein Ursprungselement hat.

Eine Abbildung heisst surjektiv, wenn jedes Element der zweiten Menge mindestens ein Ursprungselement hat.

Nehmen wir doch einen Tanzabend als Beispiel und wir betrachten die Tänzerinnen-Funktion:

Wenn also ein Mann bei einem Tanz gleichzeitig mit 2 Frauen tanzt, so ist das keine Abbildung, denn bei einer Abbildung wird jedem Element der Urspringsmenge, in diesem Falle also der männlichen Anwesenden bei diesen Tanzabend, höchstens eine Tänzerin zugeordnet.

Nun könnte es aber passieren, dass sich 2 Männer für dieselbe Frau interessieren. Eine solche Relation ist eine Abbildung, weil beiden Männern ja jeder nur eine Frau zugeordnet wird, aber es ist eben dieselbe.

Wenn sowas nicht passieren soll, dann muss die Tänzerinnen-Funktion eben injektiv sein.


Trotzdem könnte es passieren, dass mehr Frauen als Männer bei diesem Tanzabend anwesend sind; dann besteht zwar jedes Tanzpaar aus einem Mann und einer Frau, aber es ist möglich, dass nicht jede Frau einen Tanzpartner bekommt. Damit das nicht passieren kann, muss die Tänzerinnen-Funktion surjektiv sein.

EIne Abbildung heisst dann bijektiv, wenn sie sowohl injektiv als auch surjektiv ist, also bei unserem Tanzabend jeder Mann und jede Frau mit genau je einem Partner tanzen kann.


Freundliche Grüsse, Ralf
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Re: Erläuterungen zu Bijektionen

Beitragvon ralfkannenberg » Donnerstag 31. Dezember 2015, 13:54

Hallo zusammen,

und hierzu eine kleine, sehr einfache Übung, um sich mit dieser Denkweise vertraut zu machen:

Zeige, dass das "Liouville'sch-Machen", wie es hier beschrieben wird, eine Bijektion ist.

Anleitung:
1. man zeige, dass das "Liouville'sch-Machen" injektiv ist
2. man zeige, dass das "Liouville'sch-Machen" surjektiv ist


Freundliche Grüsse, Ralf
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Re: Erläuterungen zu Bijektionen

Beitragvon Dgoe » Dienstag 31. Mai 2016, 03:14

ralfkannenberg hat geschrieben:EIne Abbildung heisst dann bijektiv, wenn sie sowohl injektiv als auch surjektiv ist

Du warst wohl länger nicht aus?
Bijektiv gibt es nicht, höchstens bi.

Ok, angenommen doch, dann gucken weder die anderen Männer, noch die anderen Frauen in die Röhre, alles passt zueinander, jeder findet jemand, glücklich... Nur wer ist sonst sur und wer ist in?

Ladies First?

Gruß,
Dgoe
Alle sagten immer das geht nicht, dann kam jemand, der das nicht wusste, und hat es einfach gemacht!
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