Dgoe hat geschrieben:soviel zu der vermeintlich harmlos daher kommenden zweiten Übungsaufgabe...
Hallo Dgoe,
na fein. Und was ist mit der ersten Übungsaufgabe ?
Freundliche Grüsse, Ralf
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Dgoe hat geschrieben:soviel zu der vermeintlich harmlos daher kommenden zweiten Übungsaufgabe...
Ralf hat geschrieben: Und was ist mit der ersten Übungsaufgabe ?
Ralf hat geschrieben:Der besseren Verständlichkeit zuliebe wollen wir die Kringel o additiv ("+") und die Xsen x multiplikativ ("*") schreiben.
(4) Zu jedem Element a in M gibt es genau ein inverses Element a' so dass gilt: a' o a = n (n ist das Neutralelement)
(3) Die Operation o hat genau ein Neutralelement n, d.h. n o a = a für alle a in M
für(5) Die Operation o ist kommutativ, d.h. a o b = b o a für alle a,b in M
(4) Zu jedem Element a in M gibt es genau ein inverses Element a' so dass gilt: a' o a = n (n ist das Neutralelement)
Ralf hat geschrieben:= (1+1)*(a+b); das geht, weil die Distributivgesetze gelten
= 1*(a+b) + 1*(a+b); das geht, weil die Distributivgesetze gelten
Also die Verteilung der Kringel und Xse.(8) Die Operationen o und x sind links-distributiv: a x (b o c) = (a x b) o (a x c)
(9) Die Operationen o und x sind rechts-distributiv: (a o b) x c = (a x c) o (b x c)
Dgoe hat geschrieben:Ralf hat geschrieben: Und was ist mit der ersten Übungsaufgabe ?
Da komme ich auch auf keinen grünen Zweig. Wenn die Multiplikation definiert wäre, dann wäre es einfacher. Aber bleiben wir doch noch bei der zweiten Aufgabe, denn da sind mir 2 Unstimmigkeiten aufgefallen.
Dgoe hat geschrieben:Ralf hat geschrieben:Der besseren Verständlichkeit zuliebe wollen wir die Kringel o additiv ("+") und die Xsen x multiplikativ ("*") schreiben.
Wenn man die Kringel und Xse beibehält, ändert sich das Bild, allerdings nicht nur in der Ansicht und Verständlichkeit, sondern schlimmer, es führt zu Widersprüchen! Hier ausführlich:
Dgoe hat geschrieben:Zur Beweisidee:
Man zeigt: a o a o b o b = a o b o a o b und kringelt dann auf beiden Seiten von links mit (a') und von rechts mit (b'), wodurch anhand von:(4) Zu jedem Element a in M gibt es genau ein inverses Element a' so dass gilt: a' o a = n (n ist das Neutralelement)
aus a' o a o b o a o b o b' = n o b o a o b o b' wird.
Und Letzteres durch:(3) Die Operation o hat genau ein Neutralelement n, d.h. n o a = a für alle a in M
zu = b o a o b o b' wird.
Nur für b o b' geht das nicht (es würde nur für b' o b gehen),
Dgoe hat geschrieben:Dann noch die zweite Anomalie:Ralf hat geschrieben:= (1+1)*(a+b); das geht, weil die Distributivgesetze gelten
= 1*(a+b) + 1*(a+b); das geht, weil die Distributivgesetze gelten
aber nicht in der Form (1 o 1) x (a o b), siehe hier:(8) Die Operationen o und x sind links-distributiv: a x (b o c) = (a x b) o (a x c)
(9) Die Operationen o und x sind rechts-distributiv: (a o b) x c = (a x c) o (b x c)
Ralf hat geschrieben:doch, das haben wir doch längst bewiesen, dass man das darf.
Dgoe hat geschrieben:wir beweisen ja oft munter über die Gültigkeit bei den ganzen Zahlen, über die Peano-Axiome indirekt. Was wäre denn ohne diese Axiome, dann müsste man sich doch einen eigenen Satz Axiome basteln, oder? Unter Umständen (geringere Ansprüche) würde dieser Satz sogar simpler, (ge)kürz(t)er, vereinfachter ausfallen, vielleicht aber auch nicht. Jedenfalls würde man direkt damit alles (1-11) beweisen müssen, oder als zusätzliches Axiom definieren müssen, wenn es nicht anders geht.
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