endlich viele natürliche Zahlen

[ralfkannenberg]

soviel zu der vermeintlich harmlos daher kommenden zweiten Übungsaufgabe...

Hallo Dgoe,

na fein. Und was ist mit der ersten Übungsaufgabe ?


Freundliche Grüsse, Ralf

[Dgoe]

Hallo Ralf,

Und was ist mit der ersten Übungsaufgabe ?

Da komme ich auch auf keinen grünen Zweig. Wenn die Multiplikation definiert wäre, dann wäre es einfacher. Aber bleiben wir doch noch bei der zweiten Aufgabe, denn da sind mir 2 Unstimmigkeiten aufgefallen.

Der besseren Verständlichkeit zuliebe wollen wir die Kringel o additiv ("+") und die Xsen x multiplikativ ("*") schreiben.

Wenn man die Kringel und Xse beibehält, ändert sich das Bild, allerdings nicht nur in der Ansicht und Verständlichkeit, sondern schlimmer, es führt zu Widersprüchen! Hier ausführlich:

Zur Beweisidee:
Man zeigt: a o a o b o b = a o b o a o b und kringelt dann auf beiden Seiten von links mit (a') und von rechts mit (b'), wodurch anhand von:

(4) Zu jedem Element a in M gibt es genau ein inverses Element a' so dass gilt: a' o a = n (n ist das Neutralelement)

aus a' o a o b o a o b o b' = n o b o a o b o b' wird.
Und Letzteres durch:

(3) Die Operation o hat genau ein Neutralelement n, d.h. n o a = a für alle a in M

zu = b o a o b o b' wird.

Nur für b o b' geht das nicht (es würde nur für b' o b gehen), da

(5) Die Operation o ist kommutativ, d.h. a o b = b o a für alle a,b in M

für

(4) Zu jedem Element a in M gibt es genau ein inverses Element a' so dass gilt: a' o a = n (n ist das Neutralelement)

nicht gilt. Das Kommutativgesetz (5) gilt es ja gerade zu beweisen.


Dann noch die zweite Anomalie:

= (1+1)*(a+b); das geht, weil die Distributivgesetze gelten
= 1*(a+b) + 1*(a+b); das geht, weil die Distributivgesetze gelten

aber nicht in der Form (1 o 1) x (a o b), siehe hier:

(8) Die Operationen o und x sind links-distributiv: a x (b o c) = (a x b) o (a x c)
(9) Die Operationen o und x sind rechts-distributiv: (a o b) x c = (a x c) o (b x c)

Also die Verteilung der Kringel und Xse.

Gruß,
Dgoe

[ralfkannenberg]

Und was ist mit der ersten Übungsaufgabe ?

Da komme ich auch auf keinen grünen Zweig. Wenn die Multiplikation definiert wäre, dann wäre es einfacher. Aber bleiben wir doch noch bei der zweiten Aufgabe, denn da sind mir 2 Unstimmigkeiten aufgefallen.

Hallo Dgoe,

ich habe den Eindruck, dass Du ein Problem siehst wo es gar keines gibt. Anstelle der Multiplikation ist das Xsen definiert und das geht doch identisch gleich. Man will nur nicht die "übliche" Multiplikation verwenden, weil diese schon im Kontext mit den normalen Zahlen definiert wurde, sondern verwendet eine allemeinere Notation, das ist alles.

Der besseren Verständlichkeit zuliebe wollen wir die Kringel o additiv ("+") und die Xsen x multiplikativ ("*") schreiben.

Wenn man die Kringel und Xse beibehält, ändert sich das Bild, allerdings nicht nur in der Ansicht und Verständlichkeit, sondern schlimmer, es führt zu Widersprüchen! Hier ausführlich:

Sicher nicht, denn alles ist identisch gleich !

Zur Beweisidee:
Man zeigt: a o a o b o b = a o b o a o b und kringelt dann auf beiden Seiten von links mit (a') und von rechts mit (b'), wodurch anhand von:

(4) Zu jedem Element a in M gibt es genau ein inverses Element a' so dass gilt: a' o a = n (n ist das Neutralelement)

aus a' o a o b o a o b o b' = n o b o a o b o b' wird.
Und Letzteres durch:

(3) Die Operation o hat genau ein Neutralelement n, d.h. n o a = a für alle a in M

zu = b o a o b o b' wird.

Nur für b o b' geht das nicht (es würde nur für b' o b gehen),

Doch, das haben wir doch längst bewiesen, dass man das darf. Ich habe das auch hier im Korollar 2 erwähnt.

Dann noch die zweite Anomalie:

= (1+1)*(a+b); das geht, weil die Distributivgesetze gelten
= 1*(a+b) + 1*(a+b); das geht, weil die Distributivgesetze gelten

aber nicht in der Form (1 o 1) x (a o b), siehe hier:

(8) Die Operationen o und x sind links-distributiv: a x (b o c) = (a x b) o (a x c)
(9) Die Operationen o und x sind rechts-distributiv: (a o b) x c = (a x c) o (b x c)

Dann setze doch einfach temporär c:= a o b und d:= 1 o 1 und wende dann die beiden Distributivgesetze an. Dank der Abgeschlossenheit des Kringel o gibt es so ein c und so ein d.


Freundliche Grüsse, Ralf

[Dgoe]

doch, das haben wir doch längst bewiesen, dass man das darf.

Hallo Ralf,

ja das schon, aber... hmm, ist der Beweis hier auch gültig? Ich muss mir den nochmal anschauen.

Gruß,
Dgoe

[ralfkannenberg]

Hallo Dgoe,

ich habe mittlerweile die Links ergänzt.


Freundliche Grüsse, Ralf

[Dgoe]

HAllo Ralf,

wir beweisen ja oft munter über die Gültigkeit bei den ganzen Zahlen, über die Peano-Axiome indirekt. Was wäre denn ohne diese Axiome, dann müsste man sich doch einen eigenen Satz Axiome basteln, oder? Unter Umständen (geringere Ansprüche) würde dieser Satz sogar simpler, (ge)kürz(t)er, vereinfachter ausfallen, vielleicht aber auch nicht. Jedenfalls würde man direkt damit alles (1-11) beweisen müssen, oder als zusätzliches Axiom definieren müssen, wenn es nicht anders geht.

Ja oder ja?

Gruß,
Dgoe

[ralfkannenberg]

wir beweisen ja oft munter über die Gültigkeit bei den ganzen Zahlen, über die Peano-Axiome indirekt. Was wäre denn ohne diese Axiome, dann müsste man sich doch einen eigenen Satz Axiome basteln, oder? Unter Umständen (geringere Ansprüche) würde dieser Satz sogar simpler, (ge)kürz(t)er, vereinfachter ausfallen, vielleicht aber auch nicht. Jedenfalls würde man direkt damit alles (1-11) beweisen müssen, oder als zusätzliches Axiom definieren müssen, wenn es nicht anders geht.

Ja oder ja?

Hallo Dgoe,

jein oder jein ...

Letztlich müssen ja die natürlichen Zahlen irgendwie definiert werden. Und wenn ich nun nachweisen will, dass das Assoziativgesetz der Addition bei den natürlichen Zahlen gültig ist, so muss ich eben diese Definition benutzen, um den Beweis durchführen zu können.

Im übrigen ist die Bezeichnung Peano-Axiom etwas missverständlich: die Peano-Axiome geben eine Menge vor und die natürlichen Zahlen werden dann mit Hilfe dieser Peano-Axiome definiert. Ich selber möchte mich hier nicht unnötig aus dem Fenster lehnen - ich bin gewiss kein Spezialist bei der Begriffsbildung; meinem "Empfinden" nach stellen die Peano-Axiome eine "Definition" dar, denn sie sind doch etwas "anderes" als beispielsweise das Parallelenaxiom oder das Auswahlaxiom.


Freundliche Grüsse, Ralf

[Dgoe]

ja sind Axiome nicht auch irgendwie Definitionen?

Definition
Axiom
Axiomensystem

Gruß,
Dgoe

[ralfkannenberg]

ja sind Axiome nicht auch irgendwie Definitionen?

Definition
Axiom
Axiomensystem

Hallo Dgoe,

ja, das ist so. Es sind irgendwie "stillschweigende Definitionen" oder besser: "stillschweigende Voraussetzungen". Aber es ist noch etwas mehr dahinter, nämlich die Minimalität: man versucht also, mit einem minimalen Set an Definitionen und Voraussetzungen alle Resultate der Mathematik herzuleiten.


Freundliche Grüsse, Ralf

[Dgoe]

Hallo Ralf,

könnte man nicht rein theoretisch ein Set an Axiomen nur für unsere Zwecke (Einer und Ziffernblatt) entwickeln, das womöglich noch minimaler ist, und dann entsprechend damit die Beweise führen, um sich den Umweg über die ganzen Zahlen zu ersparen, bzw. ohne genötigt zu sein ein womöglich unnötig größeres Axiomensystem zu nutzen? Jetzt eher puristisch gedacht, als wie alles andere. Vielleicht kommt es ja auch dennoch auf das selbe raus und ist von daher unsinnig.

Gruß,
Dgoe