endlich viele natürliche Zahlen

[ralfkannenberg]

könnte man nicht rein theoretisch ein Set an Axiomen nur für unsere Zwecke (Einer und Ziffernblatt) entwickeln, das womöglich noch minimaler ist, und dann entsprechend damit die Beweise führen, um sich den Umweg über die ganzen Zahlen zu ersparen,

pssst - es ist kein "Umweg", es ist der Weg !

bzw. ohne genötigt zu sein ein womöglich unnötig größeres Axiomensystem zu nutzen? Jetzt eher puristisch gedacht, als wie alles andere. Vielleicht kommt es ja auch dennoch auf das selbe raus und ist von daher unsinnig.

An sich ist es etwas typisch Mathematisches: man hat zwei Mengen und zeugt, dass diese genügend ähnlich sind.

Nun will man in der einen Menge etwas zeigen, was sich aber in der anderen Menge einfacher zeigen lässt. Also definiert man sich zwei Abbildungen zwischen den beiden Mengen und beweist umständlich, dass diese Abbildungen genügend schöne Eigenschaften haben. Dann führt man den Beweis in der zweiten Menge, wo er einfacher geht, aus und kann dann daraus auf die Gültigkeit in der ersten Menge schliessen.

Bei einfachen Mengen sieht diese Methodik natürlich sehr umständig und irgendwie auch überflüssig aus, aber bei so richtig komplizierten Mengen ist das oftmals die einzige Möglichkeit, sowas zu beweisen, so dass sich der Mehraufwand lohnt, nachzuweisen, dass die beiden Abbildungen zwischen den beiden Mengen genügend schöne Eigenschaften haben.

An sich machen wir das hier ja auch so: wir haben die Abbildung, die von einem Einer das Original erzeugt sowie die Abbildung, die das Original auf den Einer abbildet. - Wobei wir uns hier sogar darauf beschränken können, zu wissen, dass es so ein Original gab, ohne es explizit angeben zu brauchen.

Mit diesem "Trick" können wir das die Assoztiativgesetze der Addition und der Muliplikation, die Kommutativgesetze der Addition und der Muliplikation und die beiden Distributivgesetze, dasjenige von links und dasjenige von rechts, mit ein und demselben Beweis nachweisen, weil wir ja wissen, dass alle diese Gesetze in den ganzen Zahlen gültig sind.

Ok, warum die bei den ganzen Zahlen gültig sind, das ist dann wieder eine andere Sache, aber hier dürfen wir das nutzen. Bei den ganzen Zahlen läuft das dann jedesmal letztlich darauf hinaus, dass

1. die Nachfolger von Peano-Axiom-definierten Mengen eben eindeutig sind, und man
2. das Startelement genügend klein setzen kann, so dass man stets mehr Nachfolger als Vorgänger hat


Freundliche Grüsse, Ralf

[Dgoe]

OK, danke für die Erklärung, Ralf!

War nur so eine wirre Idee.

Gruß,
Dgoe

[Dgoe]

Hallo Ralf,

Und was ist mit der ersten Übungsaufgabe ?

Da komme ich auch auf keinen grünen Zweig. Wenn die Multiplikation definiert wäre, dann wäre es einfacher. Aber bleiben wir doch noch bei der zweiten Aufgabe, denn da sind mir 2 Unstimmigkeiten aufgefallen.

Hallo Dgoe,

ich habe den Eindruck, dass Du ein Problem siehst wo es gar keines gibt. Anstelle der Multiplikation ist das Xsen definiert und das geht doch identisch gleich. Man will nur nicht die "übliche" Multiplikation verwenden, weil diese schon im Kontext mit den normalen Zahlen definiert wurde, sondern verwendet eine allemeinere Notation, das ist alles.

also es geht ja darum:

1. Sei die Menge M zusammen mit den Operationen o und x ein Ring mit Einselement e.
Dann gilt: a x e = a für alle a in M

Umgekehrt e x a = a ist klar wegen:

(10) Die Operation x hat genau ein Neutralelement e, d.h. e x a = a für alle a in M

Vielleicht gibt es da etwas von wegen Ring mit Einselement, für mich stilisiert sich die Frage jedoch auf das Kommutativgesetz, das man auch so formulieren kann (fragen könnte, ob es gilt): Gilt a x b = b x a ?

Analog zu Übungsaufgabe 2 bin ich gescheitert nach 1-2 (oder 3) Stunden einsetzen und umformen, ich kriege es nicht gedreht. Und habe am Ende alles gelöscht, leicht resigniert.

Auf Matroids Matheplanet gibt es ja einen Beweis für die Kommutativität der Multiplikation, den ich mir dann angeschaut habe (scrolle die Seite ein viertel weit runter unter III.), dafür wird aber die Definition der Multiplikation in IN (recht am Anfang, 2ter/dritter screen) benutzt.

Jaaa, und dann stand ich endgültig auf dem Schlauch...

Gruß,
Dgoe

[ralfkannenberg]

Jaaa, und dann stand ich endgültig auf dem Schlauch...

Hallo Dgoe,

das bist Du tatsächlich - irgendwie siehst Du vor lauter Wald die Bäume nicht mehr.

Hier ist der Beweis für a o n = a.

Und nun brauchst Du einfach den Kringel o durch das Xsen x zu ersetzen und statt n das Einselement e verwenden und kannst dann den Beweis identisch gleich führen, also zeigen, dass gilt: a x e = a.


Freundliche Grüsse, Ralf

[Dgoe]

Hallo Ralf,

ja, das war selbstverständlich natürlich auch gleich mein nächster Gedankengang. *gelogen*
Na gut, dann so. Da muss ich geschlafen haben. Ist dann aber nicht das Gleiche wie a x b = b x a oder doch!? Nee...

Gruß,
Dgoe

[ralfkannenberg]

Ist dann aber nicht das Gleiche wie a x b = b x a oder doch!? Nee...

Hallo Dgoe,

wenn Du beweisen kannst, dass in einer Gruppe stets a o b = b o a gilt (ich kringele jetzt lieber als zu xsen), so kriegst Du die Fields-Medaille ... - aber bemühe Dich nicht, denn es gibt zahlreiche Gegenbeispiele wie die Pyramidengruppe S3 oder die Würfelgruppe S4.

Was aber auch in allgemeinen Gruppen gilt: sie sind kommutativ in ihrem Neutralelement und sie sind kommutativ mit ihrem eigenen inversen Element.


Freundliche Grüsse, Ralf

[Dgoe]

Was aber auch in allgemeinen Gruppen gilt: sie sind kommutativ in ihrem Neutralelement und sie sind kommutativ mit ihrem eigenen inversen Element.

Hallo Ralf,

Ach so! Aber bei kommutativen Ringen kann man doch beweisen, dass sie (a x b = b x a) kommutativ sind...

Gruß,
Dgoe

[Dgoe]

Hier ist der Beweis für a o n = a.

Und nun brauchst Du einfach den Kringel o durch das Xsen x zu ersetzen und statt n das Einselement e verwenden und kannst dann den Beweis identisch gleich führen, also zeigen, dass gilt: a x e = a.

Hallo Ralf,

Der Beweis war aber nicht ok an dieser Stelle und wenn man weiter unten den richtigen Beweis nimmt, so benutzt du das inverse Element, was wir bei den Xsen leider vergessen können.

Gruß,
Dgoe

[ralfkannenberg]

Hier ist der Beweis für a o n = a.

Und nun brauchst Du einfach den Kringel o durch das Xsen x zu ersetzen und statt n das Einselement e verwenden und kannst dann den Beweis identisch gleich führen, also zeigen, dass gilt: a x e = a.

Der Beweis war aber nicht ok an dieser Stelle und wenn man weiter unten den richtigen Beweis nimmt, so benutzt du das inverse Element, was wir bei den Xsen leider vergessen können.

Hallo Dgoe,

ich verneige mich, Du hast recht - ich habe mich geirrt !

Klasse ! - Vermutlich muss man das schon in die Definition des Ringes mit Einselement stecken und kann das im Allgemeinen nicht folgern. Ich werde dem nachgehen.


Freundliche Grüsse, Ralf

[ralfkannenberg]

Vermutlich muss man das schon in die Definition des Ringes mit Einselement stecken und kann das im Allgemeinen nicht folgern. Ich werde dem nachgehen.

Hallo zusammen,

oder auch nicht - ich bin derzeit daran, einen anderen Beweis zu finden. Vielleicht könnt Ihr mir dabei helfen.

Ein paar Sachen habe ich schon gefunden, wobei ich der Bequemlichkeit halber + und * statt o und x verwende und das Nullelement mit 0 und das Einselement mit 1 bezeichne.

Lemma 1: sei a*1=b. Dann gilt: b = b*1

Beweis:
So ein Ringelement b gibt es, weil ein Ring bezüglich der Multiplikation abgeschlossen ist, das ist ja (6).

Nun kann man auf beiden Seiten von rechts nochmals mit dem Einselement multiplizieren:

(a*1)*1 = b*1 <=> a*(1*1) = b*1 <=> a*1=b*1 <=> b=b*1

Leider kann man aus der vorletzten Gleichung, also aus a*1=b*1, zwar folgern, dass a*1 - b*1 = 0, folglich wegen der Disktributivgesetze (a-b)*1=0, doch kann man daraus nicht folgern, dass der erste Faktor (a-b) gleich 0 sein muss, da Ringe im Allgemeinen nicht nulltreilerfrei sind.

Lemma 2: Sei S ein Ring mit der zusätzlichen Eigenschaft, dass es ein Element 1 gibt, so dass für alle Ringelemente a gilt: 1*a=a
Dann gilt: die Menge T aller a*1 bildet den trivialen Nullring oder einen Unterring mit Einselement von links und von rechts

Beweis:
Man muss nur die Abgeschlossenheit bezüglich der Addition und der Multiplikation sowie die Existenz eines additiven Inversen zeigen. Die übrigen Gesetze sind schon in S gültig, insbesondere auch im Spezialfall der Teilmenge T.

(1): seien a,b in T => a=a*1 und b=b*1. Zu zeigen: a+b in T: a+b = a*1 + b*1 = (a+b)*1, was zu zeigen war
(4): sei a in T, => a=a*1. Zu zeigen: auch (-a) in T: 0 = -(a*1) + (a*1) = (-a*1) + a und das muss wegen der Eindeutigkeit des inversen Elementes gleich -a sein.
(6): seien a,b in T => a=a*1 und b=b*1. Zu zeigen: a*b in T: a*b = (a*1) * (b*1) = a*(1*b)*1 = (a*b)*1, da 1*b=b.

Dass für alle Elemente a aus T gilt: a*1=a ist trivial, denn T wurde ja gerade so definiert. Damit ist der Beweis von Lemma 2 abgeschlossen.


Immerhin ... - man müsste nun noch irgendwie zeigen, dass aus a*1=b und c*1=b folgt dass a=c. Wegen der nicht vorhandenen Nullteilerfreiheit ist das aber gar nicht so einfach.


Freundliche Grüsse, Ralf

EDIT 13.8.2013 11:48 Uhr: fehlenden Teil in Lemma 2 ergänzt