endlich viele natürliche Zahlen

[ralfkannenberg]

Gilt a o a' = n ?

a' o a = n ist gegeben.
a o a' = b ist auch gegeben, brauche ich aber nicht.

ähm ah ... uh ...

Ausgehend von der Annahme
a o a' = n

ne ne, das ist keine Annahme, das wollen wir beweisen ...


Freundliche Grüsse, Ralf

[Dgoe]

Hallo Ralf,

Ausgehend von der Annahme
a o a' = n

ne ne, das ist keine Annahme, das wollen wir beweisen ...

na gut, es ist keine Annahme. Anders:
"Das, was wir beweisen wollen, setze ich ein als Startgleichung ("Annahme" vorher), wenn dies bewiesen wird, dann ist gut, wenn widerlegt, dann nicht gut."

Ich hätte auch anders herum anfangen können, geht ja auch in beide Richtungen, ich hatte aber mit
a o a' = b angefangen und später erst b mit n ersetzt, weil das für mich einfacher war. Daher die Bauart.

Gruß,
Dgoe

[ralfkannenberg]

Ich hätte auch anders herum anfangen können, geht ja auch in beide Richtungen, ich hatte aber mit
a o a' = b angefangen und später erst b mit n ersetzt, weil das für mich einfacher war. Daher die Bauart.

Hallo Dgoe,

das gefällt mir schon viel besser. Führe es doch bitte nochmal in der richtigen "Richtung" aus.


Freundliche Grüsse, Ralf

[Dgoe]

Hallo Ralf,
gerne, heute Abend aber erst.
Gruß,
Dgoe

[ralfkannenberg]

n o a' = a' ___/kringeln a von rechts
(n o a' ) o a = a' o a ___/assoziativ
n o (a' o a) = a' o a ___/a' o a = n
n o n = a' o a ___/Eindeutigigkeit von n
n = a' o a (und das wissen wir, dass es stimmt)
Also
a o a' = n = a' o a

Hallo Dgoe,

das kannst Du schon von unten nach oben machen, doch beim vorletzten Schritt ist schon fertig:

(n o a' ) o a = a' o a

Daraus folgt eben nicht, dass man das a auf der rechten Seite wegkriegt, da ja noch nicht bewiesen ist, dass es ein solches "rechts-inverses Element" gibt.

Ich würde wirklich von a o a' = b ausgehen; ein solches b muss es ja wegen der Abgeschlossenheit geben, und dann passend herumkringeln, also z.B. mit einem a' von links oder z.B. mit einem a von rechts, und dann das Assoziativgesetz nutzen. Das dürfte ziemlich direkt zum Ziel führen.


Freundliche Grüsse, Ralf

[Dgoe]

Hallo Ralf,

a o a' = b
a' o (a o a') = a' o b
(a' o a) o a' = a' o b
n o a' = a' o b
(n o a') o a = (a' o b) o a
n o (a' o a) = (a' o b) o a
n o n = (a' o b) o a
und nun???
n o n = (a' o (a o a')) o a
das führt zu n = a' o a was wir schon wissen,
anders herum war das Apostroph gesucht, ...

- nebenher erwähnt: ich hatte schon manches aha und bingo -Erlebnis, um dann nur festzustellen, dass ich auf beiden Seiten das gleiche stehen hatte, da man die Reihenfolge a - a' und a' - a schnell verwechselt.

Ich habe übrigens ziemlich lange rumgeknobelt und wenn ich dich richtig verstanden habe, dann hast du nicht gesagt, dass mein Beweis falsch war, höchstens die umgekehrte vorgeschlagenen Richtung.
Ich wäre dann auch ziemlich stolz darauf, es ohne deinen trickreichen Ansatz hingekriegt zu haben, quasi mit Bordmitteln.
Andererseits stoße ich mit deinem Ansatz auf Granit, vielleicht auch nur auf ein hartes Brett (vorm Kopf:_)

Gruß,
Dgoe

[ralfkannenberg]

- nebenher erwähnt: ich hatte schon manches aha und bingo -Erlebnis, um dann nur festzustellen, dass ich auf beiden Seiten das gleiche stehen hatte

Hallo Dgoe,

warum soll es Dir denn besser ergehen als den Experten ?

Ich habe übrigens ziemlich lange rumgeknobelt und wenn ich dich richtig verstanden habe, dann hast du nicht gesagt, dass mein Beweis falsch war, höchstens die umgekehrte vorgeschlagenen Richtung.

ne, der war falsch, weil Du erwas verwendet hattest, was Du zu diesem Zeitpunkt noch nicht bewiesen hattest.

Der neue Beweis ist aber richtig, auch wenn ich momentan noch nicht sehe, warum er richtig ist.

Ich wäre dann auch ziemlich stolz darauf, es ohne deinen trickreichen Ansatz hingekriegt zu haben, quasi mit Bordmitteln.

Du kannst auf die Art und Weise, wie Du diese Aufgaben angehst und einen Ansatz überlegst, jederzeit stolz sein - diese Dinge sind zwar nicht wirklich schwer, aber eben doch sehr ungewohnt und auch ein gestandener Mathematiker wird sich da manches zweimal überlegen müssen, ehe er die Lösung sieht.

Aus den richtigen Ansatz dann auch noch den Beweis richtig abzuschliessen ist dann letztlich nur noch eine Erfahrungssache.


Freundliche Grüsse, Ralf

[ralfkannenberg]

a o a' = b
a' o (a o a') = a' o b
(a' o a) o a' = a' o b
n o a' = a' o b

Hallo Dgoe,

jetzt schaun mer mal: obige Gleichung kannst Du ja noch vereinfachen zu:

a' = a' o b

Würde jetzt das b andersherum stehen so wären wir wegen der Eindeutigkeit des Neutralelementes fertig. Zwar haben wir bewiesen, dass das Neutralelement von beiden Seiten gültig ist, aber versuchen wir es mal ohne das und kringeln jetzt von rechts mit a:

a' o a = (a' o b) o a

Die linke Seite ergibt das Neutralelement:

n = (a' o b) o a

Und jetzt kommt wieder der Trick mit der Eindeutigkeit des inversen Elementes:

(a' o b) ist nämlich das inverse Element von a, doch blöderweise steht das b immer noch "falsch herum".

Ok, also zuerst das Assoziativgesetz:

n = (a' o b) o a
<=> n = a' o (b o a)

Also ist a' das inverse Element von (b o a) und wegen der Eindeutigkeit des inversen Elementes gilt auch n = a' o a, also muss gelten:

b o a = a

Und nun kommt die Eindeutigkeit des Neutralelementes, also muss b = n sein.

Also gilt: a o a' = b = n, also a o a' = n, was wir zeigen wollten.

Nochmal zu Deinem Beweis:

(n o a') o a = (a' o b) o a
n o (a' o a) = (a' o b) o a
n o n = (a' o b) o a
und nun???

Nun machen wir links aus n o n = n und auf der rechten Seite das Assoziativgesetz:

n = a' o (b o a)

und nutzen jetzt wieder die Eindeutigkeit des inversen Elementes und die Eindeutigkeit des Neutralelementes.

Fazit: auch Dein Beweis enthielt alle benötigten Elemente - super !


Freundliche Grüsse, Ralf

[Dgoe]

Hallo Ralf,

interessant! Also n o n = n war klar, habe ich nur nicht in eine neue Zeile geschrieben, nur b o a = a raffiniert... Da wäre ich nicht drauf gekommen, vielmehr als einen Widerspruch empfunden. Aber ich hab verstanden, was du oben geschrieben hast

n = a' o (b o a)

Also ist a' das inverse Element von (b o a) und wegen der Eindeutigkeit des inversen Elementes gilt auch n = a' o a, also muss gelten:

b o a = a

Und nun kommt die Eindeutigkeit des Neutralelementes, also muss b = n sein.

Also gilt: a o a' = b = n, also a o a' = n, was wir zeigen wollten.

Hehe.

Gruß,
Dgoe

[ralfkannenberg]

b o a = a raffiniert... Da wäre ich nicht drauf gekommen

Hallo Dgoe,

das ist nicht vom Himmel gefallen, das hat mir vor langer Zeit auch mal jemand gesagt.


Freundliche Grüsse, Ralf