endlich viele natürliche Zahlen

[ralfkannenberg]

Hallo zusammen,

ich möchte jetzt weitermachen.

Wir haben die Gruppenaxiome definiert:

Definition:

Eine Menge M zusammen mit einer Operation o heisst Gruppe, wenn folgende 4 Gruppenaxiome erfüllt sind:

(1) Die Menge ist gegen o abgeschlossen, d.h. für alle a,b in M gilt: a o b ebenfalls in M
(2) Die Operation o ist assoziativ, d.h. a o (b o c) = (a o b) o c
(3) Die Operation o hat genau ein Neutralelement n, d.h. n o a = a für alle a in M
(4) Zu jedem Element a in M gibt es genau ein inverses Element a' so dass gilt: a' o a = n (n ist das Neutralelement)

Bemerkung: die Operation o spricht man "Kringel" aus, also a o b nennt man "a Kringel b"

Oben fehlt noch, dass (2) für alle a,b,c in M gelten muss.

Zudem haben wir bewiesen, dass in einer Gruppe stets gilt:
Korollar 1: Sei n das Neutralelement einer Gruppe. Dann gilt: a o n = a für alle a
Korollar 2: Sei a' das inverse Element eines beliebigen Gruppen-Elementes a. Dann gilt: a o a' = n


Definition: Eine Gruppe heisst kommutativ oder abel'sch, wenn zusätzlich gilt:
(5) Die Operation o ist kommutativ, d.h. a o b = b o a für alle a,b in M


Definition:

Eine Menge M zusammen mit zwei Operationen o und x heisst Ring, wenn folgende Ringaxiome erfüllt sind:

(1) Die Menge ist gegen o abgeschlossen, d.h. für alle a,b in M gilt: a o b ebenfalls in M
(2) Die Operation o ist assoziativ, d.h. a o (b o c) = (a o b) o c für alle a,b,c in M
(3) Die Operation o hat genau ein Neutralelement n, d.h. n o a = a für alle a in M
(4) Zu jedem Element a in M gibt es genau ein inverses Element a' so dass gilt: a' o a = n (n ist das Neutralelement)

(5) Die Operation o ist kommutativ, d.h. a o b = b o a für alle a,b in M

(6) Die Menge ist gegen x abgeschlossen, d.h. für alle a,b in M gilt: a x b ebenfalls in M
(7) Die Operation x ist assoziativ, d.h. a x (b x c) = (a x b) x c für alle a,b,c in M
(8) Die Operationen o und x sind links-distributiv: a x (b o c) = (a x b) o (a x c)
(9) Die Operationen o und x sind rechts-distributiv: (a o b) x c = (a x c) o (b x c)


Bemerkungen:
1. Sei die Menge M zusammen mit den Operationen o und x ein Ring. Dann gilt: (M, o) ist eine kommutative Gruppe
2. Sei die Menge M zusammen mit den Operationen o und x ein Ring. Dann gilt: (M, x) ist eine Halbgruppe


Definition: Ein Ring heisst Ring mit Einselement, wenn zusätzlich gilt:
(10) Die Operation x hat genau ein Neutralelement e, d.h. e x a = a für alle a in M


Übungsaufgaben:
1. Sei die Menge M zusammen mit den Operationen o und x ein Ring mit Einselement e.
Dann gilt: a x e = a für alle a in M

EDIT 9.8.2013, 13:02 Uhr: geht vermutlich nicht, siehe unten

2. Sei die Menge M mit den Operationen o und x gegeben. Diese Menge sei bezüglich o eine Gruppe und es gelten auch (6)-(9) und (10).
Dann gilt: M ist bezüglich o kommutativ.


Freundliche Grüsse, Ralf


EDIT 9.8.2013, 13:02 Uhr: Dgoe hat mich dankenswerterweise darauf hingeweisen, dass Übungsaufgabe 1 vermutlich falsch ist, da wir bezüglich x keine inversen Elemente haben; momentan tendiere ich zur Vermutung, dass man das Rechts-Neutralelement ebenfalls per definitionem zufügen muss

[Dgoe]

Hallo Ralf,

oha! Das wollte ich auch gerade so definieren

OK. Update in progress...

aus dem Nachbarthread.

Unten sind 2 Übungsaufgaben, du hast nur irgendwie keine Frage formuliert!?

Gruß,
Dgoe

[ralfkannenberg]

Unten sind 2 Übungsaufgaben, du hast nur irgendwie keine Frage formuliert!?

pssst ... - das was nach "Dann gilt:" steht, das ist zu beweisen

[Dgoe]

Übungsaufgaben:
1. Sei die Menge M zusammen mit den Operationen o und x ein Ring mit Einselement e.
Dann gilt: a x e = a für alle a in M

2. Sei die Menge M mit den Operationen o und x gegeben. Diese Menge sei bezüglich o eine Gruppe und es gelten auch (6)-(9) und (10).
Dann gilt: M ist bezüglich o kommutativ.

zu 1.: Ring mit Einselement bedeutet, dass (1) bis (10) gelten. Wenn e x a = a gilt nach (10) und a o b = b o a nach (5), dann muss auch a x e = a gelten.
Weil man es kommutativ drehen darf.

zu 2.: Nein, weil das genau die Bedingung (5) ist, die fehlt und die Bedingungen für die Gruppe bei inkl. (4) enden. EDIT: Es sei denn die (5) folgt aus den anderen, wofür es starke Hinweise gibt, dann JA!

Gruß,
Dgoe

[ralfkannenberg]

Übungsaufgaben:
1. Sei die Menge M zusammen mit den Operationen o und x ein Ring mit Einselement e.
Dann gilt: a x e = a für alle a in M

2. Sei die Menge M mit den Operationen o und x gegeben. Diese Menge sei bezüglich o eine Gruppe und es gelten auch (6)-(9) und (10).
Dann gilt: M ist bezüglich o kommutativ.

zu 1.: Ring mit Einselement bedeutet, dass (1) bis (10) gelten. Wenn e x a = a gilt nach (10) und a o b = b o a nach (5), dann muss auch a x e = a gelten.
Weil man es kommutativ drehen darf.

zu 2.: Nein, weil das genau die Bedingung (5) ist, die fehlt und die Bedingungen für die Gruppe bei inkl. (4) enden.[/quote]
Tut mir leid, zweimal falsch.

Zur Aufgabe 1: zwar wissen wir wegen (5), dass a o b = b o a gilt, wir wissen aber nicht, ob auch a x b = b x a gilt.
Der Beweis geht aber sehr einfach, Du kannst nämlich Korollar 1 nutzen.

Zur Aufgabe 2: rein aus den Bedingungen heraus folgt das - wie Du korrekt geschrieben hast - nicht. Deswegen muss man sich ja die Mühge machen und einen Beweis formulieren.


Freundliche Grüsse, Ralf

[Dgoe]

da hat sich mein EDIT mit deiner Antwort überschnitten, sorry

[ralfkannenberg]

EDIT: Es sei denn die (5) folgt aus den anderen, wofür es starke Hinweise gibt, dann JA!

Na vielen Dank ... - ich kenne einen Mathematiker, der diese "starken Hinweise" erst 25 Jahre nach Abschluss seines Studiums in Erfahrung gebracht hat

[Dgoe]

EDIT: Es sei denn die (5) folgt aus den anderen, wofür es starke Hinweise gibt, dann JA!

Na vielen Dank ...

Hallo Ralf,

die starken Hinweise rühren hierher:

Zwar folgt (5) aus (1)-(4) und (6)-(10), aber das haben wir noch nicht bewiesen, so dass ich - auch als Übung - empfehlen würde, (5) nachzuweisen.

falls es dich beruhigt.
Ich hatte zufällig wohl genau gerade dort gelesen - und als ich gesehen habe, dass hier noch keine Antwort war - als ganz ausgeschlafenes Kerlchen - mich gleich dran gemacht, den Schaden zu minimieren...

ABER, gleichzeitig konnte ich mich ärgern, denn ich hatte vorher JA geantwortet mit der Begründung, dass dies aus den Distributivgesetzen folgt, denn man sieht einmal (a x c) rechts und einmal links. Da jedoch die Gleichungen ansonsten nicht baugleich sind, habe ich das wieder verworfen, obwohl ich mir sicher war, auf meinen Streifzügen irgendwo schon einmal etwas derartiges vernommen zu haben, dass das Kommutative eine Voraussetzung oder eine Folge der Distributivgesetze ist - ich erinnere mich nur schwammig.

Nun, alles Quatsch dachte ich, konnte es so auch nicht beweisen und bin davon ausgegangen, dass die Übungsaufgaben bestimmt erst mal ganz einfache Fragen sind - nicht gleich so ein Klops.

Gruß,
Dgoe

[ralfkannenberg]

ABER, gleichzeitig konnte ich mich ärgern, denn ich hatte vorher JA geantwortet mit der Begründung, dass dies aus den Distributivgesetzen folgt, denn man sieht einmal (a x c) rechts und einmal links. Da jedoch die Gleichungen ansonsten nicht baugleich sind, habe ich das wieder verworfen, obwohl ich mir sicher war, auf meinen Streifzügen irgendwo schon einmal etwas derartiges vernommen zu haben, dass das Kommutative eine Voraussetzung oder eine Folge der Distributivgesetze ist - ich erinnere mich nur schwammig.

Nun, alles Quatsch dachte ich, konnte es so auch nicht beweisen und bin davon ausgegangen, dass die Übungsaufgaben bestimmt erst mal ganz einfache Fragen sind - nicht gleich so ein Klops.

Hallo Dgoe,

ganz im Gegenteil, das wird wohl neben der Existenz des Einselementes in den Beweis prominent einfliessen.

Ich gehe ja morgen in die Ferien (vermutlich weitgehend offline) und werde dort den Beweis mal näher anschauen. "Näher anschauen" heisst, wo genau man welches Ringaxiom benötigt.


Freundliche Grüsse, Ralf

[Dgoe]

Hallo Ralf,

viel Spaß und gute Erholung wünsche ich dir/(euch?)!

Ich finde, da 1*1=1 ist, kann man die Einsen drehen und wenden wie man will, sie sind ja baugleich - und damit kommutativ!

Gruß,
Dgoe