Dgoe hat geschrieben:könnte man nicht rein theoretisch ein Set an Axiomen nur für unsere Zwecke (Einer und Ziffernblatt) entwickeln, das womöglich noch minimaler ist, und dann entsprechend damit die Beweise führen, um sich den Umweg über die ganzen Zahlen zu ersparen,
pssst - es ist kein "Umweg", es ist der Weg !
Dgoe hat geschrieben:bzw. ohne genötigt zu sein ein womöglich unnötig größeres Axiomensystem zu nutzen? Jetzt eher puristisch gedacht, als wie alles andere. Vielleicht kommt es ja auch dennoch auf das selbe raus und ist von daher unsinnig.
An sich ist es etwas typisch Mathematisches: man hat zwei Mengen und zeugt, dass diese genügend ähnlich sind.
Nun will man in der einen Menge etwas zeigen, was sich aber in der anderen Menge einfacher zeigen lässt. Also definiert man sich zwei Abbildungen zwischen den beiden Mengen und beweist umständlich, dass diese Abbildungen genügend schöne Eigenschaften haben. Dann führt man den Beweis in der zweiten Menge, wo er einfacher geht, aus und kann dann daraus auf die Gültigkeit in der ersten Menge schliessen.
Bei einfachen Mengen sieht diese Methodik natürlich sehr umständig und irgendwie auch überflüssig aus, aber bei so richtig komplizierten Mengen ist das oftmals die einzige Möglichkeit, sowas zu beweisen, so dass sich der Mehraufwand lohnt, nachzuweisen, dass die beiden Abbildungen zwischen den beiden Mengen genügend schöne Eigenschaften haben.
An sich machen wir das hier ja auch so: wir haben die Abbildung, die von einem Einer das Original erzeugt sowie die Abbildung, die das Original auf den Einer abbildet. - Wobei wir uns hier sogar darauf beschränken können, zu wissen, dass es so ein Original gab, ohne es explizit angeben zu brauchen.
Mit diesem "Trick" können wir das die Assoztiativgesetze der Addition und der Muliplikation, die Kommutativgesetze der Addition und der Muliplikation und die beiden Distributivgesetze, dasjenige von links und dasjenige von rechts, mit ein und demselben Beweis nachweisen, weil wir ja wissen, dass alle diese Gesetze in den ganzen Zahlen gültig sind.
Ok, warum die bei den ganzen Zahlen gültig sind, das ist dann wieder eine andere Sache, aber hier dürfen wir das nutzen. Bei den ganzen Zahlen läuft das dann jedesmal letztlich darauf hinaus, dass
1. die Nachfolger von Peano-Axiom-definierten Mengen eben eindeutig sind, und man
2. das Startelement genügend klein setzen kann, so dass man stets mehr Nachfolger als Vorgänger hat
Freundliche Grüsse, Ralf