ralfkannenberg hat geschrieben:Lemma 2: Sei S ein Ring mit der zusätzlichen Eigenschaft, dass es ein Element 1 gibt, so dass für alle Ringelemente a gilt: 1*a=a
Dann gilt: die Menge T aller a*1 bildet einen Unterring mit Einselement von links und von rechts
Beweis:
Man muss nur die Abgeschlossenheit bezüglich der Addition und der Multiplikation sowie die Existenz eines additiven Inversen zeigen. Die übrigen Gesetze sind schon in S gültig, insbesondere auch im Spezialfall der Teilmenge T.
(1): seien a,b in T => a=a*1 und b=b*1. Zu zeigen: a+b in T: a+b = a*1 + b*1 = (a+b)*1, was zu zeigen war
(4): sei a in T, => a=a*1. Zu zeigen: auch (-a) in T: 0 = -(a*1) + (a*1) = (-a*1) + a und das muss wegen der Eindeutigkeit des inversen Elementes gleich -a sein.
(6): seien a,b in T => a=a*1 und b=b*1. Zu zeigen: a*b in T: a*b = (a*1) * (b*1) = a*(1*b)*1 = (a*b)*1, da 1*b=b.
Dass für alle Elemente a aus T gilt: a*1=a ist trivial, denn T wurde ja gerade so definiert. Damit ist der Beweis von Lemma 2 abgeschlossen.
Hallo zusammen,
das ist im Allgemeinen leider falsch - die Teilmenge könnte auch der triviale Nullring sein, der nur aus dem Nullelement der Addition besteht (man kann sich darüber streiten, ob man diese Struktur noch als Ring bezeichnen sollte). Alle obigen EIgenschaften sind erfüllt, trotzdem hat der triviale Nullring keine Einselemente, weder von links noch von rechts.
Der Irrtum kommt daher, dass 0*x immer gleich 0 ist, weil die 0 alles auf 0 abbildet. Insbesondere werden auch allfällige Einselemente auf die Null abgebildet; aber davon, dass die Null auf sich selber abgebildet wird, daraus zu schliessen, dass ein Einselement vorliegt, ist im Allgemeinen natürlich falsch.
Somit lautet Lemma 2 wie folgt:
Lemma 2: Sei S ein Ring mit der zusätzlichen Eigenschaft, dass es ein Element 1 gibt, so dass für alle Ringelemente a gilt: 1*a=a
Dann gilt: die Menge T aller a*1 ist der triviale Nullring oder er bildet einen Unterring mit Einselement von links und von rechts
Freundliche Grüsse, Ralf