ALLTOPIC

Hallo Ralf,

kann ja mal passieren..., ich weiß so ad hock aber auch keinen Rat. Das muss ich erst mal überhaupt korrekt nachvollziehen zu versuchen...

Gruß,
Dgoe

Dgoe hat geschrieben:kann ja mal passieren...

Hallo Dgoe,

sowas ist in der Mathematik ein ganz normaler Prozess, dass an sich irrt. Deswegen arbeitet man auch meistens in Teams.

Zu diesem Thema: in dem Buch, nach dem ich gelernt habe ("Algebra" von Bernhard Hornfeck) werden Gruppen via Links-Neutralelement definiert, aber für Ringe mit Einselement wird für das Xsen ein Links- und ein Rechts-Einselement gefordert ! - Dennoch kommt mir der Gedanke, dass es Nullteiler mit einer Linkseins auf der rechten Seite im Produkt geben soll, zumindest intuitiv absurd vor. Ich werde weiter daran arbeiten; das Resultat, dass die Teilmenge aller r*1 sogar einen Unterring mit Einselement (von beiden Seiten bildet), wenn er nicht nur aus dem trivialen Nullring besteht, scheint mir ein hoffnungsvoller Ansatz.


Freundliche Grüsse, Ralf


EDIT: 13.August 2013, 11:51 Uhr: Korrektur angebracht, da Lemma 2 auch den trivialen Nullring als Ergebnis zulässt

ralfkannenberg hat geschrieben:Lemma 2: Sei S ein Ring mit der zusätzlichen Eigenschaft, dass es ein Element 1 gibt, so dass für alle Ringelemente a gilt: 1*a=a
Dann gilt: die Menge T aller a*1 bildet einen Unterring mit Einselement von links und von rechts

Beweis:
Man muss nur die Abgeschlossenheit bezüglich der Addition und der Multiplikation sowie die Existenz eines additiven Inversen zeigen. Die übrigen Gesetze sind schon in S gültig, insbesondere auch im Spezialfall der Teilmenge T.

(1): seien a,b in T => a=a*1 und b=b*1. Zu zeigen: a+b in T: a+b = a*1 + b*1 = (a+b)*1, was zu zeigen war
(4): sei a in T, => a=a*1. Zu zeigen: auch (-a) in T: 0 = -(a*1) + (a*1) = (-a*1) + a und das muss wegen der Eindeutigkeit des inversen Elementes gleich -a sein.
(6): seien a,b in T => a=a*1 und b=b*1. Zu zeigen: a*b in T: a*b = (a*1) * (b*1) = a*(1*b)*1 = (a*b)*1, da 1*b=b.

Dass für alle Elemente a aus T gilt: a*1=a ist trivial, denn T wurde ja gerade so definiert. Damit ist der Beweis von Lemma 2 abgeschlossen.

Hallo zusammen,

das ist im Allgemeinen leider falsch - die Teilmenge könnte auch der triviale Nullring sein, der nur aus dem Nullelement der Addition besteht (man kann sich darüber streiten, ob man diese Struktur noch als Ring bezeichnen sollte). Alle obigen EIgenschaften sind erfüllt, trotzdem hat der triviale Nullring keine Einselemente, weder von links noch von rechts.

Der Irrtum kommt daher, dass 0*x immer gleich 0 ist, weil die 0 alles auf 0 abbildet. Insbesondere werden auch allfällige Einselemente auf die Null abgebildet; aber davon, dass die Null auf sich selber abgebildet wird, daraus zu schliessen, dass ein Einselement vorliegt, ist im Allgemeinen natürlich falsch.

Somit lautet Lemma 2 wie folgt:

Lemma 2: Sei S ein Ring mit der zusätzlichen Eigenschaft, dass es ein Element 1 gibt, so dass für alle Ringelemente a gilt: 1*a=a
Dann gilt: die Menge T aller a*1 ist der triviale Nullring oder er bildet einen Unterring mit Einselement von links und von rechts


Freundliche Grüsse, Ralf

ralfkannenberg hat geschrieben:Der Irrtum kommt daher, dass 0*x immer gleich 0 ist, weil die 0 alles auf 0 abbildet. Insbesondere werden auch allfällige Einselemente auf die Null abgebildet; aber davon, dass die Null auf sich selber abgebildet wird, daraus zu schliessen, dass ein Einselement vorliegt, ist im Allgemeinen natürlich falsch.

Hallo zusammen,

nein, das kann nicht passieren, denn weil wir eine Linkseins 1_L haben, gilt immer: 1_L*1_L = 1_L, somit wird nicht jedes Element bei Multiplikation mit der 1_L auf 0 abgebildet.

Somit besteht die Teilmenge aller Ringelemente mit Linkseins, die auf x*1_L abgebildet werden, aus mindestens zwei Elementen {0, 1_L} und kann also nicht der triviale Nullring sein.


Somit war das Lemma 2 in seiner ursprünglichen Fassung richtig, aber man musste noch einen weiteren Beweisschritt zufügen.

Lemma 2: Sei S ein Ring mit der zusätzlichen Eigenschaft, dass es ein Element 1 gibt, so dass für alle Ringelemente a gilt: 1*a=a
Dann gilt: die Menge T aller a*1 ist der triviale Nullring oder er bildet einen Unterring mit Einselement von links und von rechts


Freundliche Grüsse, Ralf

Hallo Ralf,

ich seh' schon, so ein Prozess birgt so seine Untiefen, paar mal drüber schlafen (>1x) scheint da wohl manchmal ganz hilfreich zu sein. Verstehe nun besser, was du meinst mit "ich arbeite dran"!
Danke für die Einblicke, sozusagen in Echtzeit, für den Blick über die Schulter und die offene Art...

An dieses rechts und links muss ich mich erst gewöhnen, die Spielregeln sind mir nicht alle so klar.

Gruß,
Dgoe

Mache gerade auch etwas Urlaub - Fortsetzung folgt!
dgoe

Dgoe hat geschrieben:Mache gerade auch etwas Urlaub - Fortsetzung folgt!

Und - gut erholt ?

Hallo Ralf,

ja, danke - und selber? Alles soweit prima ansonsten, nur etwas chaotisch alles noch. War ja schon noch etwas sporadisch aktiv - online, wie Du schon bemerkt hast. Am Wochenende wollte ich mich dann auch hier weiter widmen, muss mich erst mal wieder reindenken...

Gruß,
Dgoe

Dgoe hat geschrieben:Am Wochenende wollte ich mich dann auch hier weiter widmen, muss mich erst mal wieder reindenken...

Hallo Dgoe,

keine Eile, wir können ja problemlos dort fortfahren, wo wir aufgehört haben.


Freundliche Grüsse, Ralf

ja. keine Sorge - das und der der vernachlässigste Bilinerarform-Thread sind meine Lieblingsthreads