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von Dgoe » Mittwoch 7. August 2013, 12:56
explizit vorrechnen
von ralfkannenberg » Mittwoch 7. August 2013, 13:12
Dgoe hat geschrieben:explizit vorrechnen
also ob ich es geahnt hätte...
Aber Spaß beiseite, mache ich, ich habe aber leider auch nicht viel Zeit, deshalb kann ich erst abends wieder on gehen - ich finde es aber nicht wichtig, ob wir vor Dienstag fertig sind oder nicht. Ich muss eher aufpassen genug Zeit zum Arbeiten zu reservieren, da ich es mir selber einteilen kann.
von Dgoe » Mittwoch 7. August 2013, 17:04
ralfkannenberg hat geschrieben:und nun machen wir es auch hier noch richtig; der Beweis, wie ich ihn hier führe, wäre übrigens der korrekte, auch wenn man ein Ziffernblatt mit nur 10 "Uhrzeiten" bauen könnte und den Beweis vom Ziffernblatt entsprechend anwenden.
Also wir haben 3 Einer e,f und g.
Jeder dieser Einer hatte ja einen Ursprung, der mit der Einerfunktion auf den Einer abgebildet wurde:
E(j) = e
E(k) = f
E(l) = g
Somit gibt es ganze Zahlen u, v und w, so dass gilt:
j = u*10 + e
k = v*10 + f
l = w*10 + g
Wir wissen, dass gilt j+(k+l) = (j+k)+l.
Nun rechnen wir einfach mal nach:
e+(f+g) = j+(k+l) - (u+v+w)*10 = (j+k)+l - (u+v+w)*10 = (e+f)+g
Da Vielfache von 10 bei den Einern keine Rolel spielen, brauchen wir uns für die Klammerung des Terms - (u+v+w)*10 nicht zu kümmern.
Somit ist das Assoziativgesetz der Addition für die Einer im Zehnersystem bewiesen.
Dgoe hat geschrieben:Tja hm,
gefällt mir irgendwie nicht, wo ist denn jetzt der Beweis dabei?
Dgoe hat geschrieben:da wir dies haben:ralfkannenberg hat geschrieben:Beweis Gültigkeit Assoziativgesetz der Addition für Uhrzeiten auf dem Ziffernblatt
...könnte ich es mal analog dazu versuchen.
Dgoe hat geschrieben:So oder so, hier mal:
Das Assoziativgesetzes für die Addition der Einser E(x) ist zu beweisen.
Wenn wir zu dem Neutralelement j addieren, so haben wir j(10). Analog rückwärts, dann muss man halt jedesmal noch 10 addieren.
Ok, wenn wir also wissen wollen, was (j+k) ist, so addieren wir j und addieren danach k.
Und wenn wir wissen wollen, was (j+k+l) ist, so addieren j und danach k und danach l.
Naja, und ob wir jetzt (j+k)+l addieren oder j+(k+l) ist egal, denn in den ganzen Zahlen gilt das Assoziativgesetz.
Und den Beweis für die ganzen Zahlen können wir nun auch hier entnehmen.
Damit ist die Gültigkeit des Assoziativgesetzes für die Addition der Einser E(x) bewiesen.
ralfkannenberg hat geschrieben:...
äh mja hmmm ...
Sagen wir es mal so: wenn Du das richtige meinst ist der Beweis richtig. Das mit dem Neutralelement zu j addiren verstehe ich jetzt nicht direkt, aber das mit dem "dann muss man haklt jedesmal noch 10 addieren" ist an sich dere Schritt, den es braucht, um die Einer vom Zehnersystem auf die ganzen Zahlen zurückzuführen.
Lassen wir den Beweis so stehen, wenn jemand reklamiert kann man ja nochmals darauf zurückkommen.
ralfkannenberg hat geschrieben:ich reklamiere !!
Und zwar deswegen, weil irgendwie noch zuwenig der Bezug zwischen den ganzen Zahlen und den Einern im Zehnersystem klar geworden ist. Zu diesem Ergebnis bin ich übrigens schon heute während meiner Wanderung gekommen, also bevor ich den obigen Eintrag gesehen habe. Denn der Beweis des Assoziativgesetzes ist nur so irgendwie richtig und das gefällt mir nicht so recht.
Und mir ist eben aufgefallen, dass das Problem eigentlich weniger das Assoziativgesetz als eben vielmehr der Zusammenhang zwischen den ganzen Zahlen und den Einern im Zehnersystem ist.
Wir erinnern uns, dass wir zu Beginn die Einerfunktion E(j) definiert haben, die jeder ganzen Zahl j ihren Einer zuordnet. Das ist eigentlich ziemlich banal, denn das ist einfach die letzte Stelle der Zahl.
Doch wie geht es nun umgekehrt, d.h. wie kann man aus dem Einer wieder auf das Original, also auf die ursprüngliche ganze Zahl schliessen ? Nun, die Antwort ist einfach: gar nicht. Was ja nicht schlimm ist, da wir uns in diesem Zusammenhang nur für die Einer interessieren und nicht für die Ziffern, die "davor" stehen.
Manchmal ist es aber nützlich, sich wieder auf die Originale zu beziehen. Auch wenn man sie nicht konkret kennt, so weiss man doch das folgende:
Sei e der Einer und j sein Original.
Dann gilt: es gibt eine ganze Zahl u, so dass gilt: j = u*10 + e.
Es genügt nämlich völlig zu wissen, dass u*10 durch 10 teilbar ist; das sind ja die Zehner, Hunderter, Tausender usw. und die sind ja alle durch 10 teilbar. Der Einer e ist anschaulich gesprochen der Anteil von j, der nicht durch 10 teilbar ist, also der "Rest", der übrigbleibt. Deswegen übrigens spricht man auch von "Restklassen".
Wir wollen nun also noch einmal den Beweis ansetzen, dass die Einer im Zehnersystem bezüglich der Addition assoziativ sind.
Zu zeigen: e+(f+g) = (e+f)+g
Nun muss man über die Originale gehen, dort gilt das Assoziativgesetz und daraus kann man dann auf die Gültigkeit des Assoziativgesetzes der Einer im Zehnersystem schliessen.
Sei j das Original von e dann gilt: es gibt eine Zahl u so, dass gilt: j = 10*u + e
Sei k das Original von f dann gilt: es gibt eine Zahl v so, dass gilt: k = 10*v + f
Sei l das Original von g dann gilt: es gibt eine Zahl w so, dass gilt: l = 10*w + g
Wir betrachten nun die Gleichung e+(f+g) in der Welt der Originale, also in IZ:
j+(k+l) = 10*u + e + (10*v + f + 10*w + g) = 10*(u+v+w) + e+(f+g); ich darf beliebig klammern, denn in IZ ist die Addition ja assoziativ
(j+k)+l = (10*u + e + 10*v + f) + 10*w + g = 10*(u+v+w) + (e+f)+g; ich darf beliebig klammern, denn in IZ ist die Addition ja assoziativ
Da wegen der Gültigkeit des Assoziativgesetzes gilt: j+(k+l) = (j+k)+l,
gilt auch: 10*(u+v+w) + e+(f+g) = 10*(u+v+w) + (e+f)+g
Und da E(10*(u+v+w)) als Vielfaches von 10 den Wert 0 hat, wird daraus in der Welt der Einer im Zehnersystem:
0(10) + e+(f+g) = 0(10) + (e+f)+g, also e+(f+g) = (e+f)+g, was zu zeigen war.
ralfkannenberg hat geschrieben:...
leider ist obige Ausführung noch etwas gar ungenau, weil die Rückführung von den ganzen Zahlen auf die Einer zu unklar ausformuliert ist.
Also nocheinmal:ralfkannenberg hat geschrieben:Wir wollen nun also noch einmal den Beweis ansetzen, dass die Einer im Zehnersystem bezüglich der Addition assoziativ sind.
Zu zeigen: e+(f+g) = (e+f)+g
Die Beweisidee wird also die sein, dass wir die Originale dieser beiden Ausdrücke studieren.ralfkannenberg hat geschrieben:Nun muss man über die Originale gehen, dort gilt das Assoziativgesetz und daraus kann man dann auf die Gültigkeit des Assoziativgesetzes der Einer im Zehnersystem schliessen.
Das ist zu wischi waschi formuliert.
Wir werden nämlich ganz konkret zeigen, dass die Originale dieser beiden Ausdrücke, also e+(f+g) sowie (e+f)+g, gleich sind.ralfkannenberg hat geschrieben:Sei j das Original von e dann gilt: es gibt eine Zahl u so, dass gilt: j = 10*u + e
Sei k das Original von f dann gilt: es gibt eine Zahl v so, dass gilt: k = 10*v + f
Sei l das Original von g dann gilt: es gibt eine Zahl w so, dass gilt: l = 10*w + g
Wir betrachten nun die Gleichung e+(f+g) in der Welt der Originale, also in IZ:
j+(k+l) = 10*u + e + (10*v + f + 10*w + g) = 10*(u+v+w) + e+(f+g); ich darf beliebig klammern, denn in IZ ist die Addition ja assoziativ
(j+k)+l = (10*u + e + 10*v + f) + 10*w + g = 10*(u+v+w) + (e+f)+g; ich darf beliebig klammern, denn in IZ ist die Addition ja assoziativ
Da wegen der Gültigkeit des Assoziativgesetzes gilt: j+(k+l) = (j+k)+l
Etwas einfacher formuliert: wir haben nachgewiesen, dass die Originale gleich sind (mithilfe der Gültigkeit des Assoziativgesetzes der Addition für die ganzen Zahlen).ralfkannenberg hat geschrieben:gilt auch: 10*(u+v+w) + e+(f+g) = 10*(u+v+w) + (e+f)+g
Und da E(10*(u+v+w)) als Vielfaches von 10 den Wert 0 hat, wird daraus in der Welt der Einer im Zehnersystem:
0(10) + e+(f+g) = 0(10) + (e+f)+g, also e+(f+g) = (e+f)+g, was zu zeigen war.
Und das ist Blödsinn, denn es ist wieder wischi waschi.
Dabei ist das Argument trivial: wenn die Originale gleich sind, dann sind natürlich auch ihre Einer gleich.
Und da der Einer vom einen Original e+(f+g) ist, und vom anderen Original (e+f)+g ist, und weil die Originale gleich sind, sind auch die Einer gleich, also:
e+(f+g) = (e+f)+g
Das war zu zeigen und jetzt ist der Beweis (endlich) korrekt.
Ich fasse das nochmal zusammen:
wir haben zwei Einer e+(f+g) und (e+f)+g, diese haben je ein Original; aufgrund der Gültigkeit des Assoziativgesetzes der Addition für die ganzen Zahlen sind die Originale gleich - das haben wir oben nachgerechnet. Und zwei ganze Zahlen, die gleich sind, haben trivialerweise denselben Einer, somit müssen e+(f+g) und (e+f)+g gleich sein.
joa, ich pick mir dann mal was raus, durchblicken tue ich ja mittlerweile halbwegs, behaupte ich (noch) mal...von ralfkannenberg » Mittwoch 7. August 2013, 18:23
Dgoe hat geschrieben:
von Dgoe » Mittwoch 7. August 2013, 18:52
Ralf hat geschrieben:
Zu zeigen: e+(f+g) = (e+f)+g
Die Beweisidee wird also die sein, dass wir die Originale dieser beiden Ausdrücke studieren.
Wir werden nämlich ganz konkret zeigen, dass die Originale dieser beiden Ausdrücke, also e+(f+g) sowie (e+f)+g, gleich sind.Sei j das Original von e dann gilt: es gibt eine Zahl u so, dass gilt: j = 10*u + e
Sei k das Original von f dann gilt: es gibt eine Zahl v so, dass gilt: k = 10*v + f
Sei l das Original von g dann gilt: es gibt eine Zahl w so, dass gilt: l = 10*w + g
Wir betrachten nun die Gleichung e+(f+g) in der Welt der Originale, also in IZ:
j+(k+l) = 10*u + e + (10*v + f + 10*w + g) = 10*(u+v+w) + e+(f+g); ich darf beliebig klammern, denn in IZ ist die Addition ja assoziativ
(j+k)+l = (10*u + e + 10*v + f) + 10*w + g = 10*(u+v+w) + (e+f)+g; ich darf beliebig klammern, denn in IZ ist die Addition ja assoziativ
Da wegen der Gültigkeit des Assoziativgesetzes gilt: j+(k+l) = (j+k)+l
Etwas einfacher formuliert: wir haben nachgewiesen, dass die Originale gleich sind (mithilfe der Gültigkeit des Assoziativgesetzes der Addition für die ganzen Zahlen).
...
Dabei ist das Argument trivial: wenn die Originale gleich sind, dann sind natürlich auch ihre Einer gleich.
Und da der Einer vom einen Original e+(f+g) ist, und vom anderen Original (e+f)+g ist, und weil die Originale gleich sind, sind auch die Einer gleich, also:
e+(f+g) = (e+f)+g
Das war zu zeigen und jetzt ist der Beweis (endlich) korrekt.
Ralf hat geschrieben:Ich fasse das nochmal zusammen:
wir haben zwei Einer e+(f+g) und (e+f)+g, diese haben je ein Original; aufgrund der Gültigkeit des Assoziativgesetzes der Addition für die ganzen Zahlen sind die Originale gleich - das haben wir oben nachgerechnet. Und zwei ganze Zahlen, die gleich sind, haben trivialerweise denselben Einer, somit müssen e+(f+g) und (e+f)+g gleich sein.
Ralf hat geschrieben:Also:
1. Behauptung bei den Einern
2. Rückführung auf Originale
3. für die Originale beweisen - also wir dürfen benutzen, dass es dort, d.h. für die ganzen Zahlen, gültig ist
4. wenn zwei Originale gleich sind, so sind auch ihre Einer gleich
von Dgoe » Mittwoch 7. August 2013, 20:57
(5) Die Operation o ist kommutativ, d.h. a o b = b o a für alle a,b in M
von ralfkannenberg » Mittwoch 7. August 2013, 23:27
Dgoe hat geschrieben:Der Beweis zu (5), analog zu (2)(5) Die Operation o ist kommutativ, d.h. a o b = b o a für alle a,b in M
Zu zeigen: a o b = b o a
(hier: Kringel o steht für Addition, x für Multiplikation)
von Dgoe » Donnerstag 8. August 2013, 01:03
von Dgoe » Donnerstag 8. August 2013, 01:24
Ralf hat geschrieben:der Beweis ist soweit ok
von ralfkannenberg » Donnerstag 8. August 2013, 17:21
Dgoe hat geschrieben:Das Allgemeine leuchtet mir auch noch nicht wirklich ein, ich sehe da eben auch keine Verallgemeinerungsmöglichkeit, bis auf den Willen bestenfalls.
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