Hallo Dgoe,
die drucke ich mir aus und schaue ich mir in einer ruhigen Minute an.
Da Du aber auch (8) gemacht hast könntest Du inzwischen den auch mal beim Ziffernblatt durchführen.
Freundliche Grüsse, Ralf
Moderatoren: Guhrfisch, nocheinPoet
Dgoe hat geschrieben:Die Zusammenfassung:
wir haben zwei Einer e*(f*g) und (e*f)*g, diese haben je ein Original; aufgrund der Gültigkeit des Assoziativgesetzes der Multiplikation für die ganzen Zahlen sind die Originale gleich - das haben wir oben nachgerechnet. Und zwei ganze Zahlen, die gleich sind, haben trivialerweise denselben Einer, somit müssen e*(f*g) und (e*f)*g gleich sein.
Dgoe hat geschrieben:j*(k+l) = (10*u + e) * ((10*v + f) + (10*w + g)) = 10*(u*(v+w)) + e*(f+g); ich darf das, denn in IZ gilt das Distributivgesetz.
(j*k)+(j*l) = ((10*u + e) * (10*v + f)) + ((10*u + e) * (10*w + g)) = 10*((u*v)+(u*w)) + (e*f)+(e*g); ich darf das, denn in IZ gilt das Distributivgesetz.
Dgoe hat geschrieben:Die Zusammenfassung:
wir haben zwei Einer e*(f+g) und (e*f)+(e*g), diese haben je ein Original; aufgrund der Gültigkeit des Distributivgesetzes für die ganzen Zahlen sind die Originale gleich - das haben wir oben nachgerechnet. Und zwei ganze Zahlen, die gleich sind, haben trivialerweise denselben Einer, somit müssen e*(f+g) und (e*f)+(e*g) gleich sein.
ralfkannenberg hat geschrieben:ich denke, diese beiden Gleichungen darf man für den stillen Mitleser, der nicht so bewandert in Mathematik ist, ruhig mal genauer ausführen
Dgoe hat geschrieben:100(u(v+w) + 10(u(f+g)+e(v+w)) + e(f+g)
Dgoe hat geschrieben:Die letzte Zeile ist eigentlich überflüssig, man erkennt schon an der vorletzten deutlich, dass die Einer am Ende zu hinzuaddiert werden und zuvor immer alles mit 10 oder einer Potenz multipliziert wird, so dass die Einerstelle 0 ist.
Ist das besser?
Dgoe, vorletzte Zeile hat geschrieben:100(uv+uw) + 10(uf+ve+ug+we) + e(f+g)
Dgoe hat geschrieben:schade dass ich da nicht selber drauf gekommen bin.
Dgoe hat geschrieben:Beweis von(8) Die Operationen o und x sind links-distributiv: a x (b o c) = (a x b) o (a x c)
für die Einer E(x) im Zehnersystem.
Zu zeigen: e*(f+g) = (e*f)+(e*g)
Die Beweisidee wird also die sein, dass wir die Originale dieser beiden Ausdrücke studieren.
Wir werden nämlich ganz konkret zeigen, dass die Originale dieser beiden Ausdrücke, also e*(f+g) sowie (e*f)+(e*g), gleich sind.
Sei j das Original von e dann gilt: es gibt eine Zahl u so, dass gilt: j = 10*u + e
Sei k das Original von f dann gilt: es gibt eine Zahl v so, dass gilt: k = 10*v + f
Sei l das Original von g dann gilt: es gibt eine Zahl w so, dass gilt: l = 10*w + g
Wir betrachten nun die Gleichung e*(f+g) in der Welt der Originale, also in IZ:
j*(k+l) = (10*u + e) * ((10*v + f) + (10*w + g)) = ((10*u + e) * (10*v + f)) + ((10*u + e) * (10*w + g)); ich darf das, denn in IZ gilt das Distributivgesetz.
(j*k)+(j*l) = ((10*u + e) * (10*v + f)) + ((10*u + e) * (10*w + g)) wie oben, da wegen der Gültigkeit des Distributivgesetzes gilt: j*(k+l) = (j*k)+(j*l)
Auf die Einer zurückführen:
(10*u + e) * ((10*v + f) + (10*w + g)) =
(10*u + e) * (10*v + f) + (10*u + e) * (10*w + g) =
10u10v+10uf+10ve+ef + 10u10w+10ug+10we+eg =
100uv+10uf+10ve+ef+100uw+10ug+10we+eg = (umsortieren)
100uv+100uw + 10uf+10ve+10ug+10we + ef+eg =
100(uv+uw) + 10(uf+ve+ug+we) + e(f+g) =
10*10(uv+uw) + 10(uf+ve+ug+we) + e(f+g) =
10*(10(uv+uw) + (uf+ve+ug+we)) + e(f+g)
Etwas einfacher formuliert: wir haben nachgewiesen, dass die Originale gleich sind (mithilfe der Gültigkeit des Distributivgesetzes für die ganzen Zahlen).
Dabei ist das Argument trivial: wenn die Originale gleich sind, dann sind natürlich auch ihre Einer gleich.
Und da der Einer vom einen Original e*(f+g) ist, und vom anderen Original (e*f)+(e*g) ist, und weil die Originale gleich sind, sind auch die Einer gleich, also:
e*(f+g) = (e*f)+(e*g)
Was zu zeigen war.
Die Zusammenfassung:
wir haben zwei Einer e*(f+g) und (e*f)+(e*g), diese haben je ein Original; aufgrund der Gültigkeit des Distributivgesetzes für die ganzen Zahlen sind die Originale gleich - das haben wir oben nachgerechnet. Und zwei ganze Zahlen, die gleich sind, haben trivialerweise denselben Einer, somit müssen e*(f+g) und (e*f)+(e*g) gleich sein.
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