das Zehnersystem

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das Zehnersystem

Beitragvon ralfkannenberg » Donnerstag 13. Juni 2013, 14:42

Hallo zusammen,

jeder von uns kann im Zehnersystem rechnen. Und keine Angst - in diesem Thread bleiben wir im Zehnersystem, auch wenn er als Parallelthread zum Smalltalk-Thread endlich viele natürliche Zahlen gedacht ist. Und zwar als Hilfe, wenn wir nicht mehr durchblicken und ein leicht verständliches Beispiel benötigen.

Das Zehnersystem ist also auf unserer Seite und wird uns helfen !


Unsere Ausgangsmenge ist der IZ, das ist der Ring der ganzen Zahlen, also { ..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}.

Nun benötigen wir eine Funktionen, nämlich die Einerfunktion E, die jeder ganzen Zahl nur ihren Einer zuweist, also E(1) = 1, E(28)=8.

Als erstes stellen wir fest, dass E(x+10) = E(x) ist; ich will das jetzt nicht rigoros beweisen, man sieht das an sich ganz einfach:
E(38) = 8, und E(28) ist auch 8.

Satz 1: E(x+10) = E(x)

Der Bequemlichkeit halber betrachten wir die Einerfunktion nur für nicht-negative ganze Zahlen, da das für unsere nachfolgenden Gedanken völlig genügend ist. Und sollte es uns doch mal wider Erwarten über den Weg laufen, so addieren wir einfach die Zahl 10, dann stimmt es wie wir ja von Satz 1 wissen auch wieder:

E(-1) liefert dann E(-1 + 10) = E(9), also 9. Das macht auch Sinn, denn -1 ist um 9 grösser als der nächst kleinere Zehner, und das ist ja -10.
E(-2) liefert dann E(-2 + 10) = E(8), also 8. Das macht auch Sinn, denn -2 ist um 8 grösser als der nächst kleinere Zehner, und das ist ja -10.

Aber wie gesagt: wir werden die Einerfunktion E(x) meistens nur für nicht-negative Zahlen verwenden.

Nun führen wir zusätzlich zu unseren vier Grundrechenarten noch vier parallele Grundrechenarten ein, die wir mit einem Präfix M- kennzeichnen, also:

M-Addition
M-Subtraktion
M-Multiplikation
M-Division

Nun müssen wir diese noch definieren:

Um diese zu kennzeichnen, schreiben wir das Verknüpfungssymbol in runde Klammern, also (+), (-), (*) und (/).

seien a und b in IZ.

Dann gelte:
a (+) b = E(a+b)
a (-) b = E(a-b)
a (*) b = E(a*b)
a (/) b = E(a/b)

Das genügt mal für den Moment. Fragen ?


Freundliche Grüsse, Ralf
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Re: das Zehnersystem

Beitragvon Der Neandertaler » Donnerstag 13. Juni 2013, 15:02

Hallo Ralf.
ralfkannenberg hat geschrieben:Hallo zusammen,

jeder von uns kann im Zehnersystem rechnen. Und keine Angst - in diesem Thread bleiben wir im Zehnersystem, auch wenn er als Parallelthread zum Smalltalk-Thread endlich viele natürliche Zahlen gedacht ist. Und zwar als Hilfe, wenn wir nicht mehr durchblicken und ein leicht verständliches Beispiel benötigen.

Das Zehnersystem ist also auf unserer Seite und wird uns helfen !


Unsere Ausgangsmenge ist der IZ, das ist der Ring der ganzen Zahlen, also { ..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}.

Nun benötigen wir eine Funktionen, nämlich die Einerfunktion E, die jeder ganzen Zahl nur ihren Einer zuweist, also E(1) = 1, E(28)=8.

Als erstes stellen wir fest, dass E(x+10) = E(x) ist; ich will das jetzt nicht rigoros beweisen, man sieht das an sich ganz einfach:
E(38) = 8, und E(28) ist auch 8.

Satz 1: E(x+10) = E(x)

Der Bequemlichkeit halber betrachten wir die Einerfunktion nur für nicht-negative ganze Zahlen, da das für unsere nachfolgenden Gedanken völlig genügend ist. Und sollte es uns doch mal wider Erwarten über den Weg laufen, so addieren wir einfach die Zahl 10, dann stimmt es wie wir ja von Satz 1 wissen auch wieder:

E(-1) liefert dann E(-1 + 10) = E(9), also 9. Das macht auch Sinn, denn -1 ist um 9 grösser als der nächst kleinere Zehner, und das ist ja -10.
E(-2) liefert dann E(-2 + 10) = E(8), also 8. Das macht auch Sinn, denn -2 ist um 8 grösser als der nächst kleinere Zehner, und das ist ja -10.

Aber wie gesagt: wir werden die Einerfunktion E(x) meistens nur für nicht-negative Zahlen verwenden.

Nun führen wir zusätzlich zu unseren vier Grundrechenarten noch vier parallele Grundrechenarten ein, die wir mit einem Präfix M- kennzeichnen, also:

M-Addition
M-Subtraktion
M-Multiplikation
M-Division

Nun müssen wir diese noch definieren:

Um diese zu kennzeichnen, schreiben wir das Verknüpfungssymbol in runde Klammern, also (+), (-), (*) und (/).

seien a und b in IZ.

Dann gelte:
a (+) b = E(a+b)
a (-) b = E(a-b)
a (*) b = E(a*b)
a (/) b = E(a/b)

Das genügt mal für den Moment. Fragen ?


Freundliche Grüsse, Ralf
Ich finde, Deine Beiträge sind recht gut lesbar und für jemanden wie mich, dessen Schulbesuch recht lang her ist, der etwa mit Physik und Mathematik - wie Du sie vorträgst, in diesem Umfang - heutzutage recht wenig in Berührung kommt, .... dafür sind diese Beiträge recht interessant.
Aber wenn Du daraus nun ein Quiz machst, bin ich verloren.
Wir leben alle unter dem gleichen Himmel, aber wir haben nicht alle den gleichen Horizont.

Die Welt ist so geräumig und der Kopf ist so beschränkt.

Zpět k budoucnosti ke nejlebší čas.


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Re: das Zehnersystem

Beitragvon ralfkannenberg » Donnerstag 13. Juni 2013, 15:14

Der Neandertaler hat geschrieben:Ich finde, Deine Beiträge sind recht gut lesbar und für jemanden wie mich, dessen Schulbesuch recht lang her ist, der etwa mit Physik und Mathematik - wie Du sie vorträgst, in diesem Umfang - heutzutage recht wenig in Berührung kommt, .... dafür sind diese Beiträge recht interessant.

Hallo Neandertaler,

vielen Dank, das freut mich sehr.

Der Neandertaler hat geschrieben:Aber wenn Du daraus nun ein Quiz machst, bin ich verloren.

Ein "Quiz" habe ich ja noch gar nicht veranstaltet, und wenn, dann will ich schon bemüht sein, dieses auf dem Kenntnisstand der Teilnehmer durchzuführen.

Mit Fragen meinte ich nur, ob noch etwas an der Einführung unklar ist. Das möchte ich gerne klären ehe ich dann weiterfahre. - Wobei Du vermutlich schon ahnst: es wird darauf hinauslaufen, dass ich die Einer addiere/subtrahiere/multipliziere/dividiere und die Zehner, Hunderter usw. ignoriere. Die Einerfunktion E(x) ist nur dafür da, das ein bisschen "mathematischer" formulieren.


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Re: das Zehnersystem

Beitragvon Der Neandertaler » Donnerstag 13. Juni 2013, 18:26

Hallo Ralf.
Ich wollte zwar antworten, aber ich laß es besser. Ich les besser leise mit - ich will niemanden stören.
ralfkannenberg hat geschrieben:Wobei Du vermutlich schon ahnst: es wird darauf hinauslaufen, dass ich die Einer ...
Ích wußte es! Jetzt kommt der gemütlichererere Teil ... der amüsantere Teil.
Faszinierend!

Ich les lieber ruhig weiter mit ... sehr ruhig - ich will ja niemanden stören.
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Re: das Zehnersystem

Beitragvon ralfkannenberg » Donnerstag 13. Juni 2013, 18:48

Der Neandertaler hat geschrieben:ich will niemanden stören.
(...)
ich will ja niemanden stören.

Hallo Neandertaler,

wenn ich mich im Kirchenchor hinten reinstelle und in die Noten flüstere werde ich es auch nie lernen.

Zu Ostern und Pfingsten habe ich die Noten mit dem Blatt nach unten auf den Boden gelegt und auswendig gesungen - da gehörte für mich dann schon etwas Mut dazu, das zu tun. Und das ergab im ersten und zweiten Testlauf auch einige Fehler, die ich mit Noten nicht gemacht hätte.

Im Auftritt haben sie mir dann beide Male gratuliert, weil ich die Messe auswendig gesungen habe.


Also: stören tust Du niemanden.


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Re: das Zehnersystem

Beitragvon ralfkannenberg » Freitag 14. Juni 2013, 12:55

ralfkannenberg hat geschrieben:Dann gelte:
a (+) b = E(a+b)
a (-) b = E(a-b)
a (*) b = E(a*b)
a (/) b = E(a/b)

Hallo zusammen,

nachdem wir uns hiermit soweit angefreundet haben möchte ich nun weitermachen. E ist die Einerfunktion, also eine Funktion, die sich nur für die Einer interessiert und alle Zehner, Hunderter u.s.w. ignoriert. Eine solche Ignorierung könnte an sich zu schrecklichen Fehlern führen, d.h. wir müssen ein bisschen überprüfen, dass wir das konsistent und widerspruchsfrei machen dürfen.

Wir wollen mal ein bisschen mit den Einern rechen, um etwas vertraut zu werden; den Formalismus dazu schauen wir uns später an.

Also nehmen wir mal die Zahlen 21 und 12, also erst mal ohne Übertrag, und wir wollen prüfen, ob die Summe der Einer richtig bleibt:

E(21+12) = E(33) = 3
E(21) = 1, E(12) = 2 und ihre Summe ist 3

Alles hier stimmt es.

Nehmen wir noch die Zahlen 28 und 17, um einen Übertrag zu haben:

E(28+17) = E(45) = 5
E(28) = 8, E(17) = 7 und ihre Summe ist 15; der Einer von 15, also E(15) = 5, also das stimmt auch.


Fragen oder Einwände ?

Hat jemand eine Idee, wie man diesen Sachverhalt in eine Formel packen könnte ?


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Re: das Zehnersystem

Beitragvon ralfkannenberg » Montag 17. Juni 2013, 12:36

ralfkannenberg hat geschrieben:Also nehmen wir mal die Zahlen 21 und 12, also erst mal ohne Übertrag, und wir wollen prüfen, ob die Summe der Einer richtig bleibt:

E(21+12) = E(33) = 3
E(21) = 1, E(12) = 2 und ihre Summe ist 3

Alles hier stimmt es.


ralfkannenberg hat geschrieben:Nehmen wir noch die Zahlen 28 und 17, um einen Übertrag zu haben:

E(28+17) = E(45) = 5
E(28) = 8, E(17) = 7 und ihre Summe ist 15; der Einer von 15, also E(15) = 5, also das stimmt auch.


ralfkannenberg hat geschrieben:Hat jemand eine Idee, wie man diesen Sachverhalt in eine Formel packen könnte ?

Hallo zusammen,

ich will das jetzt nicht unnötig spannend machen; wie wäre es denn hiermit:


E(a (+) b) = E(a) (+) E(b)
E(a (-) b) = E(a) (-) E(b)
E(a (*) b) = E(a) (*) E(b)
E(a (/) b) = E(a) (/) E(b)

Könnte das Sinn machen ?

Und lasst Euch vor lauter E's und () nicht einschüchtern: das bedeutet nur, dass wir im Zehnersystem nur die Einer betrachten, d.h. dass wir nur die Einer addieren/subtrahieren/multiplizieren/dividieren und dass wir dann am Ende wieder die richtigen Einer herausbekommen.


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Re: das Zehnersystem

Beitragvon Dgoe » Mittwoch 19. Juni 2013, 10:53

Hallo Ralf,

oder so:

E(a + b) = E(a) + E(b)
E(a - b) = E(a) - E(b)
E(a * b) = E(a) * E(b)
E(a / b) = E(a) / E(b)

?

Gruß,
Dgoe
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Re: das Zehnersystem

Beitragvon ralfkannenberg » Mittwoch 19. Juni 2013, 11:05

Dgoe hat geschrieben:oder so:

E(a + b) = E(a) + E(b)

Hallo Dgoe,

E(7 + 8) = E(15) = 5
E(7) + E(8) = 7+8 = 15

Die sind also nicht gleich.

Obgleich Dein Vorschlag falsch ist ein grosses Lob, denn Dein Vorschlag ist zum korrekten Verständnis sehr wichtig !


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Re: das Zehnersystem

Beitragvon Dgoe » Mittwoch 19. Juni 2013, 11:54

Hallo Ralf,

Danke, und ja stimmt, jetzt wo du es sagst (schreibst), also man müsste noch den Übertrag eliminieren, so dass nur die letzte Ziffer übrig bleibt, was wohl die Klammern bewirken, wie oben definiert...

Oder darf man das nicht so formulieren?

Gruß,
Dgoe

P.S.: leider muss ich los und bin erst wieder abends on. Bis später...
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