Beweis von
(7) Die Operation x ist assoziativ, d.h. a x (b x c) = (a x b) x c für alle a,b,c in M
für die Einer E(x) im Zehnersystem.
Zu zeigen: e*(f*g) = (e*f)*g
Die Beweisidee wird also die sein, dass wir die Originale dieser beiden Ausdrücke studieren.
Wir werden nämlich ganz konkret zeigen, dass die Originale dieser beiden Ausdrücke, also e*(f*g) sowie (e*f)*g, gleich sind.
Sei j das Original von e dann gilt: es gibt eine Zahl u so, dass gilt: j = 10*u + e
Sei k das Original von f dann gilt: es gibt eine Zahl v so, dass gilt: k = 10*v + f
Sei l das Original von g dann gilt: es gibt eine Zahl w so, dass gilt: l = 10*w + g
Wir betrachten nun die Gleichung e*(f*g) in der Welt der Originale, also in IZ:
j*(k*l) = (10*u + e) * ((10*v + f) * (10*w + g)) = 10*(u*v*w) + e*(f*g); ich darf beliebig klammern, denn in IZ ist die Multiplikation ja assoziativ
(j*k)*l = ((10*u + e) * (10*v + f)) * (10*w + g) = 10*(u*v*w) + (e*f)*g; ich darf beliebig klammern, denn in IZ ist die Multiplikation ja assoziativ
Da wegen der Gültigkeit des Assoziativgesetzes gilt: j*(k*l) = (j*k)*l
Etwas einfacher formuliert: wir haben nachgewiesen, dass die Originale gleich sind (mithilfe der Gültigkeit des Assoziativgesetzes der Multiplikation für die ganzen Zahlen).
Dabei ist das Argument trivial: wenn die Originale gleich sind, dann sind natürlich auch ihre Einer gleich.
Und da der Einer vom einen Original e*(f*g) ist, und vom anderen Original (e*f)*g ist, und weil die Originale gleich sind, sind auch die Einer gleich, also:
e*(f*g) = (e*f)*g
Was zu zeigen war.
Die Zusammenfassung:
wir haben zwei Einer e*(f*g) und (e*f)*g, diese haben je ein Original; aufgrund der Gültigkeit des Assoziativgesetzes der Multiplikation für die ganzen Zahlen sind die Originale gleich - das haben wir oben nachgerechnet. Und zwei ganze Zahlen, die gleich sind, haben trivialerweise denselben Einer, somit müssen e*(f*g) und (e*f)*g gleich sein.