das Zehnersystem

[ralfkannenberg]

Hallo Dgoe,

die drucke ich mir aus und schaue ich mir in einer ruhigen Minute an.

Da Du aber auch (8) gemacht hast könntest Du inzwischen den auch mal beim Ziffernblatt durchführen.


Freundliche Grüsse, Ralf

[ralfkannenberg]

Die Zusammenfassung:

wir haben zwei Einer e*(f*g) und (e*f)*g, diese haben je ein Original; aufgrund der Gültigkeit des Assoziativgesetzes der Multiplikation für die ganzen Zahlen sind die Originale gleich - das haben wir oben nachgerechnet. Und zwei ganze Zahlen, die gleich sind, haben trivialerweise denselben Einer, somit müssen e*(f*g) und (e*f)*g gleich sein.

Hallo Dgoe,

der Beweis von (7) ist m.E. korrekt.


Freundliche Grüsse, Ralf

[ralfkannenberg]

j*(k+l) = (10*u + e) * ((10*v + f) + (10*w + g)) = 10*(u*(v+w)) + e*(f+g); ich darf das, denn in IZ gilt das Distributivgesetz.
(j*k)+(j*l) = ((10*u + e) * (10*v + f)) + ((10*u + e) * (10*w + g)) = 10*((u*v)+(u*w)) + (e*f)+(e*g); ich darf das, denn in IZ gilt das Distributivgesetz.

Hallo Dgoe,

ich denke, diese beiden Gleichungen darf man für den stillen Mitleser, der nicht so bewandert in Mathematik ist, ruhig mal genauer ausführen, da Du mir doch etwas gar grosszügig herumklammerst.

Das linke Gleichheitszeichen folgt ja beide Male direkt, aber folgendes - also das rechte Gleichheitszeichen - umfasst doch ein paar weitere Rechenschritte.

Könntest Du bitte deswegen noch folgendes zeigen:

(10*u + e) * ((10*v + f) + (10*w + g)) = 10*(u*(v+w)) + e*(f+g)

((10*u + e) * (10*v + f)) + ((10*u + e) * (10*w + g)) = 10*((u*v)+(u*w)) + (e*f)+(e*g)

Die Zusammenfassung:

wir haben zwei Einer e*(f+g) und (e*f)+(e*g), diese haben je ein Original; aufgrund der Gültigkeit des Distributivgesetzes für die ganzen Zahlen sind die Originale gleich - das haben wir oben nachgerechnet. Und zwei ganze Zahlen, die gleich sind, haben trivialerweise denselben Einer, somit müssen e*(f+g) und (e*f)+(e*g) gleich sein.

Wenn die beiden obigen kleinen Detailrechnungen ausgeführt sind ist der Beweis von (8) m.E. vollständig und korrekt.


Freundliche Grüsse, Ralf

[Dgoe]

ich denke, diese beiden Gleichungen darf man für den stillen Mitleser, der nicht so bewandert in Mathematik ist, ruhig mal genauer ausführen

Hallo Ralf,

besonders da sie falsch sind. Da ist wohl meine Fantasie mit mir durchgegangen.

j*(k+l) = (10*u + e) * ((10*v + f) + (10*w + g)) = ((10*u + e) * (10*v + f)) + ((10*u + e) * (10*w + g)); ich darf das, denn in IZ gilt das Distributivgesetz.

(j*k)+(j*l) = ((10*u + e) * (10*v + f)) + ((10*u + e) * (10*w + g)) wie oben, da wegen der Gültigkeit des Distributivgesetzes gilt: j*(k+l) = (j*k)+(j*l)

Auf die Einer zurückführen:

(10*u + e) * ((10*v + f) + (10*w + g)) =
(10*u + e) * (10*v + f) + (10*u + e) * (10*w + g) =
10u10v+10uf+10ve+ef + 10u10w+10ug+10we+eg =
100uv+10uf+10ve+ef+100uw+10ug+10we+eg = (umsortieren:)
100uv+100uw + 10uf+10ve+10ug+10we + ef+eg =
100(uv+uw) + 10(uf+ve+ug+we) + e(f+g) =
100(u(v+w) + 10(u(f+g)+e(v+w)) + e(f+g)

Die letzte Zeile ist eigentlich überflüssig, man erkennt schon an der vorletzten deutlich, dass die Einer am Ende zu hinzuaddiert werden und zuvor immer alles mit 10 oder einer Potenz multipliziert wird, so dass die Einerstelle 0 ist.

Ist das besser?

Gruß,
Dgoe

[ralfkannenberg]

100(u(v+w) + 10(u(f+g)+e(v+w)) + e(f+g)

Hallo Dgoe,

hier dürfte eine Klammer verloren gegangen sein:

100(u(v+w)) + 10(u(f+g)+e(v+w)) + e(f+g)

Die letzte Zeile ist eigentlich überflüssig, man erkennt schon an der vorletzten deutlich, dass die Einer am Ende zu hinzuaddiert werden und zuvor immer alles mit 10 oder einer Potenz multipliziert wird, so dass die Einerstelle 0 ist.

Ist das besser?

Es ist besser, und nun machen wir es noch ganz richtig. Du hast es ja schon mit der Wortwahl "oder einer Potenz" angedeutet. Echte Zehnerpotenzen haben nämlich die Eigenschaft, dass man 10 ausklammern kann:

Also nochmals:

100(uv+uw) + 10(uf+ve+ug+we) + e(f+g)

100(uv+uw) + 10(uf+ve+ug+we) + e(f+g) =
10*10(uv+uw) + 10(uf+ve+ug+we) + e(f+g) =
10*(10(uv+uw) + (uf+ve+ug+we)) + e(f+g),

das heisst man findet eine ganze Zahl N, so dass gilt:
10*(10(uv+uw) + (uf+ve+ug+we)) + e(f+g) = 10*N + e(f+g)


Freundliche Grüsse, Ralf

[Dgoe]

Hallo Ralf,

oh ja, wie schön, schade dass ich da nicht selber drauf gekommen bin.
Ich pack dann mal alles zusammen noch.

Gruß,
Dgoe

P.S.: Immerhin hatte ich lange Zeit nichts mehr mit Mathe zu tun, außer Währungskurse, Prozentualrechnung (Umsatzsteuer) und das übliche addieren(subtrahieren) und multiplizieren(dividieren).

[ralfkannenberg]

schade dass ich da nicht selber drauf gekommen bin.

Hallo Dgoe,

da wir nicht den eher unanschaulichen mathematischen Approach gewählt haben hat es Dir auch nach niemand gesagt.

Aber tatsächlich ist das bei den ganzen Restklassen gewissermassen der zentrale Satz:

"man findet eine ganze Zahl N, so dass gilt: x = 10*N + r und 0 <= r < 10".

Im Übrigen ist es völlig egal, wo man den Bereich von r haben will; üblicherweise von 0 bis 9.

Bei den Uhrzeiten hingegen will man den Range von 1 bis 12 haben: "man findet eine ganze Zahl N, so dass gilt: x = 12*N + u und 0 < u <= 12".


Freundliche Grüsse, Ralf

[Dgoe]

Mit Korrektur:

Beweis von

(8) Die Operationen o und x sind links-distributiv: a x (b o c) = (a x b) o (a x c)

für die Einer E(x) im Zehnersystem.

Zu zeigen: e*(f+g) = (e*f)+(e*g)

Die Beweisidee wird also die sein, dass wir die Originale dieser beiden Ausdrücke studieren.

Wir werden nämlich ganz konkret zeigen, dass die Originale dieser beiden Ausdrücke, also e*(f+g) sowie (e*f)+(e*g), gleich sind.

Sei j das Original von e dann gilt: es gibt eine Zahl u so, dass gilt: j = 10*u + e
Sei k das Original von f dann gilt: es gibt eine Zahl v so, dass gilt: k = 10*v + f
Sei l das Original von g dann gilt: es gibt eine Zahl w so, dass gilt: l = 10*w + g

Wir betrachten nun die Gleichung e*(f+g) in der Welt der Originale, also in IZ:

j*(k+l) = (10*u + e) * ((10*v + f) + (10*w + g)) = ((10*u + e) * (10*v + f)) + ((10*u + e) * (10*w + g)); ich darf das, denn in IZ gilt das Distributivgesetz.
(j*k)+(j*l) = ((10*u + e) * (10*v + f)) + ((10*u + e) * (10*w + g)) wie oben, da wegen der Gültigkeit des Distributivgesetzes gilt: j*(k+l) = (j*k)+(j*l)

Auf die Einer zurückführen:

(10*u + e) * ((10*v + f) + (10*w + g)) =
(10*u + e) * (10*v + f) + (10*u + e) * (10*w + g) =
10u10v+10uf+10ve+ef + 10u10w+10ug+10we+eg =
100uv+10uf+10ve+ef+100uw+10ug+10we+eg = (umsortieren)
100uv+100uw + 10uf+10ve+10ug+10we + ef+eg =
100(uv+uw) + 10(uf+ve+ug+we) + e(f+g) =
10*10(uv+uw) + 10(uf+ve+ug+we) + e(f+g) =
10*(10(uv+uw) + (uf+ve+ug+we)) + e(f+g)

Etwas einfacher formuliert: wir haben nachgewiesen, dass die Originale gleich sind (mithilfe der Gültigkeit des Distributivgesetzes für die ganzen Zahlen).

Dabei ist das Argument trivial: wenn die Originale gleich sind, dann sind natürlich auch ihre Einer gleich.

Und da der Einer vom einen Original e*(f+g) ist, und vom anderen Original (e*f)+(e*g) ist, und weil die Originale gleich sind, sind auch die Einer gleich, also:

e*(f+g) = (e*f)+(e*g)

Was zu zeigen war.


Die Zusammenfassung:

wir haben zwei Einer e*(f+g) und (e*f)+(e*g), diese haben je ein Original; aufgrund der Gültigkeit des Distributivgesetzes für die ganzen Zahlen sind die Originale gleich - das haben wir oben nachgerechnet. Und zwei ganze Zahlen, die gleich sind, haben trivialerweise denselben Einer, somit müssen e*(f+g) und (e*f)+(e*g) gleich sein.

[ralfkannenberg]

Hallo Dgoe,

grundsätzlich ist der Beweis nun ok und gibt auch die Beweisidee richtig wider; ich habe nicht alles im Detail nachgerechnet, d.h. wenn irgendwo eine Klammer fehlt oder ein Zehner, so habe ich das übersehen.

Solche pedantischen Schreibfehler zu finden dürfen wir aber gerne der geneigten Leserschaft überlassen.


Freundliche Güsse, Ralf

[Dgoe]

Hallo Ralf,

da fehlt schon nichts - diesmal! Super.

Gruß,
Dgoe