das Ziffernblatt einer Uhr: Restklassen mal anders

[Dgoe]

ok, kannst Du es mir in der Schlussversion nochmal kurz darstellen ?

okay, bin dabei - überfällig.
Gruß,
Dgoe

[Dgoe]

moment....

doch, hier.



Genau hier:

Behauptung:
Zerlegt man eine natürliche Zahl p in ihre Primfaktoren, dann ist dessen Quadratwurzel √p rational, wenn alle Exponenten der Primzahlen (jeweilige Summe gleicher Primzahlen) jeweils durch 2 teilbar sind (gerade), andernfalls ist die Quadratwurzel √p irrational.






Oder anders formuliert:
Ist die Summe aller Primzahlen (nach Primfaktorzerlegung einer natürlichen Zahl p) nicht ohne Rest durch 2 teilbar (ungerade), dann ist die Quadratwurzel √p irrational.





ferner:
(= Abkürzung für diesen Fall, Folgerung 1)

Falls jedoch die (Gesamt-)Summe doch durch 2 teilbar ist (gerade), dann ist √p nur rational, wenn alle Exponenten (jeweilige Summe gleicher Primzahlen) durch 2 teilbar ist (gerade), andernfalls ist √p ebenfalls irrational.





Beispiele:





2³*3² sind insgesamt 5 Primzahlen (ungerade, Folgerung 1), und/oder da die Exponenten nicht alle gerade sind, ist die Quadratwurzel irrational.
2²3²5³ sind 3 verschiedene Primzahlen (ungerade Anzahl), min. 1 Exponenten ungerade = irrationale sqrt
2²3²5² sind 3 verschiedene Primzahlen (ungerade Anzahl), alle Exponenten gerade = rationale sqrt

2²*3² sind 2 verschiedene Primzahlen (gerade Anzahl), alle Exponenten gerade = rationale sqrt
2²*3³ sind 2 verschiedene Primzahlen (gerade Anzahl), min. ein Exponenten ungerade = irrationale sqrt









es gibt ja soviel was gerade/ungerade sein kann,
- die Zahl selber (unwichtig)
- die Primzahl, nur 2 ist gerade (unwichtig)
- die Anzahl unterschiedlicher Primzahlen (nicht relevant)
- die Gesamtanzahl an Primzahlen (relevant)
- die Anzahl gleicher Primzahlen, bzw. der Exponent der jeweiligen Primzahl (entscheidend)

Gruß,
Dgoe

[ralfkannenberg]

Hallo Dgoe,

das schaue ich mir später an (nächste Woche).


Freundliche Grüsse, Ralf

[ralfkannenberg]

Behauptung:
Zerlegt man eine natürliche Zahl p in ihre Primfaktoren, dann ist dessen Quadratwurzel √p rational, wenn alle Exponenten der Primzahlen (jeweilige Summe gleicher Primzahlen) jeweils durch 2 teilbar sind (gerade), andernfalls ist die Quadratwurzel √p irrational.

Hallo Dgoe,

das ist richtig, denn wenn alle durch zwei teilbar sind, dann kann man das auch tun, also die durch 2 teilen - dann hat man zwei Sets von Primfaktoren, die gleich sind. Folglich ist so ein Set die Quadratwurzel ihres Produktes.

Oder anders formuliert:
Ist die Summe aller Primzahlen (nach Primfaktorzerlegung einer natürlichen Zahl p) nicht ohne Rest durch 2 teilbar (ungerade), dann ist die Quadratwurzel √p irrational.

Jetzt muss man aufpassen: die Summe aller Primzahlen sei ungerade. Dann gibt es also mindestens einen Primfaktor, der keinen "Partner" hat, also bei der Wurzelbildung alleine bleibt. Dann ist die Quadratwurzel nicht-rational.

Wenn man mehrere Junggesellen-Primfaktoren findet, so können die trotzdem nicht heiraten -> die Quadratwurzel ist auch in diesem Falle nich trational. Denn würden sie einen Partner finden, so würden diese beiden durch zwei teilbar.

Ok, auch das ist korrekt.

ferner:
(= Abkürzung für diesen Fall, Folgerung 1)

Falls jedoch die (Gesamt-)Summe doch durch 2 teilbar ist (gerade), dann ist √p nur rational, wenn alle Exponenten (jeweilige Summe gleicher Primzahlen) durch 2 teilbar ist (gerade), andernfalls ist √p ebenfalls irrational.

Auch das ist richtig.

Wenn ich mich nicht geirrt habe sind Deine 3 Aussagen also allesamt korrekt.


Freundliche Grüsse, Ralf

[Dgoe]

Hallo Ralf,

Great. Danke. Da bin ich ja beruhigt. Klar, geht wohl einfacher, aber immerhin habe ich mir das selber ausgedacht. Das am Ende mal schlüssig hinzubekommen, war mir persönlich schon viel wert und einfach Fun - was auch immer es bringt.

Gruß,
Dgoe

[ralfkannenberg]

Hallo Ralf,

Great. Danke. Da bin ich ja beruhigt. Klar, geht wohl einfacher, aber immerhin habe ich mir das selber ausgedacht. Das am Ende mal schlüssig hinzubekommen, war mir persönlich schon viel wert und einfach Fun - was auch immer es bringt.

Gruß,
Dgoe

Hallo Dgoe,

wie schon im astronews geschrieben ist es in dieser Form nun auch vom Umfang her angemessen.


Freundliche Grüsse, Ralf

[Dgoe]

Super,

ja, das hast Du hier schon mal angedeutet:

Nur soviel heute: "die" Primfaktorzerlegung erfordert einen Eindeutigkeits-Nachweis aus der Zahlentheorie und den haben wir nicht geführt.

Die müsste ich erst mal (kennen)lernen.

Ob das allgemein einen Mehrwert hat, weiß ich nicht, aber man braucht dafür nicht die Quadratwurzeln kennen. Wie hier sonst:

Die Regel ist übrigens viel einfacher: sqrt(k) einer ganzen Zahl k ist dann und nur dann rational, wenn k eine Quadratzahl ist.

Immerhin etwas. Also ein kleiner Unterschied.

Gruß,
Dgoe

[Dgoe]

aber immerhin habe ich mir das selber ausgedacht.

Im Grunde aber vor allem auch mithilfe Herr Senfs Input.

Hallo 27!

[ralfkannenberg]

ja, das hast Du hier schon mal angedeutet:

Nur soviel heute: "die" Primfaktorzerlegung erfordert einen Eindeutigkeits-Nachweis aus der Zahlentheorie und den haben wir nicht geführt.

Die müsste ich erst mal (kennen)lernen.

Hallo Dgoe,

ich will das hier nicht unbedingt vertiefen, aber als Stichwort zum mal nachschlagen eignet sich der Euklidische Algorithmus.


Freundliche Grüsse, Ralf

[Dgoe]

Hallo Ralf,

Danke. Oder auch hier:
http://de.wikipedia.org/wiki/Primfaktorzerlegung#Beweis_der_Eindeutigkeit
dachte ich zuerst.

Gruß,
Dgoe