Dgoe hat geschrieben:Behauptung:
Zerlegt man eine natürliche Zahl p in ihre Primfaktoren, dann ist dessen Quadratwurzel √p rational, wenn alle Exponenten der Primzahlen (jeweilige Summe gleicher Primzahlen) jeweils durch 2 teilbar sind (gerade), andernfalls ist die Quadratwurzel √p irrational.
Hallo Dgoe,
das ist
richtig, denn wenn alle durch zwei teilbar sind, dann kann man das auch tun, also die durch 2 teilen - dann hat man zwei Sets von Primfaktoren, die gleich sind. Folglich ist so ein Set die Quadratwurzel ihres Produktes.
Dgoe hat geschrieben:Oder anders formuliert:
Ist die Summe aller Primzahlen (nach Primfaktorzerlegung einer natürlichen Zahl p) nicht ohne Rest durch 2 teilbar (ungerade), dann ist die Quadratwurzel √p irrational.
Jetzt muss man aufpassen: die Summe aller Primzahlen sei ungerade. Dann gibt es also mindestens einen Primfaktor, der keinen "Partner" hat, also bei der Wurzelbildung alleine bleibt. Dann ist die Quadratwurzel nicht-rational.
Wenn man mehrere Junggesellen-Primfaktoren findet, so können die trotzdem nicht heiraten -> die Quadratwurzel ist auch in diesem Falle nich trational. Denn würden sie einen Partner finden, so würden diese beiden durch zwei teilbar.
Ok, auch das ist
korrekt.
Dgoe hat geschrieben:ferner:
(= Abkürzung für diesen Fall, Folgerung 1)
Falls jedoch die (Gesamt-)Summe doch durch 2 teilbar ist (gerade), dann ist √p nur rational, wenn alle Exponenten (jeweilige Summe gleicher Primzahlen) durch 2 teilbar ist (gerade), andernfalls ist √p ebenfalls irrational.
Auch das ist
richtig.
Wenn ich mich nicht geirrt habe sind Deine 3 Aussagen also allesamt korrekt.
Freundliche Grüsse, Ralf