Allererste Einführung in die Integralrechnung (Level 0)

[ralfkannenberg]

Hallo Dgoe,

Wieso habe ich diesen Fehler auf den ersten Blick gesehen ?

weil Du den Röntgen-Durchblick hast?

nein.

Weil Du das studiert hast?

Vielleicht hat man deswegen etwas mehr Erfahrung, trotzdem ist es trivial. Wir haben das sogar schon mal angesprochen.

Eigentlich wolltest Du das 'erzählen', nicht fragen.

Dank Deinem Rechenfehler bin ich darauf gestossen.

Aber davon abgesehen, ich habe keinen blassen Schimmer. Weil 2*2=4 ist und 4/3=1, Rest 1
k.A.

Also dann ernsthaft: ist die Zahl 2 der einzige Repräsentant der Äquivalenzklasse "Rest 2" ? Ich meine: gibt es da noch einen anderen, der auch sehr nett liegt ?


Freundliche Grüsse, Ralf

[ralfkannenberg]

Jetzt wird es also spannend: 2 ist nicht irrational und wir haben einen Beweis, mit dem wir beweisen können, dass sqrt(4) irrational ist.

Hallo Ralf,

haben wir den? Mal testen:


Lemma 3: Sei r² eine durch 4 teilbare Zahl. Dann ist auch r eine durch 4 teilbare Zahl.

Beweis Lemma 3:

Es gibt 4 Möglichkeiten:
(1) r ist durch 4 teilbar: dann finden wir eine ganze Zahl n, so dass r=4*n. Dann wäre r² = 16*n² = 4*(4*n²), und dies ist durch 4 teilbar.

(2) r belässt bei der Division durch 4 den Rest 1: dann finden wir eine ganze Zahl n, so dass r=4*n+1. Dann wäre r² = 16*n² + 8*n + 1, also 4*(4*n² + 2n) + 1, also 4*n' + 1. Eine solche Zahl ist aber auch nicht durch 4 teilbar, während wir ja vorausgesetzt haben, dass r² durch 4 teilbar ist. Denn r² = 4*n' + 1 belässt bei der Division durch 4 ebenfalls den Rest 1.

(3) r belässt bei der Division durch 4 den Rest 2: dann finden wir eine ganze Zahl n, so dass r=4*n+2. Fortsetung: Dann wäre r² = 16*n² + 8*n + 4, also 4*(4*n² + 2n) + 4, also 4*n' + 4. Allerdings ist r² = 4*n' + 4 ohne Rest durch 4 teilbar, während r den Rest 2 belässt.
Diese Möglichkeit für Lemma 3 wird hier nicht erfüllt. Lemma 3 kann nicht bewiesen werden, ist widerlegt.

1.Problem, reicht doch oder?

Bemerkung: rot bold hervorgehoben durch mich


Hallo Dgoe,

das ist es. Genau das !!!

Als ich das damals verstanden habe, habe ich den Beweis mit der Quadratwurzel endlich verstanden. Zuvor hatte ich ihn immer nur auswendig nachgeplappert.

Da ich der einzige war, der das wenigstens auswendig nachplappern konnte, reichte das zur Höchstnote, aber eben: wirklich verstanden hatte es nie. Wirklich verstanden hatte ich ihn erst, als ich bemerkt habe, warum das eben nicht für die sqrt(4) klappt. Von dem Tag an übrigens brauchte ich diesen Beweis nicht mehr auswendig zu merken, weil ich ihn sowieso wusste und jederzeit herleiten konnte.


Freundliche Grüsse, Ralf

[Dgoe]

Hallo Ralf,

Danke, dass Du mich/uns gleich mit der Nase hast darauf stoßen lassen, wäre mir im Traum nicht eingefallen, das bei der Wurzel von 4 näher zu hinterfragen.

Zur anderen Frage.

Also dann ernsthaft: ist die Zahl 2 der einzige Repräsentant der Äquivalenzklasse "Rest 2" ? Ich meine: gibt es da noch einen anderen, der auch sehr nett liegt ?

Sei so nett und verrate es mir bitte, ich steh da, glaube ich, etwas auf dem Schlauch.

ich war bislang der Meinung, dass sich die Nachkommastellen addieren. 1+1 ist aber 2, aber bei 0.5*0.2=0.1 haben wir nur 1 Nachkommastelle. Man kann also bestenfalls (d.h. wenn überhaupt) festhalten, dass die Anzahl Kommastellen nicht kleiner wird.

Ach so, ich dachte es ging Dir nur um die Multiplikation der Nachkommastellen; 5*2=10 passt ja, auch wenn die Null wegfällt, verschinden die Stellen ja nicht ganz - immer genau dann, wenn es 10 oder ein Vielfaches von 10 ergibt, kann man die Nullen nicht mitaddieren, ok. Das ist dann aber auch die einzige Ausnahme, welche es verkompliziert? Hm:

Nun wissen wir, dass zwar 2 oder 3 null Nachkommastellen haben, aber ihre Wurzel nicht null Nachkommastellen haben kann, da man einfach abschätzen kann, dass 1 echt kleiner als sqrt(2), ebenso 1 echt kleiner als sqrt(3) und 2 echt grösser als sqrt(2) und 2 echt grösser als sqrt(3).

Zwischen den Zahlen 1 und 2 gibt es aber keine Zahlen, die null Nachkommastellen haben. Da sich bei der Multiplikation aber die Zahl der Nachkommastellen addiert und das Ergebnis 0 ist (also sqrt(2)² = 2.0000... und sqrt(3)² = 3.0000...) können nur nicht-Periodenzahlen mit unendlich vielen Nachkommastellen das gerade aufheben.

(bold by me)
Wie wäre es hiermit: statt "addiert", einfach "nicht verkleinert", so wie Du gesagt hast. Reicht doch, nur wenn eine runde Zahl, wie die 2 bei sqrt(4) zwischen 1 und 3 auftaucht (sagen wir mal), dann gäbe es genau auch diesen Kandidat, Hauptsache die Kommastellen (ungleich Null) fallen sonst nie ganz weg.

Dank Deinem Rechenfehler bin ich darauf gestossen.

Du meinst meinem Deinem, aber schon verstanden. Ja, da musste ich auch sofort dran denken in dem Augenblick des Entdeckens meines eigenen Fehlers. Allerdings eher, weil ich doch vorher genau drauf geachtet hatte und wenig später in die gleiche Falle getappt bin. Ich war natürlich mächtig stolz vorher - anschließend etwas weniger...

Gruß,
Dgoe

[ralfkannenberg]

Danke, dass Du mich/uns gleich mit der Nase hast darauf stoßen lassen, wäre mir im Traum nicht eingefallen, das bei der Wurzel von 4 näher zu hinterfragen.

Zur anderen Frage.

Also dann ernsthaft: ist die Zahl 2 der einzige Repräsentant der Äquivalenzklasse "Rest 2" ? Ich meine: gibt es da noch einen anderen, der auch sehr nett liegt ?

Sei so nett und verrate es mir bitte, ich steh da, glaube ich, etwas auf dem Schlauch.

Hallo Dgoe,

da kommst Du selber drauf.

Also: bitte nenne mir ein paar Repräsentanten vom "Rest 2" bei den Vielfachen von 3.

Einen haben wir schon, das ist "2". Weitere ? Es gibt ja unendlich viele von denen.


Freundliche Grüsse, Ralf

[Dgoe]

..., 5, 8, 11, ... 3*n+2 (n € Z)
Ja oder ja?

[ralfkannenberg]

..., 5, 8, 11, ... 3*n+2 (n € Z)
Ja oder ja?

Hallo Dgoe,

ja und ja. Weitere ?

Schau sonst mal hier nach.


Freundliche Grüsse, Ralf

[Dgoe]

Hallo Ralf,

wie noch mehr? Nimmersatt...
Ich habe es doch allgemein formuliert, und richtig ja?
Also höchstens n Element Q statt Z, oder warum kleckern, n Element R.

Gruß,
Dgoe

[ralfkannenberg]

wie noch mehr? Nimmersatt...

Hallo Dgoe,

noch eine weitere.

Ich habe es doch allgemein formuliert, und richtig ja?

Ja, aber ich suche einen Repräsentaten, mit dessen Hilfe ich Deinen Rechenfehler auf den ersten Blick erkannt habe. Die allgemeine Formel hilft da nicht wirklich weiter.

Also höchstens n Element Q statt Z,

aaaarggghhhhhh

oder warum kleckern, n Element R.

aaaarggghhhhhh


Freundliche Grüsse, Ralf

[ralfkannenberg]

Also höchstens n Element Q statt Z,

aaaarggghhhhhh

oder warum kleckern, n Element R.

aaaarggghhhhhh

Hallo Dgoe,

das hier will ich nicht unnötig spannend machen: wie gross ist der Rest, wenn man eine rationale Zahl durch eine rationale Zahl teilt ? Und da Du nicht kleckern willst: wie gross ist der Rest, wenn man eine reelle Zahl durch eine reelle Zahl teilt ?


Freundliche Grüsse, Ralf

[Dgoe]

das hier will ich nicht unnötig spannend machen

gerade wo's spannend wird.

Hm, also doch wegen meinem eigenem Rechenfehler, dann schaue ich mir den nochmal genauer an.
Ok, dies ist die relevante Textstelle: "Denn r² = 3*n' + 42 belässt bei der Division durch 3 ebenfalls den Rest 12."
Denn Sherlock-Holmes-mäßig kombiniert, hast Du den Fehler erst moniert, als ich diesen Satz wegen der 1. ergänzenden Korrektur angefügt hatte - und - weil dort baugleich die verallgemeinerte Formel steht, was mir jetzt erst auffällt. 3*n' + 2, belässt (...) Rest 2 stand da zuerst (richtig: 3*n' + 4, belässt Rest 1).
Ja, klingt doppelt, aber mit Rest 2 war ja dieses +2 gemeint, ist doch wie im Bilderbuch!
3*n + 2 (Repräsentanten der Restklasse 2, zu Vielfachen von 3) versus 3*n' + 2 (der Fehler).

n=-2 ---> 3*n + 2 = -4
n=-1 ---> 3*n + 2 = -1
n= 0 ---> 3*n + 2 = 2
n= 1 ---> 3*n + 2 = 5
n= 2 ---> 3*n + 2 = 8

Ich krieg gleich Bauchkrämpfe...
Keine Ahnung *auf Schlauch stehend + Brett fest montiert auf Augenhöhe*

Gruß,
Dgoe