Allererste Einführung in die Integralrechnung (Level 0)

[Dgoe]

Hallo Ralf,

wie wär's damit, dass man 0 als Sonderzahl betrachtet und nicht als normale rationale Zahl?
Mir fällt jetzt aber auch keine Begründung ein...

Gruß,
Dgoe

[ralfkannenberg]

wie wär's damit, dass man 0 als Sonderzahl betrachtet und nicht als normale rationale Zahl?
Mir fällt jetzt aber auch keine Begründung ein...

Hallo Dgoe,

es gibt auch keine, denn 0 ist der Quotient der beiden ganzen Zahlen 0/1.

Oder wenn Du mit 2 erweitern magst 0/2. - 0/1 kann man auch mit -1 erweitern, dann ist es eben 0/(-1).


Freundliche Grüsse, Ralf

[Dgoe]

Hallo Ralf,

Oder wenn Du mit 2 erweitern magst

Jetzt fällt mir eine ein. Was ist wenn ich nicht mit 2, sondern sagen wir 2025 erweitern will?

1. Man kann doch jede ganze Zahl nehmen (als Nenner*), das geht mit keinem anderen Quotienten.
2. *: außer Null selber schon wieder. Der Gipfel einer einzigen Ausnahme.

Das ist doch sonderbar genug für einen Sonderfall, eine Sonderzahl.

Könntest Du das deswegen bitte korrekt begründen ?

dafür fällt mir hierzu keine Begründung ein, außer dass ich solange mit dem Taschenrechener rumgespielt habe, bis mir klar war, dass dem so ist (s.o.).

Gruß,
Dgoe

[ralfkannenberg]

Hallo Ralf,

Oder wenn Du mit 2 erweitern magst

Jetzt fällt mir eine ein. Was ist wenn ich nicht mit 2, sondern sagen wir 2025 erweitern will?

1. Man kann doch jede ganze Zahl nehmen (als Nenner*), das geht mit keinem anderen Quotienten.
2. *: außer Null selber schon wieder. Der Gipfel einer einzigen Ausnahme.

Das ist doch sonderbar genug für einen Sonderfall, eine Sonderzahl.

Hallo Dgoe,

nein:

wenn ich 0 mit 2025 erweitere, so geht das so: 0 = 0 * (2025/2025) = 0/2025 = 0

Ebenso kannst Du z.B. 1 mit 2025 erweitern: 1 = 1 * (2025/2025) = 2025/2025 = 1

Oder z.B. 2 mit 2025 erweitern: 2 = 2 * (2025/2025) = 4050/2025 = 2

Oder z.B. 3 mit 2025 erweitern: 3 = 3 * (2025/2025) = 6075/2025 = 3

Oder z.B. -1 mit 2025 erweitern: -1 = -1 * (2025/2025) = -2025/2025 = -1


Die Zahl 0 hat hier also keinerlei "Sonderrolle".


Freundliche Grüsse, Ralf

[ralfkannenberg]

Wir haben nun ja nachgewiesen, dass sqrt(2) und sqrt(3) irrationale Zahlen sind und dass der Beweis bei der sqrt(4) nicht klappt.

Seien nun p und q beliebige rationale Zahlen, q allerdings ungleich 0.

Betrachten wir nun die beiden folgenden Zahlen:

A = p + q*sqrt(2)
B = p + q*sqrt(3)

Fragen:
- ist A rational oder irrational ?
- ist B rational oder irrational ?

Tipp:
- die Differenz zweier rationaler Zahlen ist wieder rational
- der Quotient zweier rationaler Zahlen (Division ungleich 0) ist wieder rational

Annahme: sei A rational.
Dann ist auch A-p rational, da die Differenz zweier rationaler Zahlen rational ist (Tipp 1 ).
Dann ist auch (A-p)/q rational, da der Quotient zweier rationaler Zahlen rational ist (Tipp 2 ).
Dann ist aber auch sqrt(2) rational, weil sqrt(2) = (A-p)/q ist, im Widerspruch zum Beweis, dass sqrt(2) irrational ist.

Der Beweis der Irrationalität der B geht identisch gleich.


Freundliche Grüsse, Ralf

[Dgoe]

Hallo Ralf,

der Beweis ist auf jeden Fall eine sehr überzeugende Begründung.
Sieht so ganz harmlos und mühelos aus.

Die Null hat sich nur geschickt getarnt, Ralf, die ist gefährlich, ich sag's Dir. Aber wem sag ich das.

Gruß,
Dgoe

[Dgoe]

Hallo 27,

das finde ich super:

(Wurzel 4) = (Wurzel 2*2) = (Wurzel 2)*(Wurzel 2) = 2

Du hast von 17 Beweisen gesprochen, wo hast Du die gesehen?

Gruß,
Dgoe

[ralfkannenberg]

der Beweis ist auf jeden Fall eine sehr überzeugende Begründung.
Sieht so ganz harmlos und mühelos aus.

Hallo Dgoe,

ist es auch

Die Null hat sich nur geschickt getarnt, Ralf, die ist gefährlich, ich sag's Dir. Aber wem sag ich das.

Ich wüsste nicht, wie sich das Neutralelement der inneren Operation geschickt tarnen könnte ... - es ist vielmehr das netteste und einfachste Element von allen.

Übrigens nicht notwendig das Startelement der Peano-Axiome, aber wenn nötig kann die Zahl 0 das auch leisten. Ebensogut wie die 1 oder die 2, die -1 oder auch die (-1)*(abs(a) + abs(b)+ abs(c) ) beim Beweis des Assoziativgesetzes a+(b+c)=(a+b)+c für die ganzen Zahlen.


Freundliche Grüsse, Ralf


EDIT 10:01 Uhr: Link zugefügt

[Herr Senf]

Hallo Dgoe,
die 17 Beweise
http://www.cut-the-knot.org/proofs/sq_root.shtml
Grüße Senf

[ralfkannenberg]

Hallo Dgoe,
die 17 Beweise
http://www.cut-the-knot.org/proofs/sq_root.shtml
Grüße Senf

Hallo Herr Senf,

werd' mir den ersten von Dedekind mal bei Gelegenheit anschauen.

Auf diesem Level könnte man vielleicht sogar den Liouville'schen Approximationssatz zeigen (Beweis), und dass 0.11000100000000000000000100... eine transzendente Zahl ist.

Diese Zahl ist so aufgebaut, dass alle Kommastellen, deren Nummer eine Fakultät ist, den Wert 1 haben und die anderen den Wert 0. Also:
1.Kommastelle eine 1, weil 1! = 1
2.Kommastelle eine 1, weil 2! = 2
6.Kommastelle eine 1, weil 3! = 6
24.Kommastelle eine 1, weil 4! = 24
u.s.w.


Freundliche Grüsse, Ralf