Allererste Einführung in die Integralrechnung (Level 0)

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Re: Allererste Einführung in die Integralrechnung (Level 0)

Beitragvon ralfkannenberg » Montag 28. Oktober 2013, 14:52

ralfkannenberg hat geschrieben:Das mit der Quadratsumme werde ich mal beweisen, wenn ich Zeit habe.

Das dürfte auf eine vollständige Induktion hinauslaufen, ich werde das aber etwas ausführlicher darstellen.

Bäh, das ist ja ein Brain-Teaser. Das schenke ich mir, es sei denn, jemand besteht darauf.

Vielleicht gibt es aber auch einen einfachen Beweis.
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Re: Allererste Einführung in die Integralrechnung (Level 0)

Beitragvon Herr Senf » Montag 28. Oktober 2013, 15:13

Womit wir zu einem Zwischenergebnis gekommen sind, daß
beim Integrieren Level 1 einfacher zu sein scheint als Level 0 :!:
ich will auch mal was dazu sagen
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Re: Allererste Einführung in die Integralrechnung (Level 0)

Beitragvon Dgoe » Montag 28. Oktober 2013, 15:32

ralfkannenberg hat geschrieben:
Dgoe hat geschrieben:
ralfkannenberg hat geschrieben: ich bin vielmehr neugierug, wieso Du das mit der "progressiven Steigung" geschrieben hast.
weil die Kurve ansteigt, beschleunigt wächst oder wie auch immer man das beschreibt.

Mit der ersten Ableitung ;)

Ahaaa!
:geek: :D
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Re: Allererste Einführung in die Integralrechnung (Level 0)

Beitragvon Dgoe » Montag 28. Oktober 2013, 15:45

ralfkannenberg hat geschrieben:
ralfkannenberg hat geschrieben:Das mit der Quadratsumme werde ich mal beweisen, wenn ich Zeit habe.

Das dürfte auf eine vollständige Induktion hinauslaufen, ich werde das aber etwas ausführlicher darstellen.

Bäh, das ist ja ein Brain-Teaser. Das schenke ich mir, es sei denn, jemand besteht darauf.

Vielleicht gibt es aber auch einen einfachen Beweis.
Hallo Ralf,

heißt das Aufgabe 4 bleibt offen? Ich will aber nicht drauf bestehen unbedingt.

Gruß,
Dgoe
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Re: Allererste Einführung in die Integralrechnung (Level 0)

Beitragvon ralfkannenberg » Montag 28. Oktober 2013, 17:10

Dgoe hat geschrieben:heißt das Aufgabe 4 bleibt offen? Ich will aber nicht drauf bestehen unbedingt.

Hallo Dgoe,

also gut, wenn Du unbedingt willst; erwarte aber bitte nicht, dass ich jetzt in Schönheit sterbe.

Behauptung:
Die Summe der n2 über die natürlichen Zahlen von 1 bis und mit n ergibt den Wert 1/3 n3 + 1/2 n2 + 1/6 n.

Lemma 1:
(n+1)3 = n3 + 3 n2 + 3 n + 1

Beweis Lemma 1:
(n+1)3 =
= (n+1)*(n2 + 2 n + 1)
= n3 + 2 n2 + n + n2 + 2 n + 1
= n3 + 2 n2 + n2 + n + 2 n + 1
= n3 + 3 n2 + 3 n + 1

Teil 1: Verankerung
Die Verankerung für n=0 ist trivial.
Zwar ist 0 nicht in IN, aber IN vereinigt mit {0} erfüllt ebenfalls die Peano-Axiome.

Teil 2: Induktionsannahme
Sei die Behauptung schon bis n nachgewiesen.

Teil 3: Induktionsbehauptung
Dann muss die Behauptung auch für n+1 gelten.

Beweis Induktionsbehauptung:
Zu zeigen: die Summe der n2 von 1 bis (n+1) ergibt den Wert 1/3 (n+1)3 + 1/2 (n+1)2 + 1/6 (n+1).

Linke Seite:
Summe der n2 von 1 bis (n+1)
= [Summe der n2 von 1 bis n] + (n+1)2
= 1/3 n3 + 1/2 n2 + 1/6 n + (n+1)2 (wegen der Induktionsannahme)
= 1/3 n3 + 1/2 n2 + 1/6 n + n2 + 2 n + 1
= 1/3 n3 + 3/2 n2 + 13/6 n + 1

Rechte Seite:
1/3 (n+1)3 + 1/2 (n+1)2 + 1/6 (n+1) =
= 1/3 (n3 + 3 n2 + 3 n + 1 ) + 1/2 (n+1)2 + 1/6 (n+1) nach Lemma 1
= 1/3 (n3 + 3 n2 + 3 n + 1 ) + 1/2 (n2 + 2 n + 1) + 1/6 n + 1/6
= 1/3 n3 + n2 + n + 1/3 + 1/2 n2 + n + 1/2 + 1/6 n + 1/6
= 1/3 n3 + 3/2 n2 + 13/6 n + 1


Beide Seiten sind gleich, somit ist die Induktionsbehauptung bewiesen.


Freundliche Grüsse, Ralf


EDIT 19:04 Uhr: Ergänzung "von 1 bis und mit n"
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Re: Allererste Einführung in die Integralrechnung (Level 0)

Beitragvon Dgoe » Montag 28. Oktober 2013, 21:29

Hallo Ralf,

wie kommst Du auf die Behauptung 1/3 n³ + 1/2 n² + 1/6 n
?

Gruß,
Dgoe
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Re: Allererste Einführung in die Integralrechnung (Level 0)

Beitragvon ralfkannenberg » Montag 28. Oktober 2013, 23:05

Dgoe hat geschrieben:wie kommst Du auf die Behauptung 1/3 n³ + 1/2 n² + 1/6 n
?

Hallo Dgoe,

vom hier vom Herrn Senf genannten Link.


Freundliche Grüsse, Ralf
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Re: Allererste Einführung in die Integralrechnung (Level 0)

Beitragvon Herr Senf » Montag 28. Oktober 2013, 23:27

Hallo Dgoe,
solche Summenformeln finden Mathematiker entweder mit viel Grübeln,
das ist sportlich wie Kreuzworträtsellösen :geek: oder sie wissen wo es steht :ugeek:
Du kannst z.B. die Formel mit 3 "Unbekannten" schreiben:
S(n²) = a*n³ + b*n² + c*n und für 3 Werte n = 1,2,3 lösen und a,b,c bestimmen.
Hab ich hier gefunden http://nibis.ni.schule.de/~lbs-gym/Vers ... zahlen.pdf
Und auch hier ist es ratsam immer einen Zettel kleinkariertes Papier zum Raten parat zu haben, Malen hilft.
Ist die wohl einfachste Level-O-Erklärung / Grüße Senf
ich will auch mal was dazu sagen
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Re: Allererste Einführung in die Integralrechnung (Level 0)

Beitragvon ralfkannenberg » Montag 28. Oktober 2013, 23:38

Herr Senf hat geschrieben:Du kannst z.B. die Formel mit 3 "Unbekannten" schreiben:
S(n²) = a*n³ + b*n² + c*n und für 3 Werte n = 1,2,3 lösen und a,b,c bestimmen.

Hallo Herr Senf,

oha, das wusste ich jetzt auch nicht. Aber mit dem Trick könnte man jetzt natürlich eine Induktion drüberlegen und das allgemein für alle S(nk) beweisen. Zwar müsste man streng genommen noch zeigen, dass das alles wohldefiniert ist, aber wenn man die konkrete Formel bewiesen hat dann ist dieser Wohldefiniertheits-Beweis natürlich hinfällig.

Ganz allgemein gilt dann also:

S(nk) = ak+1*n(k+1) + ak*nk + ... + a1*n und für k+1 Werte n = 1,2,3,...k+1 lösen und ak+1,ak, ..., a1 bestimmen.

Das ist ein lineares Gleichungssystem mit k+1 Unbekannten und sowas ist lösbar, da die nk "linear unabhängig" sind.

Geil ! :)


Freundliche Grüsse, Ralf
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Re: Allererste Einführung in die Integralrechnung (Level 0)

Beitragvon Dgoe » Dienstag 29. Oktober 2013, 12:31

ralfkannenberg hat geschrieben:
Dgoe hat geschrieben:wie kommst Du auf die Behauptung 1/3 n³ + 1/2 n² + 1/6 n
?

vom hier vom Herrn Senf genannten Link.


Also, ich kann die Seite, den Link, immer noch nicht öffnen, getestet auf Windows 8 und auf einem anderen Rechner mit Windows 7, jeweils mit Chrome, Firefox und Internet Explorer.

Versteh ich nicht - vor allem wie ihr das hinkriegt!?

Gruß,
Dgoe
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