Allererste Einführung in die Integralrechnung (Level 0)

[ralfkannenberg]

Wir wollen für diese drei Funktionen die Fläche unter der x-Achse von x=0 bis x berechnen.

Hallo Ralf,

ok, nur das hier sehe ich jetzt erst, wieso eigentlich unter der x-Achse, ich dachte über der x-Achse? Also ich gehe jetzt von "über" aus.

Hallo Dgoe,

danke sehr, ich habe das oben korrigiert. Natürlich muss es "über" heissen. Selbstverständlich kann man auch Flächen unter der x-Achse berechnen, die werden dann einfach negativ, aber das entspricht nicht unserem üblichen Flächenbegriff, bei dem eine Fläche stets einen positiven Wert hat. Deswegen beschränke ich mich aus Gründen der Einfachheit in dieser Einführung auf Kurven, die sich nicht unter der x-Achse befinden.

Man kann übrigens jederzeit bei Bedarf die Gesamtfläche aufteilen und separat für alle Kurvenabschnitte unter der x-Achse und für alle Kurvenabschnitte über der x-Achse betrachten. Aber wie gesagt: aus Gründen der Übersichtlichkeit betrachten wir in dieser Einführung nur Kurven, die nicht unter der x-Achse liegen.


Freundliche Grüsse, Ralf

[Dgoe]

Sehr schön. Ich verlinke diesen Thread mit dem Beitrag über die Integration am Computer:
http://forum.alltopic.de/viewtopic.php?p=20023#p20023

(url tag hinzugefügt)

Hallo Yukterez,

Danke für den Link, das hier (gleicher Thread weiter unten) finde ich ja auch irre, sehr interessante Animation!
Ich hoffe du kriegst keine Bauchschmerzen hier vor lauter lachen

Gruß,
Dgoe

[ralfkannenberg]

zu 3. Den Flächeninhalt eines rechtwinkeligen gleichschenkeligen Dreiecks berechnet man mit Kathete zum Quadrat durch zwei.

Hallo Dgoe,

ist die Kathete hier nicht irgendwie ein "Overkill" ?

1. f(x)=0
der Graph fällt mit der x-Achse zusammen, ist also eine Gerade auf der x-Achse. Wollte man ein Rechteck, so wäre egal welches x (Breite) man einsetzt die Höhe immer 0 auf der y-Achse.

Bis hierhin: einverstanden.

Setzt man 0 ein, so ergibt das 0*0, bei x=1 ergibt das 1*0=0, bei x=2 entsprechend 2*0=0, usw.,

Ist ja nett, aber wozu brauchst Du das überhaupt ?

also immer x*0=0
Daher ist die Fläche immer gleich Null, zwischen x=0 und x und dem Graphen.

Äh ... - ja ...

Also die richtige Lösung lautet aus meiner Sicht "also immer x*0=0".

2. f(x)=1
der Graph verläuft parallel zur x-Achse, Abstand 1 (y-Achse).

Du meinst auch beim zweiten Mal, also dort, wo es in runden Klammern steht, "x-Achse", nicht wahr ?

Egal welches x man einsetzt (Breite) die Höhe ergibt 1 auf der y-Achse.

Genau !

Setzt man 0 ein, so ergibt das 0*1=0, bei x=1 ergibt das 1*1=1, bei x=2 entsprechend 2*1=2, usw.,
also immer x*1=x
Daher ist die Fläche immer gleich x, zwischen x=0 und x und dem Graphen.

Korrekte Lösung.

3. f(x)=x
der Graph verläuft diagonal vom Ursprung aus, also für jedes x=y, was einen Strahl mit 45°Winkel ergibt.

Hübsch, nicht wahr ?

An jedem beliebigen positiven Punkt des Graphen lässt sich ein Lot auf die x-Achse fällen und wir erhalten ein rechtwinkeliges gleichschenkeliges Dreieck, dessen Hypotenuse der Graph ist.

Na ja, warum einfach, wenn es auch so kompliziert geht, dass auch ich es nur noch mit grossem Aufwand verstehe ?

Setzt man 0 ein, so ergibt das 0, bei x=1 ergibt das 1, bei x=2 entsprechend 2, usw.,
also immer x=y

Wozu immer die Beispiele x=0, x=1, x=2 usw ? Das brauchen wir doch gar nicht !

von daher sind beide Katheten immer gleich lang bei dem Dreieck, dass sich bei bliebig positiven x bildet, indem man dort mit einer Geraden senkrecht zur x-Achse den Graphen und die x-Achse schneidet, bei letzterem liegt auch der rechte Winkel des Dreiecks.
Daher ist die Fläche immer gleich x²/2, zwischen x=0 und x und dem Graphen.

Ich habe das jetzt nicht nachgerechnet, aber warum betrachtest Du nicht einfach das Quadrat (0,0) bis (x,x) ? Dessen Fläche ist x² und die Kurve f(x) = x ist gerade die Diagonale von links unten nach rechts oben in diesem Quadrat, teilt das Quadrat also in zwei gleich grosse Stücke, so dass die Fläche unter der Kurve 1/2 * x² ist.

Hierfür benötigst Du keine Katheten oder Hypothenusen und auch nichts anderes, was einem normalen Menschen Furcht und Schrecken einjagt.


Freundliche Grüsse, Ralf


EDIT 17:40 Uhr: verstehe, nicht erstehe

[Yukterez]

Hallo Yukterez,
bemühst Du auch den Computer, wenn Du 2*3 berechnen willst ?

Warum, in meinem Beitrag geht es ja nicht darum, nur das spezielle Ergebnis für das eine Beispiel zu finden, sondern darum, wie man Integrale in den verschiedenen Programmen eingibt! Die dortige Aufgabe
∫₀¹⁰([cos(x)+2]/10)dx
liesse sich vielleicht auch im Kopf rechnen, aber es soll ja auch mit unrunden Zahlen und ohne Millimeterpapier gehen (:

[Dgoe]

Hallo Ralf,

ja dachte mir schon das kann nur ein unbeabsichtigter Dreher sein. Ich hab aber ja noch etwas mehr geschrieben...


Ah ja, da ist ja auch schon die Fortsetzung - gerade frisch entdeckt!

ist die Kathete hier nicht irgendwie ein "Overkill"

nö

Ist ja nett, aber wozu brauchst Du das überhaupt ?

nur als Beispiele!

Also die richtige Lösung lautet aus meiner Sicht "also immer x*0=0".

Ich wollte nur veranschaulichen, dass ein Rechteck mit null Höhe eben keinen Flächeninhalt hat - und klar auch kein Rechteck ist, daher der Konjunktiv.

Du meinst auch beim zweiten Mal, also dort, wo es in runden Klammern steht, "x-Achse", nicht wahr ?

Neiin. Y-Achse! die Gerade schneidet die y-Achse bei 1 (parallel zur x-Achse).

Hübsch, nicht wahr ?

...ja, ...doch, und echt nett!

Na ja, warum einfach, wenn es auch so kompliziert geht, dass auch ich es nur noch mit grossem Aufwand erstehe ?

ist doch puppi-einfach.

Wozu immer die Beispiele x=0, x=1, x=2 usw ? Das brauchen wir doch gar nicht !

Ich finde Beispiele super, veranschaulichend - und einmal damit angefangen, wollte ich es beibehalten. Kann man immer mal gebrauchen.

Ich habe das jetzt nicht nachgerechnet

Da gibt es doch nichts nachzurechnen!? x²/2, wie beim halbierten Quadrat.

warum betrachtest Du nicht einfach das Quadrat (0,0) bis (x,x) ? Dessen Fläche ist x2 und die Kurve f(x) = x ist gerade die Diagonale von links unten nach rechts oben in diesem Quadrat, teilt das Quadrat also in zwei gleich grosse Stücke, so dass die Fläche unter der Kurve 1/2 * x2 ist.

Ganz einfach weil ich nur mit der Fläche, die sich aus dem Graphen und der x-Achse ergibt, auskommen wollte (bei x abgeschnitten). Dass das Quadrat halbiert wird, sieht man zwar, aber nur durch gucken! Ich hab mich an dem Gegebenen orientiert. So mein Gedankengang.
Gut die Quadrat-Variante ist kürzer und eleganter. Aber auch dafür muss man voraussetzen, dass gegeben ist, dass die Diagonale eines Quadrats, dieses in 2 gleich große Flächen schneidet.
Die ja dann genau 2 rechtwinkelige gleichschenkelige Dreiecke darstellen, ich hab einfach nur die eine Hälfte genommen. Dass sich das so kompliziert anhört, hat ja nur mit den Namensgebungen der Seiten zu tun.

Gruß,
Dgoe


EDIT: @alle: Die Katheten sind die Seiten des rechtwinkeligen Dreiecks, die am rechten Winkel anliegen. Die Hypotenuse ist die gegenüberliegende Seite. Gleichschenkelig heißt hier, dass die Katheten gleich lang sind.

[ralfkannenberg]

ist die Kathete hier nicht irgendwie ein "Overkill"

nö

Hallo Dgoe,

also ich finde es geht auch ohne. Wozu eine Kathete, wenn ich nicht hinterher mit Sinus und Cosinus um mich werfe ?

Du meinst auch beim zweiten Mal, also dort, wo es in runden Klammern steht, "x-Achse", nicht wahr ?

Neiin. Y-Achse! die Gerade schneidet die y-Achse bei 1 (parallel zur x-Achse).

Ach so, Du willst sagen, dass die Gerade die y-Achse im Punkt (0,1) schneidet. Einverstanden.

Gleichschenkelig heißt, dass die Katheten gleich lang sind.

Jein ... - Gleichschenkligkeit hat nichts mit Katheten zu tun: ein Dreieck heisst gleichschenklig, wenn zwei seiner Seiten gleichlang sind.

Wie gesagt - meine Absicht ist es, einfache Rechnungen zu machen, und zwar für Leute, die noch nie etwas von Integrieren gehört haben und die auch genau nicht wissen, was der Unterschied von dx, dr oder ds ist.

Aber wenn Dich das langweilt, dann kannst Du ja mal die Fläche unter der Kurve f(x) = x² von 0 bis x berechnen. Vielleicht siehst Du hier einen Trick, den ich noch nicht kenne.


Freundliche Grüsse, Ralf


EDIT 17:52 Uhr: der Beitrag ist nach der 3.Ergänzung endlich abgeschlossen.

[ralfkannenberg]

Warum, in meinem Beitrag geht es ja nicht darum, nur das spezielle Ergebnis für das eine Beispiel zu finden, sondern darum, wie man Integrale in den verschiedenen Programmen eingibt!

Hallo Yukterez,

das ist ja alles gut und recht, setzt aber voraus, dass die Anwender wenigstens wissen, was ein Integral ist. Und das ist bei Leuten, die sich die Schreibweise "dx" nicht gewohnt sind, eher nicht der Fall.

Deswegen hier der Ansatz: Integral = Fläche zwischen x-Achse und der Kurve von 0 bis x, alles gut genug definiert (stetig usw.) und f(x) stets grösser oder gleich 0, um negative Flächen oder eine Fläche = 0 für Funktionen, die von der Nullfunktion verschieden sind, zu vermeiden.


Freundliche Grüsse, Ralf

[Dgoe]

also ich finde es geht auch ohne. Wozu eine Kathete, wenn ich nicht hinterher mit Sinus und Cosinus um mich werfe ?

Hallo Ralf,

weil die zwei Seiten nun mal so heißen, auch ohne sin/cos. Wie hätte ich das denn sonst nennen sollen, ohne noch langwierigere Beschreibungen - mal abgesehen von der Quadrat-Variante.

Gleichschenkelig heißt, dass die Katheten gleich lang sind.

Jein ... - Gleichschenkligkeit hat nichts mit Katheten zu tun: ein Dreieck heisst gleichschenklig, wenn zwei seiner Seiten gleichlang sind.

Das hatte ich im Nachhinein auch schon entdeckt und vorhin schon das Wort 'hier' hinzugefügt (...heißt hier, dass...). Also das wusste ich in diesem Fall schon, in Geometrie hatte ich meistens eine 1. Natürlich ist dennoch vieles verblasst und ich bin Dir über jeden Hinweis dankbar.

Ich gebe ja gerne Fehler zu und lerne in jedem Fall dazu, aber wenn ich mich auch mal verteidigen darf: Bei einem rechtwinkeligen Dreieck können nur die Katheten gleich lang sein, eine gleich lange Kathete und Hypotenuse kann es nicht geben. Bei einem rechtwinkeligen Dreieck haben also Gleichschenkligkeit und Katheten sehr viel miteinander zu tun, ausschließlich sogar.

Davon abgesehen hast Du natürlich vollkommen recht, das zu korrigieren, ich habe es immerhin selber gemerkt.

... und die auch genau nicht wissen, was der Unterschied von dx, dr oder ds ist.

Wink!
Du hast schon mal angedeutet, dass d für Differenz steht.

Aber wenn Dich das langweilt, ...

dann wäre ich nicht hier.
Also nächste Aufgabe f(x) = x²

Gruß,
Dgoe

[Dgoe]

4. f(x) = x²
Der Flächeninhalt ist x³/2

Begründung:

Bei jedem x außer 0 haben wir wieder ein rechteckiges Dreieck (Flächeninhalt x*y/2 (x und y sind Katheten))
y ist hier immer x²,
also x*x²/2 = x³/2

oder

Von jedem Funktionswert von x können wir zusätzlich zur Senkrechten, die die x-Achse schneidet noch eine Waagerechte ziehen, die die y-Achse schneidet und erhalten so ein Rechteck (Flächeninhalt x*y), dessen Diagonale der Graph ist.
Da y hier immer x² ist, gilt x*x² = x³
Da der Graph das Rechteck halbiert, dividieren wir durch 2
x³/2

Gruß.
Dgoe

[ralfkannenberg]

4. f(x) = x²

Hallo Dgoe,

das Ergebnis schauen wir uns morgen an, und die Herleitung auch.

Bestimmen wir zuerst, ehe Dir die gleichschenkligen Katheten zu Kopf steigen, die Fläche über der x-Achse unter der Funktion f(x) = 2*x von 0 bis x.


Freundliche Grüsse, Ralf