Allererste Einführung in die Integralrechnung (Level 0)

[ralfkannenberg]

4. f(x) = x²
Der Flächeninhalt ist x³/2

Hallo Dgoe,

wie gesagt, ich habe Deine Art Herleitung noch nicht verstanden. Ein wichtiges Hilfsmittel in der Mathematik ist aber das Gegenbeispiel, welches idealerweise einfach sein sollte.

Also: gemäss Deiner Formel müsste die Fläche von 0 bis x=1 den Wert 1/2 annehmen.

Nun ist es aber so, dass die Kurve von f(x) = x² im Intervall von 0 bis 1 mit Ausnahme der beiden Randpunkte stets echt kleiner als die Diagonale des Rechteckes (sogar Quadrates) von (0,0) zu (1,1) ist. Das Rechteck aber hat die Fläche 1, der Teil unter der Diagonale die Fläche 1/2, somit muss die Fläche unterhalb der Quadratfunktion echt kleiner als 1/2 sein.

Somit ist für x=1 ein Gegenbeispiel zu Deiner Formel gefunden.


Freundliche Grüsse, Ralf


P.S. Die Fläche der Quadratfunktion von 0 bis 1 hat den Wert 1/3, aber das benötigen wir hier gar nicht.

[ralfkannenberg]

Nun ist es aber so, dass die Kurve von f(x) = x² im Intervall von 0 bis 1 mit Ausnahme der beiden Randpunkte stets echt kleiner als die Diagonale des Rechteckes (sogar Quadrates) von (0,0) zu (1,1) ist.

Hallo zusammen,

warum ist das eigentlich so ?

Jetzt bietet es sich an, mal wieder ein bisschen aus dem Nähkästechen zu plaudern und dabei eine Verbindung zum Thread mit der Feinstrukturkonstante herzustellen. Dort habe ich ja mehrfach geschrieben, dass die lineare Funktion und die quadratische Funktion nur an zwei Stellen gleich sind, nämlich bei x=0 und bei x=1.

Somit kann es also dazwischen keinen weiteren Schnittpunkt geben, denn sonst wären diese beiden Funktionen ja noch bei mindestens einem weiteren Punkt gleich. Das würde übrigens auch dem Hauptsatz der Algebra widersprechen, da die Differenzfunktion g(x) = x² - x ein Polynom vom Grade 2 ist und somit maximal 2 Nullstellen haben haben.

Wenn sich also diese beiden Funktionen zwischen 0 und 1 nicht ein weiteres Mal schneiden können, so ist entweder die lineare Funktion dort für alle Punkte grösser als die quadratische oder umgekehrt. Es genügt also, das für einen Punkt zu überprüfen, z.B. für 1/2:

f(x) = x an der Stelle 1/2 liefert 1/2
f(x) = x² an der Stelle 1/2 liefert 1/4, das ist echt kleiner als 1/2.

Somit ist die quadratische Funktion zwischen 0 und 1 echt kleiner als die lineare Funktion.

Ihr seht, man findet immer wieder etwas, über das man sprechen und auch etwas ausholen kann.


Freundliche Grüsse, Ralf

[Herr Senf]

Hallo Dgoe,
da ist mir der Ralf mit "meiner" Anmerkung zuvor gekommen.
Am besten Du nimmst Dir für so was immer kleinkastriertes Papier zum Aufmalen, dann kannst Du in etwa die Flächen schätzen.
Die Exponentialkurven x², x³ usw. liegen ja immer unter der Hypotenuse von x zwischen (0,1), die Flächen müssen dann logisch kleiner als 1/2 sein.
Nur ganz so einfach wie es in der Einführung "malerisch" erklärt wurde, also auszählen der Kästchen, läßt es sich rechnerisch nicht "denken".
Aber hier hilft eine Eselsbrücke für die Flächen, das nennt man dann auch Grundintegrale bzw. Stammfunktionen, die kann man sonst nur raten.
Eigentlich muß man die auswendig lernen wie Zahlenwerte einer Zahlentafel, weil man solche Grundintegrale immer wieder braucht.
Also F(x)=(1/2)x*x, F(x²)=(1/3)x*x² und F(x³)=(1/4)x*x³ usw., diese einfache Folge sieht doch "leicht merkbar" aus oder?
Wichtig ist nur, wie integrieren geht und wie man die Gleichungen schreibt und liest, nicht verzagen - beim Lösen geht's nicht ohne Nachschlagen.
Es sei denn, Du findest z.B. für F(x²) noch beispielhaft eine Methode außerhalb des "gängigen Prozedere".
Grüße Senf

[Dgoe]

Hallo Ralf, Hallo 27,

ja, natürlich jetzt wo ihr's sagt. Ich hab für 1. - 3. ein unliniertes kleines Post-It für ein schnelles Scribble genommen und bei der 4. Aufgabe gar nichts - für mich war im handumdrehen klar, dass dies diesmal ein wesentlich spitzeres Dreieck ergibt, obwohl ich sogar eigentlich weiß, dass die Exponential-Kurve progressiv ansteigt, fiel es mir passenderweise nicht ein und auch nicht auf - und schupps war's und blieb's eine Gerade. Der Rest war Text dazu. Zwischendurch hatte ich noch überlegt, was sich denn Ralf davon bloß groß verspricht - ist doch fast das selbe, haha, im Ernst.

Naja ich steck da noch nicht so drin allgemein, ist wie beim Sprachen lernen, man sagt etwas, bekommt die Korrektur und merkt, dass man dies oder jenes doch sogar schon wusste (machmal). Besonders wenn man nach langer Pause viel vergessen hat - aber nicht ganz vergessen.

Ich hab übrigens etwas für mich entdeckt, was kostenlos (online) ist und ich nochmal komplett durchkämmen will und ich einmal gerne teilen möchte - für jeden der Mathe-Grundlagen sucht.
http://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks speziell dort die Grundlagen http://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Lehrbuch:_Grundlagen_der_Mathematik auch als PDF wenn man die Druckversion öffnet und dann links im Menü auf PDF erstellen klickt usw. Allerdings sieht man spätestens dort, wie erschlagend das gesamte Inhaltsverzeichnis alleine ist. Sind aber nur 156 Seiten, hehe. Soviel dazu.

Aber wartet erst mal ab was mir sonst noch revolutionäres dazu einfällt, jetzt habt ihr meinen Ehrgeiz geweckt!
Steht nur eher zu befürchten mit den unbekanntesten und spektakulärsten Fehlern zu punkten.



Danke erst mal vorab, denn ich muss mir eure Beiträge noch inhaltlich ganz in Ruhe anschauen, da werde ich sicher noch drauf zurückkommen - bevor mir die wohlgeformte Gleichschenkligkeit zu Kopfe steigt.

[ralfkannenberg]

Die Exponentialkurven x², x³ usw.

aaarrrgggghhhhhhhh

[ralfkannenberg]

die Exponential-Kurve

Das Zeugs ist doch polynomial und eben gerade nicht exponential !!!!!!!

[Herr Senf]

Hallo Ralf, Dgoe,
Tschuldigung für die Verwirrung, habe auf die Schnelle (степень) Potenz xⁿ und Exponent n^x (in deutsch) verwechselt.
Naja, das Auswendiglernen ist auch schon eine Weile her, hätte selbst vorher in die Zahlentafel gucken müssen
Ohne ist eine "russische Angewohnheit" aus dem Studium, wir durften keine Hilfsmittel bei den Prüfungen benutzen - echt aarrgghh.
Will heißen, die gängigen sin/cos/log/ln-Werte usw. plus Differentiale/Integrale/Reihen hatten im Kopf zu sein, sonst Punktabzug.
Grüße Senf

[ralfkannenberg]

Potenz xⁿ und Exponent n^x

Sehr schön !



Das ist übrigens wichtig, denn Algorithmen mit exponentieller Laufzeit sind in der Praxis unbrauchbar, d.h. man nutzt dann allerlei Tricks und Verfahren, um die Laufzeit auf polynomiale Laufzeit runterzubringen. Es ist also gerade im Bereich der Informatik und Computertechnik eine wesentliche Unterscheidung !


Freundliche Grüsse, Ralf

[ralfkannenberg]

Ohne ist eine "russische Angewohnheit" aus dem Studium, wir durften keine Hilfsmittel bei den Prüfungen benutzen - echt aarrgghh.

Hallo Herr Senf,

das ist übrigens nicht nur in Russland so ...


Freundliche Grüsse, Ralf

[ralfkannenberg]

Es sei denn, Du findest z.B. für F(x²) noch beispielhaft eine Methode außerhalb des "gängigen Prozedere".

Hallo Herr Senf,

ich habe jetzt nicht die Musse dafür, aber das müsste doch über die Aufsummierung der Rechtecke von f(x_i) bis f(x_i+h)
mit Höhe f(x_i) - für genügend kleine h sind f(x) für alle x im Intervall x_i bis x_i+h gleich gross, insbesondere die Untersummen und Obersummen nahe genug beieinander.

Also muss man im konkreten Beispiel f(x_i+h) = (x_i+h)² = x_i² + 2x_ih + h² an den richtigen Stellen einsetzen, diese dann über alle i aufsummieren und die h gegen 0 gehen lassen; dabei müsste dann 1/3 x³ herauskommen.

Ich werde das in einer ruhigen Minute mal machen.

Für die Geometrie-Cracks: die quadratische Parabel (Normalparabel) ist ja ein Kegelschnitt und da kann man vermutlich auch Formeln zur Fläche finden ...


Freundliche Grüsse, Ralf