Allererste Einführung in die Integralrechnung (Level 0)

[ralfkannenberg]

Deine Erklärung:

Das ist ja letztlich die Ausage, dass die rationalen Zahlen dicht (gepackt) in den reellen Zahlen liegen.

und die irrationalen?

Hallo Dgoe,

die liegen auch dicht gepackt in den reellen Zahlen

Wenn Du Lust hast, kannst Du ja mal versuchen, das zu beweisen; das läuft am Ende vermutlich auf die Dreieckungleichung hinaus.


Freundliche Grüsse, Ralf

[ralfkannenberg]

die liegen auch dicht gepackt in den reellen Zahlen

Wenn Du Lust hast, kannst Du ja mal versuchen, das zu beweisen; das läuft am Ende vermutlich auf die Dreieckungleichung hinaus.

Aarrrggghhh - welcher Trottel hat das denn geschrieben ???

Richtig geht es beispielsweise so:

Sei r eine reelle Zahl und seien d₁,d₂ Elemente einer dicht in IR liegenden Menge, so dass d₁ <= r <= d₂.

Fall 1: seien d₁, d₂ rational: da IQ dicht in IR ist die Behauptung erfüllt
Fall 2: seien d₁, d₂ und r irrational: wähle d₁ = d₂ = r und die Behauptung ist trivialerweise erfüllt
Fall 3: seien d₁, d₂ irrational und r rational: wähle d₁ = r - √2/n und d₂ = r + √2/n und die Behauptung ist trivialerweise für n in IN erfüllt.


In diesem Fall braucht man also nicht einmal die Dreieckungleichung !


Freundliche Grüsse, Ralf

[Dgoe]

Hallo Ralf,

wie kommst Du auf √2? Etwa weil sie so schön klein ist?
Was ist wenn d1, d2 irrational sind und r rational?
Was wenn d1 oder d2 irrational ist?

Gruß,
Dgoe

[ralfkannenberg]

wie kommst Du auf √2? Etwa weil sie so schön klein ist?

Hallo Dgoe,

an sich schon, ja: √2 ist die einfachste irrationale Zahl, die ich kenne. Man hätte auch √3, √5 oder auch e oder pi nehmen können. Allerdings haben wir für die √2 (und darauf aufbauend dann auch für die √3 und die √5) schon nachgewiesen, dass sie irrational sind.

Was ist wenn d1, d2 irrational sind und r rational?

Obiger Fall 3

Was wenn d1 oder d2 irrational ist?

Obiger Fall 2 oder obiger Fall 3


Freundliche Grüsse, Ralf

[Dgoe]

Ok,
ähm, ja...

Gruß,
Dgoe

[ralfkannenberg]

Deine Erklärung:

Das ist ja letztlich die Ausage, dass die rationalen Zahlen dicht (gepackt) in den reellen Zahlen liegen.

und die irrationalen?

Hallo Dgoe,

ich bin hier immer noch nicht zufrieden; warum hast Du die Dichtheit der irrationalen Zahlen an dieser Stelle thematisiert ? Ich "wittere" hier ein Missverständnis.

Und nochmal: eine Blamage gibt es nicht, nur einen Anlass, einen Sachverhalt besser zu verstehen. Das ist übrigens weit besser als "Level 0".


Freundliche Grüsse, Ralf

[Dgoe]

Hallo Ralf,

sagen wir mal so, ich war ja nicht ganz überzeugt davon, dass die Begriffswahl "Zahl" für solche "Dinge", wie 'irrationale Zahlen', auch Pi, etc. - also alle diese, welche nie einen festen Wert annehmen, unendlich weiter genauer werden (die Exaktheit fehlt) - besonders glücklich gewählt ist, selbst wenn man das "irrational" oder dergleichen vorausschickt. Weil eine Zahl sonst eher anders definiert wurde, eben mit festem Wert (Exaktheit).

Da die Namensgebung aber historisch gewachsen und eine Verwandschaft offensichtlich ist, habe ich die bittere Pille letztendlich geschluckt und sehe von weiteren rebellischen Bemühungen ab, dass ein anderer Begriff als den der "Zahl" verwendet werden sollte. Obwohl ich immer noch einen Unterschied sehe, nämlich den, der fehlenden Exaktheit. Es gibt also exakte Zahlen und Unexakte.

Gruß,
Dgoe

[ralfkannenberg]

sagen wir mal so, ich war ja nicht ganz überzeugt davon, dass die Begriffswahl "Zahl" für solche "Dinge", wie 'irrationale Zahlen', auch Pi, etc. - also alle diese, welche nie einen festen Wert annehmen, unendlich weiter genauer werden (die Exaktheit fehlt) - besonders glücklich gewählt ist, selbst wenn man das "irrational" oder dergleichen vorausschickt. Weil eine Zahl sonst eher anders definiert wurde, eben mit festem Wert (Exaktheit).

Hallo Dgoe,

das verstehe ich nicht: die Quadratwurzel von 2 ist die Länge der Diagonale in einem Quadrat dividiert durch die Kantenlänge. Das gilt in jedem Quadrat. Und pi ist der Umfang eines Kreises dividiert durch seinen Durchmesser. Das gilt für jeden Kreis.

Somit sind sowohl die Quadratwurzel von 2 als auch die Kreiszahl pi exakt definiert.

Da die Namensgebung aber historisch gewachsen und eine Verwandschaft offensichtlich ist, habe ich die bittere Pille letztendlich geschluckt und sehe von weiteren rebellischen Bemühungen ab, dass ein anderer Begriff als den der "Zahl" verwendet werden sollte. Obwohl ich immer noch einen Unterschied sehe, nämlich den, der fehlenden Exaktheit. Es gibt also exakte Zahlen und Unexakte.

Nein: jede Zahl ist exakt. Es kann Dir nur passieren, dass sie nicht exakt darstellbar als Dezimalbruch ist. Und das kommt daher, dass Du mit Dezimalbrüchen nur rationale Zahlen exakt darstellen kannst. Genauer: dass Du für jede rationale Zahl eine ganzzahlige Basis findest, bezüglich derer Du eine exakte Dezimalbruch-Darstellung finden kannst:

Im Zehnersystem ist 1/3 nicht exakt darstellbar, im Dreiersystem indes schon, nämlich als 0.1₍₃₎.


Freundliche Grüsse, Ralf

[Dgoe]

Guter Einwand, Ralf.

Wenn man aber die Länge eines Quadrats dividiert durch die Kantenlänge und der Umfang eines Kreises dividiert durch seinen Durchmesser nicht als "Zahl" darstellen kann, so wie dieser Begriff vorher definiert wurde, dann halt eben anders. Neue Definition für einen anderen Begriff, ganz einfach.
Doch eigentlich nicht ganz so unverständlich.
Insbesondere, und da gilt dein letzter Einwand nicht, weil diese bei egal welchem Zahlensystem 'schräg' sind, sprich unexakt. Fehlende Exaxtheit auf allen Ebenen.

Gruß,
Dgoe

[M_Hammer_Kruse]

Nein, die sind genau so exakt wie andere Zahlen. Dafür schreiben wir dann √2 oder π. Das sind lediglich Symbole, mit denen vereinbarungsgemäß ein bestimmter Punkt auf der Zahlengeraden bezeichnet wird. Etwas anderes ist 3 oder Null-Komma-Periode-drei auch nicht.

Gruß
mike