Allererste Einführung in die Integralrechnung (Level 0)

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Re: Allererste Einführung in die Integralrechnung (Level 0)

Beitragvon ralfkannenberg » Dienstag 26. November 2013, 18:26

Dgoe hat geschrieben:ich hab das doch schon von dem Zehnersystem auf auch andere Zahlensysteme verallgemeinert.

Hallo Dgoe,

die sind alle gleichwertig und entsprechend alle gleich schlecht.


Dgoe hat geschrieben:
Ralf hat geschrieben:Algebraische Zahlen kann man ebenfalls exakt darstellen, indem man sie als Nullstelle desjenigen minimalen Polynoms darstellt, dessen Nullstelle sie sind.

Wie ist das zu verstehen?

Jede rationale Zahl ist Nullstelle eines Polynoms mit rationalen Koeefizienten vom Grade 1:

p/q ist Nullstelle des Polynoms f(x) = q*x - p oder meinetwegen auch f(x) = x - p/q

²√k ist Nullstelle des Polynoms f(x) = x² - k

Alle Nullstellen von quadratischen Polynomen mit rationalen Koeffizienten nennt man algebraisch vom Grade 2.

n√k ist Nullstelle des Polynoms f(x) = xn - k

Algebraische Zahlen sind per definitionem solche Zahlen, die Nullstelle eines Polynoms mit rationalen Koeffizienten vom Grade n sind.

Somit ist beispielsweise ³√2 eine algebraische Zahl vom Grade 3, denn sie ist Nullstelle des Polynoms f(x) = x³ - 2, welches ein Polynom mit rationalen Koeffizienten dritten Grades ist.


Freundliche Grüsse, Ralf
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Re: Allererste Einführung in die Integralrechnung (Level 0)

Beitragvon Dgoe » Dienstag 26. November 2013, 19:41

Hallo Ralf,

verallgemeinert dies nicht nur das 'Problem'?

Gruß,
Dgoe
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Re: Allererste Einführung in die Integralrechnung (Level 0)

Beitragvon ralfkannenberg » Dienstag 26. November 2013, 20:00

Dgoe hat geschrieben:verallgemeinert dies nicht nur das 'Problem'?

Hallo Dgoe,

wieso ? Das Verhältnis des Umfanges zum Durchmesser eines Kreises ist exakt definiert, die Diagonale eines Quadrates von Seitenlänge 1 ist exakt definiert, jede algebraische Zahl ist exakt definiert, die Reihe Summe n in IN U {0} von 1/(n!) ist ebenfalls exakt definiert und die Reihe Summe n in IN von 10-(n!) ist auch exakt definiert.

Das kann indes keine Dezimaldarstellung leisten: denn könnte sie es, so wäre die Menge aller reeller Zahlen abzählbar und dem ist nicht so. Wobei man dieses Argument gar nicht zu bemühen braucht, denn wir kennen nun mehrere exakt definierte Zahlen, die man über eine Dezimaldarstellung nicht exakt darstellen kann.


Freundliche Grüsse, Ralf


Bemerkung: obige exakt definierte Zahlen sind die Kreiszahl pi, die Quadratwurzel aus 2, jede algebraische Zahl, die Euler'sche Zahl e sowie die Liouvill'sche Zahl, welche historisch die zuerst nachgewiesene transzendente Zahl war.
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Re: Allererste Einführung in die Integralrechnung (Level 0)

Beitragvon Dgoe » Dienstag 26. November 2013, 22:05

Hallo Ralf,

weil sie wohl durchaus exakt definierbar sind, jedoch deren Zahlenwert nicht exakt darstellbar ist (können Zahlensysteme nicht leisten). Sagen wir mal so: Mit Zahlensystemen verbinde ich die Erwartung, dass diese Zahlen darstellen können, wenn sie es nicht können, dann könnte man die betroffenen Zahlen auch in etwas anderes umbenennen ohne den Begriff 'Zahl' beizubehalten.

Aber ich sehe ein, das ist müßig. Und Wortklauberei. Die Begriffe sind eben historisch gewachsen und Du hast ja auch reichliche Argumente aufgeführt, warum man dennoch von Zahlen sprechen könnte/sollte.

Etwas skeptisch bin ich dennoch verblieben, aber egal, wir würden uns bestimmt nur im Kreise drehen, ich will das mal so übernehmen denn.

Gruß,
Dgoe
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Re: Allererste Einführung in die Integralrechnung (Level 0)

Beitragvon ralfkannenberg » Dienstag 26. November 2013, 22:20

Dgoe hat geschrieben:weil sie wohl durchaus exakt definierbar sind, jedoch deren Zahlenwert nicht exakt darstellbar ist (können Zahlensysteme nicht leisten).

Hallo Dgoe,

lass mich hierzu noch etwas ausholen: dass die o.g. Zahlen exakt definierbar sind ist keinesfalls eine Selbstverständlichkeit und muss - meist sehr mühsam wie im Falle der Euler'schen Zahl - bewiesen werden. Stichworte Wohldefiniertheit usw.

Dgoe hat geschrieben:Sagen wir mal so: Mit Zahlensystemen verbinde ich die Erwartung, dass diese Zahlen darstellen können, wenn sie es nicht können, dann könnte man die betroffenen Zahlen auch in etwas anderes umbenennen ohne den Begriff 'Zahl' beizubehalten.

Warum denn ? Mit den Zahlensystemen kannst Du "diese Zahlen" doch beliebig genau darstellen, d.h. es fehlt "nur" die Exaktheit. Das ist ja letztlich die Ausage, dass die rationalen Zahlen dicht (gepackt) in den reellen Zahlen liegen.

Dass uns Mathematikern diese Exaktheit heilig ist stört ja nicht, und den Ingenieuren genügt die beliebige Genauigkeit. jedenfalls dann, wenn ihnen die Mathematiker sicherstellen, bis zu welcher Kommastelle die Darstellung genau ist.

Dgoe hat geschrieben:Aber ich sehe ein, das ist müßig. Und Wortklauberei. Die Begriffe sind eben historisch gewachsen und Du hast ja auch reichliche Argumente aufgeführt, warum man dennoch von Zahlen sprechen könnte/sollte.

Etwas skeptisch bin ich dennoch verblieben, aber egal, wir würden uns bestimmt nur im Kreise drehen, ich will das mal so übernehmen denn.

Nein, es ist weder Wortklauberei noch müssig - es sind gerade diese Dinge, weswegen Leute wie Lothar mit ihren Theorien scheitern und leider nicht merken, woran es liegt.

Ein Ingenieur würde doch nie auf die Idee kommen, die Wohldefiniertheit der Euler'schen Zahl nachzuweisen. Wenn man sich den ganzen Aufwand bezüglich der Beweise um diese Euler'sche Zahl anschaut, so dienen 95% davon nur dem Nachweis der Wohldefiniertheit, und die paar Gleichungen, die man so lernt, wie e = (1+1/n)n sind nur der unbedeutende Rest, der dann noch zu tun ist.

Ebenso die Frage nach der Exaktheit: exakte Zahlen sind immer richtig, da gibt es keine unschönen numerischen Effekte ! Den Unterschied zwischen "beliebig genau" und "exakt" verstehen die meisten Ingenieure und Projektleiter eben auch nicht. Bei der Rechnung von nur beliebig genauen Zahlen können sich numerische Effekte aufschaukeln, und wenn die das mit der Fakultät tun, dann geht das verdammt schnell - das sind so die typischen Fälle, bei denen man Computerprogramme geschrieben hat, deren Laufzeit das Alter des Universums um einen Faktor über Hundertausend übersteigt. Also z.B. ein Backtracking-Algorithmus mit einem 6x6-Kartenspiel - das hat nur 36 Karten ! - oder 28 Personen, die sich die Hand schütteln.


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Re: Allererste Einführung in die Integralrechnung (Level 0)

Beitragvon Dgoe » Dienstag 26. November 2013, 22:57

Hallo Ralf,

Ralf hat geschrieben:d.h. es fehlt "nur" die Exaktheit.

ist gut, das war ja gerade mein Aufhänger. :|

Die beliebig genaue Darstellbarkeit endet in der Praxis ja auch mit den jeweils aktuell leistungsstärksten Computern und an dem jeweiligen aktuellen Ideenreichtum, wie man diese rechnen lässt. Mir ging es ja auch mehr um die konsequente Begriffsbildung. Die Tatsache an sich, ist ja unstrittig.

Danke, Ralf, für Details und das Drumherum, etwas vom Gesamtbild zu sehen und dem ganzen Kontext, ist immer sehr hilfreich. Die Transzendenten und dessen Beweise stehen mir noch bevor, mit wachsender Neugier.

Gruß,
Dgoe
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Re: Allererste Einführung in die Integralrechnung (Level 0)

Beitragvon ralfkannenberg » Dienstag 26. November 2013, 23:10

Dgoe hat geschrieben:Die Transzendenten und dessen Beweise stehen mir noch bevor, mit wachsender Neugier.

Hallo Dgoe,

äh nein, das ist nicht einmal im Lehrplan eines Hochschulstudiums vorgesehen. Man könnte allenfalls über den Beweis der Tranzendenz der Liouville'schen Zahl sprechen, das hat ungefähr das Niveau des Dedekind'schen Beweises, ist aber etwas umfangreicher.


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Re: Allererste Einführung in die Integralrechnung (Level 0)

Beitragvon Dgoe » Dienstag 26. November 2013, 23:22

Hallo Ralf,

oha, dann will ich das mal ein klein wenig nach vorne verschieben und um ein paar Jahre vertagen.

Gruß,
Dgoe
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Re: Allererste Einführung in die Integralrechnung (Level 0)

Beitragvon ralfkannenberg » Mittwoch 27. November 2013, 10:35

Dgoe hat geschrieben:oha, dann will ich das mal ein klein wenig nach vorne verschieben und um ein paar Jahre vertagen.

Hallo Dgoe,

ich denke, der richtige Weg wäre, dass Du in diesen Betrachtungen, die wir hier im Internet durchführen, vor allem methodenseitig soviel Know-How aneignest, dass Du bei Interesse diesen Beweis dann mit kleinen Hilfestellungen selber nachvollziehen kannst. Der Beweis der Transzendenz der Liouville'schen Zahl, der wenn ich mich recht entsinne im Buch "Lineare Algebra" von Fischer geführt wurde (möglicherweise ist der in den neueren Auflagen entfernt worden), war nicht lang und den konnte ich zu Beginn meines Studiums, als ich sowas noch gar nicht kannte, problemlos nachvollziehen, während mir derjenige vom Beweisarchiv (Link in meinem vorletzten Beitrag) etwas unübersichtlich zu sein scheint.

Der Beweis ist vor allem historisch von Interesse, weil damit das Problem gelöst wurde, dass man elementar eine riesige überabzählbar grosse Menge konstruieren kann, ohne auch nur ein einziges Element benennen zu können.

Wie so oft in der Wissenschaft wurde dieser Beweis allerdings schon geführt, ehe man von diesem Problem überhaupt wusste. Auch der Nachweis der Transzendenz der Euler'schen Zahl erfolgte 3 Jahre ehe sich dieses Problem stellte. Als sich also 1875 das Problem der Überabzählbarkeit der transzendenten Zahlen ergab, kannte man bereits mehrere transzendente Zahlen; die Transzendenz der Liouville'schen Zahl seit 1844 und die Transzendenz der Euler'schen Zahl seit 1872. Vermutet worden war diese Transzendenz ebenso wie diejenige der Kreiszahl pi bereits im Altertum; die prominente "Quadratur des Kreises" läuft ja genau darauf hinaus.

Als Ausblick sei schon genannt, dass das früher von mir genannte Paradoxon der externen Präsidenten ("Barbier von Sevilla-Problem") in diesen Kontext der Überabzählbarkeit gehört, aber wie gesagt, das ist noch etwas verfrüht, werden wir aber in diesem Rahmen noch machen.


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Re: Allererste Einführung in die Integralrechnung (Level 0)

Beitragvon Herr Senf » Mittwoch 27. November 2013, 13:24

Hallo zusammen,
und wann geht's mit Integrieren weiter ;) wegen "Übersicht-Verlierung"
Waren wir hier das letzte mal dabei viewtopic.php?f=26&t=943&start=20#p23389
oder hab ich die Erledigung übersehen?
Grüße Senf
ich will auch mal was dazu sagen
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